Laplace变换在第一类高振荡 Volterra方程求解中的应用

严睿琪，李 斌，王 佩，陈松良

(贵州师范学院数学与大数据学院，贵州 贵阳 550018)

0 引言

卷积形式的积分方程在物理和工程等领域有许多的应用，如在散射问题中合成积分方程是卷积型的[1]。在物理学、工程学等众多领域的积分方程中常含有双曲函数[2]。在这篇文章里，我们主要研究带贝塞尔高振荡核函数和双曲函数的第一类Volterra积分方程

(1.1)

的解，这里f(x)为光滑的函数，f(0)=0，y(x)为未知函数，Jv(wx)为第一类贝塞尔函数，v>-1，w，r为振动参数。

最近关于Volterra积分方程的求解问题的文献较多[3-4]，但对于方程(1.1)而言，最显著的特点就是含有高振荡性，当w，r≫1时，核函数将变得高振荡，标准的配置方法和不连续的Galerkin方法无法有效的计算，因为与空间网格相关的长度尺度过小，导致得到的是一个大规模的病态线性系统[5]。而Laplace变换法是计算第一类Volterra积分方程的有效方法，特别是对卷积形式的积分方程有效。2007年，Rahman[6]比较系统的介绍了通过Laplace变换计算各类Volterra积分方程的方法；2014年，向[3]使用Laplace变换和Laplace逆变换来求解带高振荡贝塞尔核函数的沃尔特拉积分方程

(1.2)

这里w≫1，v为非负整数，f(x)为光滑的函数。大多数情况下，这类方程的解不能以封闭形式解析求解，只能写成高振荡积分解的形式。2018年， Uddin M[7]通过Laplace变换的应用，将积分方程(1.2)转化为代数方程，然后利用Laplace逆变换的方法，将解表示为沿延伸到复平面左半部分的光滑曲线的积分，再求积分。2019年，李[8]等考虑来自电磁与声散射问题，例如平面波是空间时谐波，通过Laplace变换来求解两端带高振荡核函数的第一类Volterra积分方程

(1.3)

并通过克伦肖·柯蒂斯型方法求出方程的高精度近似解。本文的所有数值结果都是在台式机上用Matlab R2014a实现的(8gb内存，2个2.50 GHz的处理器，Windows 10操作系统)。

1 多项式逼近

例1设方程(1.3)中f(x)=x2sin(x)，r=1000，m=0，则|f(x)e-irx-xm+1qN(x)|和|f(x)-xm+1qN(x)|在x=0.4处的误差分别为表1和表2所示。

表1 例1中f(x)e-irx-xm+1qN(x)在x=0.4处的绝对误差

表2 例1中f(x)-xm+1qN(x)在x=0.4处的绝对误差

称为函数f(t)的Laplace变换，这里的逆Laplace变换记为

2 方程(1.1)的精确解

(2.1)

将(2.1)的解yN(x)作为方程(1.1)的近似解，然后令N→∞，则得到方程(1.1)的精确解y(x).

引理1[8]定义m=「ν⎤为小于或等于ν的最小整数，若f(x)∈Cm+1[0，1]，m是非负整数，则(1.3)有唯一解y(x)∈C[0，1]的充要条件是

f(0)=f′(0)=…=f(m)(0)=0.

定理1假设f(x)∈Cm+1[0，1]，v0=m-ν，f(0)=f′(0)=…=f(m)(0)=0，则方程(1.1)的解可以表示为：

(2.2)

这里

(2.3)

证明(1)方程(2.1)是有卷积形式的积分方程，两边同时采用Laplace变换有

L[yN(x)]

这里

由于L1，L2类似，若算出其中一个，就可得到另外一个。下面先考虑L2的Laplace变换。

则有

这里ν=m-ν0，ν0≥0.下面讨论上面最后一个等式中的第二个和式

则有

接下来考虑Laplace逆变换，上式结合下面的式子(见[10])

(2.4)

(2.5)

=w-δJδ(wx)，δ>-1，

(2.6)

δ>0，

(2.7)

可得

根据下面的Laplace逆变换公式

(2.8)

易得

同理，可得关于L1的逆Laplace变换计算公式

从而得到了方程(2.1)的精确解为

(2)当ν∈Z+，m=ν≠0时，ν0=0，下面考虑m=ν=0时方程(1.1)的解。

这里

从而得到方程(2.1)的解为

3 数值计算

例2求Volterra积分方程

的解，这里f(0)=f'(0)=0.

解由于v=0.2，则m=1，v0=0.8， 结合公式(2.3)可得方程的解为

例3求Volterra积分方程

的解，这里f(x)为连续函数，且满足f(0)=0.

解由于v=0， 结合公式(1.4)可得方程的解为

(3.1)

这里

例4求Volterra积分方程

通过Laplace变换得到积分方程积分形式的精确解，这些解的形式为

(3.2)

其中f(x)在区间[0，1]上是连续函数。

如果需要Volterra积分方程的高精度数值解，可通过克伦肖·柯蒂斯型方法[11]计算得到在不同x处的高精度近似解(如表3所示)，其误差如图1和图2所示，误差分析为下面的定理2。

定理2[11]采用克伦肖·柯蒂斯型方法计算积分(3.2)可得到如下的误差：

(1)若f在伯恩斯坦椭圆Eρ上是分析性，则I[f]-QN[f]=O(ρ-N)；

(2)如果f，f'，…，f(m-1)在区间[0，1]上是绝对连续的，且Var(f(m))<∞，则I[f]-QN[f]=O(N-m).

表3 例题4中，当r=1000时，由克伦肖·柯蒂斯型方法[11]在不同的x，w处得到的误差

图1 数值解的误差分析图

图2 数值解绝对误差分析图

4 结束语