耦合组合刚度非线性能量阱的线性振子动力学分析

张运法， 孔宪仁， 岳程斐

(1. 哈尔滨工业大学 卫星技术研究所， 哈尔滨 150080； 2. 哈尔滨工业大学 空间科学与应用技术研究院， 深圳 518055)

航天器在发射时会面临十分复杂的振动环境，在过去的数十年中，抑制有害振动进入到结构系统,一直是值得关注的重要问题。结构减振的方法包括主动、半主动、被动和混合方法，在实际工程中由于被动减振应用方便，因此被广泛的使用[1-4]。Frahm等[5-9]提出了一种典型的被动减振装置线性动力吸收器(TVA)，其构造简单、减振效果显著，因此得到许多学者广泛的研究。但是TVA仅能在特定固有频率附近具有较好的减振性能，减振带宽比较窄。为增加吸振器抑制带宽，Roberson[10]提出了非线性能量阱(nonlinear energy sink, NES)，它是一个由黏性阻尼和强非线性(不可线性化)弹簧构成的轻型附件。NES中振动能量的吸收机制为靶能量传递(TET)，可以实现能量从源头(系统)到供体(NES)的单向不可逆传递[11]。NES与线性TVA相比，不仅减振带宽更广，抑制振动更有效，而且还提高了鲁棒性[12-15]。从此，NES得到了越来越多的关注和研究[16-19]。NES现在种类丰富，可以分为分段线性NES、不光滑的刚度递减NES、双稳定NES、内部旋转NES等等[20-23]。

Gendelman等[24-26]在研究耦合NES的系统主结构受到与其固有频率相同的简谐激励频率时能量传递的情况，发现在NES和主结构1∶1共振频率附近系统会发生不寻常的强调制响应(strongly modulated response, SMR)，其可以解释为是由不同稳定区间的跳跃现象引起。随后利用数值方法对NES进行优化结果表明SMR比稳态周期响应在抑制振动方面具有更好的效果，为产生SMR需要系统含有非线性且NES与线性主结构比值足够小。

由于在工程实际中NES理想的纯立方刚度很难实现，因此为提高其在工程中的实用性，本文对耦合组合刚度NES的线性振荡器动力学进行了相关的建模和分析[27]。首先利用复变量平均法对研究目标进行建模，得到了系统的慢变方程。然后系统进行鞍结分岔和Hopf分岔分析，对系统平衡点的个数和稳定进行了分析。最后还利用能量谱对各部分质量比、激励幅值、组合刚度NES的刚度及阻尼带来的影响进行分析，并与纯立方刚度NES在减振方面的应用进行比较，说明了组合刚度NES的减振效果。

1 研究对象动力学模型及方程

本文研究耦合组合刚度NES线性振子的系统模型，如图1所示。

图1 耦合组合刚度NES的线性振子模型图Fig.1 Model diagram of the linear oscillator with combined stiffness NES

图1中m1、m2分别表示线性振子和NES的质量，kl、knl分别表示线性振子的线性刚度和NES的非线性刚度，其中knl由线性刚度k21和非线性刚度k23组成，c1、c2分别表示线性振子和NES的线性阻尼，简谐激励F=F0cos(wt)，其中x1、x2分别表示线性振子和NES的位移，耦合组合刚度NES的线性振子运动方程如下所示

(1)

(2)

化简为

(3)

本文将采取如下假设，假设一：NES的质量相对于线性振子的质量而言微不足道，即0<ε<<1；假设二：本文研究系统在共振下的系统运动情况，线性振子和简谐激励的频率差距很小，假设两者差别在ε1的范围内，满足w= 1+εδ，其中δ代表频率失谐系数[28]。因此可将运动方程化简为

(4)

用u、v分别表示系统质心运动位移和线性振子与NES之间的相对运动位移，如下式所示

u=x1+εx2,v=x1-x2

(5)

代入式(4)进行变量替换，可化为

(6)

本文对式(6)利用复变量平均法进行相关研究，并进行下式所示的变量替换

(7)

上式将系统周期解近似分解为快速振动部分e(1+εδ)t和振幅慢调制部分φi(t)，在研究系统能量传递时主要考虑慢变部分，因此略去快变部分，可以得到系统的慢变方程，如下

(8)

2 分岔研究

将平衡固定点φ10、φ20代入耦合组合刚度NES系统的慢变方程式(8)可得

(9)

由式(9)第一式可解得

(10)

将式(10)代入式(9)第二式可将其化简为

(11)

式中，M= (2εδ+1)/(2εδ+2δ+1)，将式(1)进一步化简可以得到鞍结分岔边界条件为

α0+α1Z+α2Z2+α3Z3=0

(12)

α1+2α2Z+3α3Z2=0

(13)

对式(13)求解可以得到

(14)

将式(14)代入式(12)可以得到

(15)

式(15)已化为A与各参数的方程，即A=f(λ,δ)，其可以进一步表示鞍结分岔边界曲线，并区分周期解的情况，如图2所示。在图2中参数选取为ε= 0.1，k1= 1/3，k3= 4/3[25，28]。

图2 δ = 2时组合刚度NES的鞍结分岔图Fig.2 Saddle-node bifurcation diagram of combined stiffness NES when δ= 2

从图2可得耦合组合刚度NES系统鞍结分岔边界曲线的形状近似为类三角形，且[λ,A]平面被划分为两部分，在曲线与坐标轴围成封闭曲线内任取一点λ= 0.2，A= 0.9，此时可以得到三个平衡点，即具有三个不同的实数根；在封闭曲线外的上下部分各取一点，本文分别抽取λ= 0.2，A= 0.5和λ= 0.2，A= 1.4，此时可以得到一个平衡点，即只有一个实数根。因此由图2可以得出当λ固定时，改变A的值可以得到不同数目的平衡点。

接着研究频率失谐系数对鞍结分岔图的影响,即改变δ的值，其它参数不变，可以得到不同δ的鞍结分岔图，如图3所示。

从图3中可以得出，当δ> 0时，随着δ值增大，A的最大值在逐渐增大；当δ= 0时，鞍结分岔不存在；当δ< 0时，随着δ值增大，A的最大值在逐渐减小。

由图2、图3可以得出，改变λ或δ都可能影响实根个数，而两者影响方式不同，当δ固定时，鞍结分岔形状、所属范围不变，改变λ可以导致其实数根数目变化，是因为其改变了所属的实数根数目区域导致。而当λ固定，能固定其所属的位置不变，改变δ可以导致实数根数目变化，则是因为其改变了鞍结分岔所属范围导致。

接下来本文将利用Hopf分岔来考虑组合刚度NES系统所求平衡点的稳定性，对动力学系统在平衡点附近考虑扰动运动，令

φ1=φ10+ο1,φ2=φ20+ο2

(16)

代入慢变方程式(8)可得

(17)

式(17)的特征方程可以化简为

μ4+γ1μ3+γ2μ2+γ3μ+γ4=0

(18)

式中，μ为特征值。对上式系数进行如下简化

(19)

可得特征方程各系数的表达式为

γ1=λ(1+ε)

3k223(k221(1+ε)2-2εδ(1+ε)-1)Z+

εδk221(1+ε)

γ3=(ελ(4ε2δ2+4εδ2+4εδ+1))/4

64δ((1+2εδ)2(δ-k221)+λ2(ε+1))+

64δ2λ2(ε+1)2+16λ2))/256+3Z(k221+

2k221δ(ε+1)-2δ-4δ2ε)k223δ2(2δ(ε+1)+

(20)

当Hopf分岔出现时，平衡点稳定性发生变化，且通过复平面的正负虚轴，因此有μ= ±iΩ，代入式(18)分离实虚部可得

Ω4-γ2Ω2+γ4=0,Ω(γ1Ω2-γ3)=0

(21)

消去Ω，式(21)可进一步化简为

(22)

将式(22)可以整理为Z的表达式，如下所示

ν1Z2+ν2Z+ν3=0

(23)

其中

(24)

对式(23)进行求解可得

(25)

从式(12)可得Hopf分岔稳定区域的边界为

(26)

当δ=2，ε=0.1，k221=1/3，k223=4/3时，耦合组合刚度NES系统的鞍结分岔和Hopf分岔如图4所示。图中在Hopf分岔曲线右侧为稳定区域，左侧为不稳定区域，从图中可以得出鞍结分岔和Hopf分岔不同区域之间存在交叉。

图4 系统的鞍结分岔和Hopf分岔图Fig.4 Saddle node bifurcation and Hopf bifurcation diagrams of the system

同时本文研究频率失谐系数对Hopf分岔的影响，如图5所示。从图5中可以得出，随着δ值增大，A的最大值及所属的面积在逐渐增大。由图4、图5我们可得其他参数不变时，改变λ或δ影响稳定性的规律和影响鞍结分岔时的类似。

当δ=3,ε=0.1,k221=1/3,k221=4/3,λ=0.2时，系统所受激励幅值变化对响应幅值的影响如图6所示。当A=0.6，ε=0.1,k221=1/3,k221=4/3,λ=0.2时，系统所受激励频率变化对响应幅值的影响如图7所示。

在图6中随着A的增大，系统平衡点先是处于稳定状态，随后处于不稳定状态，最后又回到稳定状态；系统平衡点的个数是先处与单个平衡点个数阶段，随后处于三个平衡点个数阶段，最后又回到单个平衡点个数阶段。在图7中随着δ的增大，系统稳定性与增大A时的情况整体趋势相同, 而平衡点个数在类似于增大A的三阶段过程后又增加了一个三个平衡点个数阶段和最后回到单个平衡点个数阶段。

图6 当激励幅值变化时对系统响应幅值的影响图N20= |φ20|，实线：稳定分支，星号：不稳定分支Fig.6 The influence diagram of the system response amplitude when the excitation amplitude changes. N20= |φ20|, solid line: stable branch, asterisk: unstable branch

由上面分析可知，平衡点实根个数与稳定性皆可以被λ或δ的取值影响，但方式不同。当δ固定时，鞍结分岔、Hopf分岔形状固定，改变λ可以导致位置移动，进而影响实根个数、稳定性。然而当λ固定时，其在鞍结分岔、Hopf分岔图上位置不变，改变δ可以导致形状变化，进而区域覆盖范围发生变化，从而影响实根个数、稳定性。同时还得出当激励幅值、频率发生变化时，对系统响应幅值大小、平衡点个数及稳定性带来影响的规律。因此，调节以上参数可以使系统更容易处于不稳定和系统响应幅值更小的状态，对系统减振具有重要意义。

图7 当激励频率变化时对系统响应幅值的影响图N20= |φ20|，实线：稳定分支，星号：不稳定分支Fig.7 The influence diagram of the system response amplitude when the excitation frequency changes, N20= |φ20|, solid line: stable branch, asterisk: unstable branch

3 耦合NES系统的减振应用

本部分将研究耦合组合刚度NES的系统在减振方面的应用。通过对系统参数进行优化，使其在减振方面达到最优，并比较其在减振方面的差异。由于耦合NES系统在发生共振时具有十分复杂的响应机制和时变振幅。因此为了更准确的表示不同NES的振动抑制效果，本文利用能量谱来进行比较分析。本文依据式(3)，可将耦合NES的系统线性振子的能量表示为

(27)

其中〈·〉t表示在时间区间t内取平均值，前面提到使耦合NES的系统在减振方面达到最优可以等价为使上式E的值在共振频率附近达到最小，基于此本文进行相关分析，选取t∈ [2 000,3 000]。

接下来对考虑频率失谐影响的耦合单自由度NES系统在不同质量比ε、不同激励幅值A、不同NES刚度及阻尼下的减振情况进行分析。先对不同质量比ε、不同激励幅值A、不同NES刚度情况下的减振情况进行研究，其中k221/k223= 0.1，λ1= 0.2，主结构在共振频率附近的能量谱如图8所示。同时利用Poincare映射和时间响应对ε= 0.1,A= 0.3时不同刚度的系统进行抽查分析，可得图9 (a)、(b)。

由图8可知当ε、A固定时，耦合组合刚度NES的系统在共振频率附近的平均能量随着NES刚度不断增加在逐渐减小且调制、减振带宽在不断增大，此时系统发生SMR如图9(a)所示。但当k223过大时，在共振频率附近略小于共振频率1处出现一个共振峰，对此处用Poincare和时间响应进行分析，由图9(b)可知该处出现稳态周期响应，不利用系统减振，应该在NES选值时避免这一情况。由图8可知当ε固定时，增大A会使达到最优减振效果的刚度减小，同时使得最优减振效果得到能量谱面积增大，不利于系统减振。当A固定时，增大ε同样会使达到最优减振效果的刚度减小，且会使得最优减振效果的能量谱带宽增大，同样不利于系统减振。综上，在设计NES时，应选取较小的ε、A和适当大的NES的刚度以减小系统主结构能量谱带宽和面积，降低系统主结构的平均能量，达到最优的减振效果。

进一步对不同质量比ε、不同激励幅值、不同NES阻尼情况下的减振情况进行研究，在k223= 1、k221= 0.1条件下分别取不同阻尼值，其主结构在共振频率附近的能量谱如图10所示。同时当ε= 0.1,A= 0.3时，利用Poincare映射和时间响应对λ1= 0.1、λ1= 0.5的系统进行分析，可得图11。

由图10可以得出当ε、A固定时，增大NES的阻尼并不能使得线性主结构平均能量减小，通过图11能更清楚地得出当NES选的阻尼较小时，在共振频率附近系统存在SMR，此时对线性主结构振动抑制效果更好；当NES的阻尼较大时，系统会出现稳态周期响应，此时不利于线性主结构减振。由图10可以得出当ε固定时，增大A会使达到最优减振效果的阻尼增大，同时使得最优减振效果得到能量谱面积增大，不利于系统减振。当A固定时，增大ε同样会使达到最优减振效果的阻尼增大，且使得最优减振效果的能量谱带宽和能量谱面积增大，同样不利于系统减振。综上，在设计NES时，应选取较小的ε、A和适当小的NES阻尼以减小系统主结构能量谱带宽和面积，降低系统主结构的平均能量，达到最优的减振效果。

由上面分析可知通过改变材料参数，根据能量谱可以找出最优减振效果的NES参数，本文选用评价最优减振效果的标准主要是能量谱中E的面积最小；其次是能量谱中E的各处峰值最小。根据本文优化标准同样可得耦合组合刚度的单自由NES的系统，在立方刚度与线性刚度比为0.1时，取ε= 0.1,A= 0.3,k223= 3.38，λ1= 0.12，组合刚度NES取得最优减振效果，并将其与文献[26,30]中纯立方刚度NES在ε= 0.1,A= 0.3时取得的最优能量谱进行对比可得图12。

图12 不同NES最优时能量谱对比图Fig.12 The comparison of the energy spectrum of the best vibration suppression for different NESs

由图12可得各NES在共振频率附近具有较好的振动抑制效果；组合刚度NES相较于立方刚度NES在能量谱中，E的面积较小，且大多数位置处幅值要低，因此可以认为，此时组合刚度NES比立方刚度NES振动效果整体要好。

4 结 论

在承受谐波激励载荷下耦合组合刚度NES系统具有丰富的动力学特性，本文首先对所研究系统进行了建模, 利用复变量平均法得到了系统的慢变方程。其次，对慢变方程进行了鞍结分岔和Hopf分岔分析，在进行鞍结分岔分析中，得到了鞍结分岔边界曲线的形状皆近似为类三角形，其将[λ,A]平面划分为三个实数根和仅一个实数根的两部分；同时得到了频率失谐系数与激励幅值的关系，即在其他参数固定的情况下，随着δ模的增大A的最大值在逐渐增大。在进行Hopf分岔研究中，得到所求平衡点的稳定性区域，并分析了激励幅值、频率变化对响应幅值的影响，即随着激励幅值的增大响应幅值在逐渐增大，且仅在A= 3附近为不稳定部分；在改变激励频率时，仅在δ= 0附近存在不稳定部分。还得到了耦合组合刚度NES系统平衡点实根个数与稳定性皆可能被λ或δ的取值影响。当δ固定时，鞍结分岔、Hopf分岔形状固定，改变λ导致所属的区域变化，进而影响实根个数、稳定性。然而当λ固定时，其在鞍结分岔、Hopf分岔图上的位置不变，改变δ导致所属的区域范围变化，进而影响实根个数、稳定性。这一部分还可以得出当激励幅值、频率发生变化时对系统响应幅值的大小、平衡点个数及稳定性带来影响。由于SMR在不稳定状态更容易发生，因此分岔研究为后面减振应用的优化提供合理的参数选值建议。再次，利用能量谱对不同质量比ε、不同激励幅值、不同NES刚度及阻尼下的减振情况进行分析，在本研究NES模型的前提下，在一定范围内增加NES的刚度可以有利于系统减振，而增大NES的阻尼不一定利于系统的减振，SMR出现有利于系统减振。在其它参数固定的前提下，ε、A取值越小越有利于系统减振。最后，本文还将组合刚度NES与立方刚度NES最优减振时的能量谱进行比较，验证了组合刚度NES减振性能的优越性。