四旋翼前飞模态的频域辨识建模与控制器设计

郭凯阳，林德福，杨 丹，张 意，刘叙含，王 辉

(1 北京理工大学宇航学院，北京 100081；2 北京理工大学无人自主控制技术实验室，北京 100081；3 西南计算机有限责任公司技术中心，重庆 400060；4 西安现代控制技术研究所，西安 710065)

0 引言

近年来，四旋翼无人机被广泛地应用于探测监控、搜索救援、打击对抗等商业和军事领域，随着其功能的日渐丰富和任务范围的不断扩大，军事作战和无人机竞速比赛等复杂任务场景对四旋翼高速前飞模态下的控制性能和机动能力提出了更高的要求。然而，四旋翼前飞动力学模型在结构与参数方面同悬停时存在明显差异，并且缺少具备理论支撑的参数整定方法，这就导致现有基于悬停点设计的控制器效率较低。为解决以上问题，基于四旋翼前飞模态的动力学建模以及相应的控制器设计成为当前的研究热点。

作为一个典型的非线性、欠驱动系统，四旋翼无人机姿态和位置的快速稳定控制，很大程度上是由控制算法的效率和鲁棒性决定的，而控制器的好坏又与对模型的掌握程度密切相关。文献[3]在VICON系统下对基于悬停点设计的四旋翼控制系统进行飞行验证，发现其实际轨迹与预期位置存在显著偏差。文献[4]借助风洞试验建立了四旋翼前飞模态下的非线性模型，但缺少了桨叶的俯仰力矩项。目前国内外关于四旋翼前飞模态的动力学建模尚未形成系统的研究，因而亟待建立其较为精确的前飞模型。

得益于结构简单和易于实现的特点，PID算法成为Pixhawk等商业飞控的首选，但是复杂工况下参数整定的工程化手段使其无法达到最佳的响应效果。文献[5]研究了四旋翼悬停模态的传递函数动态特性以及PID控制，其参数是依据仿真结果手动调节得到的。文献[6]借助经典控制理论来设计四旋翼姿态控制系统的PID参数。文献[7]对比分析了PID和LQR在四旋翼飞行仿真实验中的效果，虽然其线性模型是在悬停模态下得到的，但仍未形成较好的PID整定方法。文献[8]通过优化的闭环时间常数来推导出PID 参数与四旋翼传递函数模型之间的关系，但是仅考虑了时域指标，忽略了频域响应快速性和稳定性对于控制系统的重要性。因此，基于极点配置法，综合考虑时域和频域的性能指标，形成一套针对四旋翼前飞模态的PID参数设计方法是文中的研究重点。此外，非线性控制算法在四旋翼飞行控制中也已得到大量的研究与应用，例如模型预测控制、自适应滑模控制等。

主要创新点包括：1)针对四旋翼的前飞模态，开展了细化的动力学建模，并采用频域系统辨识的方法完成模型参数的测量；2)从频域分析角度，基于极点配置法推导出四旋翼姿态串级PID控制参数的解析表达，对比仿真及降落实验验证了设计后系统的整体控制性能。

1 四旋翼前飞动力学建模

1.1 布局与坐标系

为了提高四旋翼的机动能力，降低机身和螺旋桨对光电吊舱的干扰，研究采用“X”型布局结构。4个桨叶的编号顺序和转动方向如图1所示，其中，桨叶1和2逆时针转动，桨叶3和4顺时针转动，飞行过程中通过控制其转速变化来生成相应的力和力矩。

图1 四旋翼的桨叶布局和坐标系

1.2 前飞模态动力学模型

令B系下四旋翼的飞行速度和转动惯量分别为=[,,]和=diag(,,)，则可建立其动力学模型：

(1)

(2)

设=[,,]和=[,,]分别表示B系下三轴方向的合力和合力矩，并且力和力矩模型的变化是导致四旋翼前飞和悬停模态动力学存在显著差异的主要原因。在前飞过程中，其机身气动特性和桨叶的相互扰动不再是小量，因而不能被忽略，通过Δ和Δ来描述桨叶拉力和反扭距作用之外的非建模动力学及外界扰动，并且通过频域辨识实验来测量其系数值。

(3)

根据先验知识，桨叶转动产生的拉力和反扭距[,,,]与控制指令[,,,]之间呈线性关系，即：

(4)

其中：=diag(,,,)，控制分配矩阵与四旋翼的结构布局相关，直接影响滚转、俯仰和偏航运动的控制效率。

上述分析初步建立起四旋翼的前飞动力学模型，但是由于该工况下机身和桨叶的详细气动特性较难测量，因此基于频域系统辨识原理，采用文献[11]中的模型结构形式，将姿态运动解耦成纵向和侧向两个子系统，如式(5)和式(6)所示。其中，状态矩阵和控制矩阵中气动和控制偏导数的具体物理意义可参考文献[4]，这些系数能够较为精确地描述四旋翼前飞模态的运动特性，,,为某一特定前飞平衡状态下的状态量值。

(5)

(6)

1.3 频域辨识实验设计

由于缺乏前飞动力学的先验知识，采用两步法进行四旋翼的系统辨识实验设计，并根据频域响应结果，来拟合得到模型中的待定系数，即气动和控制偏导数。

基于Pixhawk飞控姿态控制器的“stabilized”模式，自研四旋翼将按照图2所示的框架进行4个通道(滚转、俯仰、偏航、垂向)的解耦控制，遥控器的操纵信号和设计的扫频信号作为期望的姿态角输入，综合对控制系统进行激励，并且与传感器反馈的实时状态测量作差得到控制偏差，进而通过飞控中串级PID控制器处理，形成介于0～1之间的电机控制指令[,,,]，再经混控模块Mixer分配缩放成PWM信号，以稳定驱动4个桨叶实现相应的转动，形成控制力和力矩来操纵四旋翼前飞。

图2 四旋翼姿态控制框架和频域系统辨识原理

根据上述控制逻辑，频域辨识实验需要保证四旋翼事先达到预期的前飞状态，即保持某一稳定的期望前飞速度飞行，从而利用覆盖其穿越频率范围的扫频信号来依次充分激励各控制通道，使其在当前控制通道下的姿态响应跟踪输入的变频率正弦曲线，经过串级PID控制器和混控模块的共同作用，电机的转速也随之变化。在此过程中，我们借助飞控板中的SD卡来记录姿态解算指令和四旋翼的运动状态，包括加速度、姿态信息、飞行高度等，即图2中红色标记处的辨识输入采集点和系统的状态输出信号。最后，基于前飞模态开环模型的输入输出信息，使用CIFER软件与频域传递函数辨识算法，对数据进行拟合处理，得到四旋翼在前飞模态下的开环动力学模型。

实验中，我们采用对数扫频信号作为系统输入，输入信号设计为：

(7)

=(exp()-1)

(8)

其中：为扫频信号的幅值；为信号持续时间，且在各次辨识实验中均设计在40～70 s，和分别表示最小频率值和最大频率值，通常，四旋翼的穿越频率介于10～20 rad/s，为了使信号扫频范围完全覆盖感兴趣的频率段，故设定最小和最大频率值分别为0.6 rad/s和62.8 rad/s。另外，根据文献[15]中的设计准则，选取=4，=0.018 7。

2 前飞模态PID控制器设计

2.1 姿态控制的串级PID框架分析

得益于结构相对简单和容易理解实现的优点，PID算法被广泛地应用于四旋翼的飞行控制。完整的PID控制器传递函数()如式(9)所示，其参数整定决定了控制系统性能的好坏。采用图3所示通道解耦后的串级PID结构来控制四旋翼的姿态运动，并基于线性化后的SISO模型进行整体控制回路的极点配置解析。设,,分别为角速率环的比例、积分和微分环节的控制参数，为角度环的比例环节控制系数。

图3 四旋翼姿态控制单通道结构(以俯仰为例)

(9)

通过频域数据拟合，可以处理得到解耦后各通道的传递函数模型如式(10)所示，用于后续的单输入单输出(single-input single-output, SISO)设计。由分析可知，其分母中存在不稳定的极点，且除偏航通道之外，模型阶次较高，动力学特性在不同频段内受到多组极点的共同作用。因此，角速率控制采用完整的PID形式来解决稳定性问题，包括响应的收敛情况和频域下的稳定裕度，而角度控制由于积分环节的存在，姿态响应不会出现稳态误差，故仅采用比例控制来实现对角度指令的快速稳定跟踪。

(10)

2.2 PID参数的极点配置解析

如图4中橙色阴影区域所示，在实际工程应用中，内环的微分项直接作用于反馈的角速率信息，而非控制偏差，这是因为反馈的角速率信息频率要高于控制误差的频率(飞控的运算频率为50 Hz)，又因为微分项主要影响系统的高频环节，即执行机构动力学，故可简化代码直接使其作用于前者。此外，考虑到该改变会在开环模型处形成一个为负反馈的内回路，分析可知，表征电机动力学的极点会明显左移，即从理论上拓宽执行机构的带宽，加快其响应速度，为后续设计指标的选取提供更加充裕的频域区间，在参数极点配置解析式的推导中仍视作常规PID表达形式来处理。

考虑到四旋翼控制系统与导弹自动驾驶仪设计的主要区别——硬件性能和飞行环境，导致其执行机构的响应速度较慢，且对气动参数变化的鲁棒性要求较低，因而角度控制环与角速率控制环的频带差异并不明显，故将其内外环视作整体来总体设计两环的PID参数。

以滚转通道为例进行PID参数的极点配置解析表达式求解，其开环传递函数模型如式(11)所示。

(11)

参数设计前，考虑到未校正的分子中含有一个零点和微分环节，其中微分环节恰好与PID控制器的积分相抵消，而零点仍会存在，并且值得注意的是，该零点部分在求解滚转通道整体闭环传递函数时仍将存在于分子中，不随控制参数变化而变化。

=-(-)

(12)

结合和控制回路结构，推导得滚转通道整体的闭环传递函数为：

(13)

其中，分母中的(=0,1,2,3,4)为求解过程中的简化系数，由动力学系数和控制参数组成。

(14)

由式(13)可知，闭环系统共有3个零点，其中两个零点由内环PID参数决定，另一个零点为。因此可以通过将一个低频极点设计为接近该恒定零点的数值，使其在频域响应中发挥的作用尽可能地被削弱，即设计其为一对偶极子，以达到近似零极点对消的效果，假设该极点对应的时间常数为，其数值可确定为=(-)。

该组零极点对消后，结合期望的时域和频域特性，选择将最终的闭环响应系统的极点配置为一个低频的主导极点和一对高频共轭极点，故校正后的闭环传递函数模型表示为：

(15)

其中：为低频主导极点的时间常数，且<；为共轭极点的无阻尼自然频率；为其阻尼比；′为校正后的系统闭环增益。

对比极点配置前后的特征方程，可得：

(16)

根据对应系数原则，解算得到待设计参数与期望指标之间的解析表达式，即:

(17)

由式(17)可见，方程组等式左边由5个系数构成，共包含串级PID中的4个待求参数，等式右边为4个与闭环控制系统性能相关的设计指标。由此可见，只要确定了设计指标：时间常数,,阻尼比以及无阻尼自然频率便可通过联立式(13)和式(16)解算出一组满足时域和频域设计要求的串级PID参数，求解过程可借助Wolfram Mathematica软件中的solve函数。

2.3 极点指标选取准则

控制系统闭环极点大小的选取与频域、时域设计指标是紧密联系的，综合考虑，上述极点配置过程的4个参数指标的设计方法如下。

1)时间常数影响零极点对消后的主导极点位置，主要决定闭环模型的瞬态响应时间，结合位置控制环对姿态控制环响应速度的要求和实际工程经验，通常选择为0.3～0.6 s。

2)时间常数的选取应当尽可能的使该极点接近恒定零点=-(-)，因此解算得=(-)，此时该组零极点实现对消，故可忽略该极点所对应的瞬态分量对姿态控制过渡过程的影响。

3)阻尼比主要影响系统的振荡特性，通常，对于控制系统的设计，当阻尼比为0.707时，频域响应的幅值特性最为平缓，故选取阻尼比为=0.7。

4)无阻尼自然频率主要影响系统的增益和响应速度，通常与系统的开环穿越频率相近。因此，当其他3个指标都已确定后，会影响高频共轭极点距离虚轴的远近，对于研究的某一通道闭环传递函数而言，与存在一定的函数关系，即：

=()

(18)

因此，可预先设定一频率值，根据校正后系统的开环Bode图来分析其穿越频率和相位裕度，通过多轮设计迭代最终确定出满足预期的值。

据此，便可根据极点配置解析的方法设计迭代出姿态控制内外环的PID参数，并得到最终的闭环控制系统。

3 仿真与飞行实验

3.1 前飞模型辨识结果

基于1.3节中设计的频域辨识实验，得到自研四旋翼在10 m/s前飞模态下的气动和控制偏导数如表1所示，其相对不确定性均小于20%，不灵敏度均小于10%，因此，可认为辨识得到的前飞模型较为准确。

表1 10 m/s前飞模型的辨识参数

通过飞行路径重构，解算出10 m/s平衡状态下3个通道的状态量如表2所示。

表2 10 m/s前飞模态的状态量值

3.2 姿态控制PID整定结果

基于上述实验得到的前飞模型和第2节中的极点配置解析方法，10 m/s前飞模态下设计整定后的姿态控制PID参数如表3所示。同时，为了对比提出的参数设计方法与根据经验和实验手动调参的姿态控制性能差异，表4给出了相同前飞模态下采用手动调参得到的PID控制参数。

表3 文中设计的PID控制参数

表4 手动调参的PID控制参数

3.3 姿态控制仿真对比实验与分析

基于MATLAB/Simulink环境搭建自研四旋翼姿态控制系统的仿真模型，分别采取提出的极点配置解析法与根据经验和实验的手动调参法得到的PID参数，对姿态各解耦通道进行阶跃信号(幅值为15°，即0.261 rad)和正弦信号(0.261sin(0.2π)，单位:rad)的激励，对比分析系统的控制性能。

同时，考虑到实际飞行过程中执行机构对控制系统的影响，在仿真中加入电机动力学环节，如式(19)所示，通过电机辨识实验测量可知，=0.04。

(19)

其中，和分别为理想的和实际的稳态转速。

图4所示为四旋翼在阶跃信号激励下滚转角、俯仰角和偏航角的响应曲线，从对比结果可以发现，利用两种方法设计的滚转和俯仰通道上升时间较为接近，均位于0.3～0.6 s间，满足设计指标要求，同时能够与电机响应速度相匹配，但是偏航通道从机理角度考虑其运动效率偏低，故手动调参设计由于依赖飞手对操纵机动的经验，其结果要明显慢于文中设计的控制系统。

图4 四旋翼在10 m/s前飞模态下滚转、俯仰和偏航通道的阶跃信号响应曲线

就过渡过程而言，提出的方法响应曲线更加平滑，可等效为一阶动力学模型，不存在超调和振荡现象，而手动调参由于严重依赖控制器设计经验和实验迭代次数，过程中无法较好地保证振荡和超调的要求，导致系统的相对稳定性和安全性较低。然而，二者均由于更多地考虑了四旋翼姿态控制的短周期效果，在指令充分响应的快速性方面还有待提升，即趋近于稳态过程中，由于受长周期共轭极点的影响，系统到达稳态的速度较慢。

图5所示为四旋翼姿态三通道对输入正弦信号的跟踪曲线，不难看出，基于极点配置解析法设计的控制系统对连续变化信号的跟踪效果较好，由于考虑了执行机构的动力学滞后，响应的延迟较为合理，而手动调参结果的跟踪效果在信号跟踪准确性和延迟方面均较差。此外，由于在设计中未能解决瞬时指令达到稳态时间较长的问题，因而正弦信号在每个波段上会存在一定的偏差。

图5 四旋翼在10 m/s前飞模态下滚转、俯仰和偏航通道的正弦信号跟踪曲线

3.4 机动平台自主降落实验

利用机动平台降落实验来验证设计的姿态控制系统对位置环期望指令的控制性能。实验中，四旋翼飞行器的初始位置为[0,-20,20]，单位:m，处于悬停状态。移动平台的初始位置为[50,7,2]，单位：m，沿直线运动，过程中控制车辆平台速度不超过3 m/s。

如图6、图7所示，四旋翼能够安全平稳地实现在机动平台上的自主降落，基于前飞辨识模型进行极点配置解析设计得到的姿态控制系统，可以快速准确地跟踪轨迹规划输出的控制指令，二者的相互协调保证了前飞过程的姿态平稳。

图6 四旋翼降落的三维轨迹图

图7 四旋翼的姿态变化曲线

4 结论

针对四旋翼前飞模态尚未建立起精确的动力学模型以及缺乏系统分析的控制器参数设计方法的问题，研究了四旋翼的频域辨识建模和控制器设计。首先利用频域系统辨识原理和实验，建立较为精确的四旋翼前飞动力学模型；进而结合极点配置法，形成一套姿态控制的内外环整体设计方案，并且根据快速性和稳定性指标解算出PID参数的解析表达式。通过姿态控制仿真和室外降落试验，验证了建立的前飞模型较为准确，适用于前飞模态下的控制器设计，并且基于极点配置解析设计的控制器响应速度较快，系统稳定性较强，信号跟踪准确，控制性能优于常规基于悬停模态手动调参的控制器。