基于奇异摄动理论的无人机反步飞行控制律设计

李 勇，常绪成，李树豪

(郑州航空工业管理学院航空发动机学院，郑州 450046)

0 引言

未来空中交通的发展对新一代无人机和通用航空飞机的自主性、安全性和机动性提出了更高的要求。未来的驱动因素，如空中交通密度的增加，无人机交通的插入和增长，多平台协作任务和紧密编队飞行的前景，以及在湍流和有限空域中的近地操作，都需要高度的机动性和不插手或补充的自主控制机制。为了解决这些问题，可以使用控制增强技术来创建简单和安全的飞机操纵特性。因此，针对小型飞机实用化飞行控制系统需求，讨论了如何提高无人机或小型通用飞机飞行安全性和飞机的易操作性。

目前，国内外学者围绕飞机飞行控制领域开展了大量的研究工作。费爱玲等设计了基于扩张状态观测器的反步控制器抑制系统扰动以提高无人机的控制性能。曹立佳等设计了一种带有自适应参数近似的块控反步飞行控制器，所设计的控制器具有良好的指令跟踪能力和较强的鲁棒性。谭健等针对存在干扰的飞翼布局无人机纵向着陆控制问题，提出一种基于 super twisting 滑模干扰观测器与跟踪微分器的反步L2增益鲁棒控制方案。李继广等以带有流体矢量方向舵的飞翼无人机为研究对象，设计了非线性控制器，并进行飞行验证。另外针对飞翼布局无人机操纵能力不足的特点，提出了结合流体矢量控制技术控制策略。吴中华针对无人飞行器非线性系统控制问题，综合鲁棒反演控制、预设性能控制和基于扰动观测器的控制方法进行深入探讨，给出了输入、状态受限与跟踪误差约束条件下的控制律设计方案。刘朝阳在反步控制方法的基础上，引入浸入映射与不变流形方法在无人机非线性控制方面开展了相关研究。吴岸平针对无人机飞行控制系统采用基于PID神经网络的方法进行了控制律设计，具有较高的实际应用价值。王芳针对高超声速飞行器再入姿态控制问题，完成了鲁棒自适应滤波反步控制器的设计并进行了仿真分析。Swarnkar等针对固定翼无人飞行器六自由度模型设计了自适应反步控制器。Choi等结合自适应反步法与控制分配方法，为多操纵面飞机设计了飞行控制律。Sun等提出基于混合多传感器的反步控制方法并实现了飞行控制系统的容错控制。Sonneveldt等应用神经网络和非线性自适应方法针对 F-16 飞机设计跟踪控制器，仿真结果表明在参数未知和执行机构故障的情况下，控制器仍具有闭环稳定性。Choi等设计了一种参数不确定的四旋翼无人机(UAV)自适应指令滤波反步飞行控制律，仿真结果表明，在参数不确定性和推力失准误差的情况下，所提出的控制律也能控制系统的内部状态，从而提高了系统的跟踪性能。Kim等提出了一种利用角加速度测量的附加增广控制方法，针对先进教练机的数学模型进行了频域线性分析和时域数值仿真，结果表明，该控制方法有效地减少了无指令侧向运动，改善了飞机的操纵品质。

文中针对某小型无人机飞行控制提出了一种新的非线性控制器设计方法，该方法基于反步法、奇异摄动理论和近似动态逆理论，这种方法被称为基于传感器的反步法(SBB)，它不使用动态模型信息，仅依赖于测量。通过建立某型无人机系统模型和基于奇异摄动理论的反步控制器模型，比较了两种反步控制器设计对参数不确定性、传感器噪声、干扰、时延等对飞机响应的影响。结果表明，基于传感器的反步(SBB)控制器比传统的反步法具有更大的优势，即模型不确定性对性能的影响较小，测量噪声对飞机的响应影响很小同时保证了受控系统的稳定性。因此，提出的新的控制器设计能够满足无人机飞行控制需要，对模型不确定性、传感器偏差、传感器噪声和时间延迟具有鲁棒性，同时要足够快和准确，以适应小型飞机相对灵活的动态特性。

1 无人机系统模型

建立了一种用于飞行控制律设计的动态飞机模型。提出了一组参考框架来定义飞机的动态行为，并用运动方程来确定这种行为。该模型仅适用于巡航条件下的无人机飞行控制律设计，并且控制律需要对模型不确定性具有较强的鲁棒性。

飞机的动态行为可以用一组称为运动方程(equations of motion,EOM)的方程来描述。由于运动仅在参照系中有意义，因此先从第1.1节定义一组参照系开始。下面将在第1.2节中推导EOM。

1.1 飞机模型参照系

开发的飞机模型使用了6个参照系。这些参照系广泛用于飞机建模，因此仅在此处列出。

1)地球固定参照系在相对于地球的位置和姿态上是固定的，并且假定是惯性的。

2)装备局部-地球参照系的飞行器，与飞行器平行，但姿态与相同。

3)运动学参照系指向飞机相对于地面的移动方向，并通过在航迹角、飞行轨迹角和运动学倾斜角上旋转来获得。

4)机身固定参照系指向飞机机头，通过在偏航角、俯仰角和滚转角上旋转而获得。

5)空气动力参照系指向飞机相对于空气的行进方向，并通过在侧滑角和攻角上旋转或在空气动力轨迹角、飞行轨迹角和气动倾斜角上旋转来获得。

(6)轨道固定参照系是一种右手正交轴系，其指向地球固定轨道，通过在轨道角上旋转而获得。

1.2 动态飞机模型运动方程

通过推导给出了描述飞机运动的12个微分方程和一系列假设。第一组三个微分方程用于计算飞行器的平移运动：

(1)

其中：是飞行器质量;,,分别为飞行器在纵轴、横轴、垂直轴上的受力。机体坐标轴系的3个速度分量(,,)是飞行速度在机体坐标轴系各轴上的投影分量。机体坐标轴系的3个角速度分量(,,)是机体坐标轴系相对于惯性坐标系的转动角速度在机体坐标轴系各轴上的投影分量。

第二组三个微分方程用于计算飞机的旋转运动：

(2)

其中：为转动惯量;,,分别为飞行器的滚转力矩、俯仰力矩、偏航力矩。

第三组三个运动学方程用来描述中飞机姿态的旋转变化率。

(3)

式(1)～式(3)称为物体方位方程式。其中为偏航角;为俯仰角;为滚转角。

最后一组三个微分方程，称为导航方程，用于描述中物体的平移运动:

(4)

式中，表示空气相对于地球的恒定速度：

其中表示参考高度的风速；表示相对于的风向。

并且

此外，中的力方程可以写为:

(5)

其中：为飞行器的实际空速；为飞行器在中所受到的力。将式(5)代入式(1)，则这些导数也可以从式(6)获得：

(6)

地面速度和轨道角的变化可以使用类似的形式来描述：

(7)

其中：为飞行器的地面速度；为航迹角；为飞行轨迹角。上述公式在飞行控制律设计中得到了应用。

上述微分方程式在以下假设下成立:

1)假设地球是平坦的、不自转的，因此地球固定的参照系与惯性参照系相同。

2)飞机是刚体，因此飞机内的任何两个点都保持在固定的相对位置。

3)飞机的质量在模拟时间段内是恒定的。因此，可以在冲量方程的时间导数之外计算所有质量元素的积分。

4)飞机的俯仰角以-π/2<<π/2为界。这一假设防止了式(3)中的奇点出现。

其他有关飞行器的力和力矩模型、大气环境模型、气动模型等的建模方法参见参考文献[17]。

2 控制方法

2.1 反步控制

反步法又称反推法、后推法或反演法，它是科克托维奇等在1995年首先提出的用来解决非线性系统控制问题的有效方法之一。反步法属于递归非线性设计策略的一类。其主要思想是在一个小的子系统的基础上设计一个控制李雅普诺夫函数(CLF)，然后在每个步骤中将这个设计逐步应用于一个扩展的子系统。当扩充部分恢复到整个系统时，设计就完成了。Backstep从控制输入中移除的积分步数最多的子系统开始。每一步用一个“虚拟控制输入”稳定子系统，然后用一个积分方程增广，直到最终得到原始控制输入和完整的系统。在图1中，从离控制输入最远的积分器开始，在每一步添加积分方程式，看起来是在向后移动。这就是反步的由来。

()=0⟹()<0

(8)

在反步控制器的设计中使用CLF的原因是，CLF的存在等同于全局稳定控制律的存在。换言之，当找到CLF时，反步控制律将是全局稳定的。图1显示了所产生的闭环系统的框图。绿色箭头表示用于确定反步控制律的模型信息。反步过程也可以推广到阶严格反馈系统。

图1 二阶非线性系统和反步控制律闭环系统

2.2 奇异摄动理论

奇异摄动，即不能近似为零的小摄动，导致系统中的时间尺度分离行为。这可以从系统对外部输入的反应的慢瞬变和快瞬变中看出。考虑一个奇异摄动的非线性系统，其状态空间描述为：

(9)

其中和平稳地依赖于小的正参数。

在奇异摄动理论中，给出系统：

(10)

2.3 近似动态逆(ADI)控制器

Hovakimyan等提出了一种基于奇异摄动系统时间尺度分离特性的控制器。针对非线性系统

(11)

其中对于(,)∈×，(0)=。⊂和⊂是包含相应原点的区域。这里表示状态向量，表示输入向量。函数的自变量是连续可微的。此外，假设∂∂对于(,)∈,⊂×是从零起有界的，其中,是一组可能的初始条件的紧凑集合，即存在>0使得|∂∂|>。

为状态定义基准信号，并且状态和该基准之间的跟踪误差由=-给出。因此，系统的动态误差可以写成:

(12)

一种用于式(12)的ADI控制器可以基于式(13)快速动态来构建：

(13)

其中(,,)是映射×→。

2.4 基于传感器的反步法

假设式(13)中的函数(,,)可以写成:

(14)

(15)

(16)

(17)

称为基于传感器的反步(sensor-based backstepping,SBB)控制器。图2显示了SBB控制器的框图，绿色箭头表示控制器设计中使用的模型信息。

图2 基于传感器的反步法控制器框图

3 对比与分析

针对式(5)，其中表示作用在飞机上的力的总和，也包含不确定的参数。操纵面偏转和油门杆角度(=)对的影响可写为:

(18)

其中:表示推进模型;为不确定参数作用在飞机上的力，并再次假设系统是仿射控制。在姿态模式下，使用速率命令姿态保持(rate command attitude hold，RCAH)策略控制俯仰角和滚动角，应抑制侧滑并保持速度。

为了实现速率命令姿态保持控制，结合式(3)、式(5)，整个系统可以写成：

(19)

针对某型飞机动态模型将提出的基于传感器的反步控制器与一般增量反步(incremental backstepping，IB)控制器进行仿真对比分析，对于一般的增量反步控制器设计，考虑系统:

(20)

可以使用线性化系统近似来构造使该系统的动态误差=-稳定的IB控制器:

(21)

图3和图4显示了SBB控制器对飞机响应的影响。请注意，飞机响应在这里指的是文中描述的飞机模型的响应，显然，控制器能跟踪姿态速率命令信号，并在没有输入的情况下保持姿态角。

图3 基于传感器的反步和增量反步控制纵向飞机响应曲线

图4 基于传感器的反步和增量反步控制横向飞机响应曲线

使用传感器模型对测量的输入和输出信号进行噪声处理。在仿真环境中增加了一个用于角加速度计的模型。结果如图5和图6所示。显然，两个控制器仍然能够跟踪参考信号。在每个绘图的前5 s内，可以看到偏移量，这些偏移量是由于角加速度计的传感器偏置而存在的。图5(e)显示SBB控制器与IB控制器相比，生成更平滑的油门杆角度PLA命令。图6显示，当存在噪声时，IB控制器相对于SBB控制器在处理侧滑方面的优势消失了。与IB控制器生成的方向舵命令相比，SBB控制器生成的方向舵命令也更平滑。

图5 传感器噪声存在时基于传感器的反步和增量反步控制的纵向飞机响应曲线

图6 传感器噪声作用下基于传感器反步和增量反步控制的飞机横向响应曲线

4 结论

提出了一种基于奇异摄动理论的反步控制器设计方法，称为基于传感器的反步法。该方法在实施过程中使用测量数据，而不是模型知识，因此有可能在很多小型飞机上使用。无论是对简单标量系统，还是对某型无人机的飞行控制，使用这种方法可以获得良好的跟踪性能(无论是否存在不确定性)。

将基于传感器的SBB控制器同另一种基于泰勒展开的IB控制器进行对比分析。仿真结果表明，在存在传感器噪声的情况下，SBB控制器提供了更好的结果，测量噪声对飞机的响应影响很小，与传统的反步方法得到的结果相似。由于该反步控制器是基于李雅普诺夫分析的，因此保证了受控系统的稳定性。开发的新控制器比传统的反步法具有更大的优势，即模型不确定性对性能的影响较小，因此该控制器设计方法很可能是向小型飞机/无人机先进飞行控制律认证迈出的重要一步。

在设计任何一种先进的控制器之前，仍有一些实际因素需要考虑。目前文中开发的新控制器的主要缺点是需要对执行器输出进行测量，以便对时间延迟具有鲁棒性。初步的仿真结果表明，使用执行器模型也可以得到较好的结果，在今后的工作中，执行器模型的精确度是一项值得研究的内容。

此外，还需要进一步研究并寻找更科学的控制器增益选择方法。文中使用的大部分控制器增益是通过试验和误差选择的，可以改进。未来可以采取最小化控制误差、噪声衰减、干扰抑制和跟踪性能的成本函数方法，以找到最优的控制器增益。或者，可以使用类ANOVA方差分解方法提供的控制性能评估来调整控制器增益，以便找到能够更好地抑制噪声的控制器增益。