基于“FAST”主动反射面形状调节问题的研究

张科智 魏 魁 王 帅 李思阳

（1.河西学院物理与机电工程学院；2.河西学院非线性物理研究所，甘肃 张掖 734000）

引言

中国天眼FAST是目前世界上口径最大、最具威力的单天线射电望远镜，它的建成对于我国在人类直接观测遥远星系行星、寻找类似太阳系或地球的宇宙环境，以及潜在智慧生命方面都有关键性的作用，在航天工程及其他领域具有广泛用途［1，2］，它的启用对我国在科学前沿实现重大原创突破、加快创新驱动发展具有重要意义.

天眼FAST由主动反射面、馈源舱以及相关系统组成.其模型是：利用可见光模拟天眼接收到电磁波信号，经过反射面板工作将可见光反射汇聚到模拟馈源舱与接收机系统，此后将接收到的可见光通过光敏电阻及相关电路转换为电信号［3，4］.但当可见光经反射面板不能准确反射到光敏电阻位置时，可利用红外遥控器对天眼的控制与模拟测量系统进行调节，使馈源舱的位置达到可见光反射点位置.其中，主动反射面系统是由主索网、反射面板、下拉索、促动器及支承结构等主要部件构成的一个可调节球面.利用主动反射面技术可将反射面调节为工作抛物面.

本文讨论在反射面板调节约束下，利用几何规律和粒子群优化算法确定被测天体S位于基准球面的不同方位时，体系的旋转抛物面方程和基准球面方程，研究FAST主动反射面的天体形状调节问题.通过调节促动器的径向伸缩量，将天体位于不同方位时的反射面板调节为工作抛物面，使得该工作抛物面尽量贴近理想抛物面，让到达馈源舱的平行电磁波最强，以获得天体电磁波经反射面反射后的最佳接收效果.

1 理论模型

FAST 主动反射面可分为两个状态：基准态和工作态.基准态时反射面为半径约300m、口径D 为500m的球面（基准球面）；工作态时反射面的形状被调节为一个300m口径的近似旋转抛物面（工作抛物面），FAST在观测时的剖面示意图，如图1所示，C点是基准球面的球心，馈源舱接收平面的中心只能在与基准球面同心的一个球面（焦面）上移动，两同心球面的半径差为F=0.466Rm（其中R为基准球面半径，称F/R为焦径比）.馈源舱接收信号的有效区域为直径1m的中心圆盘.当FAST观测某个方向的天体目标S时，馈源舱接收平面的中心被移动到直线SC 与焦面的交点P处，调节基准球面上的部分反射面板形成以直线SC为对称轴、以P为焦点的近似旋转抛物面，从而将来自目标天体的平行电磁波反射汇聚到馈源舱的有效区域.

图1 “FAST”剖面示意图

由于不同的工作状态选取的工作抛物面不同，这里我们以球心C坐标为坐标原点，竖直向上为z轴正方向建立空间直角坐标系，首先建立观测天体S位于基准球面的正上方时的理想抛物面模型，然后进一步探究观测天体位于任意方位角和仰角时的理想抛物面模型.

当观测天体S位于基准球面的正上方时，α=0°，β=90°，其剖面如图1所示.

由几何关系和物理规律建立基准球面的剖面方程为：

我们在基准球面（4）式的基础上，通过改变促动器的伸缩量来改变工作抛物面的位置，经计算口径为300m 的旋转抛物面与球面的径向距离之差超过促动器径向伸缩范围-0.6m～+0.6m 的主索点有423 个，因此，需要对旋转抛物面进行修正.设抛物面焦距的修正量为d，其中d 的取值范围是［-0.6m，0.6m］，则修正后的旋转抛物面方程为：

结合反射面板调节因素，可以优化计算得到旋转抛物面焦距修正量d.（5）式是我们求解改变主动反射面形状后体系理想抛物面的关键.其中反射面反调节因素示意图如图2所示，包括主索节点、反射面板及促动器的径向伸缩量等［5］.本文中我们采用主动反射面共有主索节点2226个，不考虑周边支承结构连接的部分反射面板共有4300块［2］.

图2 反射面板、主索网结构示意图

当天体位于任意方位角和仰角时，可在上述模型的基础上利用坐标变换确定理想抛物面模型.

2 天体位于α=0°， β=90°时理想抛物面的确定

将反射面调节为工作抛物面是主动反射面技术的关键，该过程通过下拉索与促动器配合来完成［6］.下拉索长度固定，促动器沿基准球面径向安装，其底端固定在地面，顶端可沿基准球面径向伸缩来完成下拉索的调节，从而调节反射面板的位置，最终形成工作抛物面.从而使信号更好的反射到馈源舱，其工作面反射如图3所示.

图3 工作面反射示意图

结合反射面板调节因素，经优化计算得到旋转抛物面焦距修正量为0.204m，结合（5）式，由matlab画图得到到理想抛物面的曲面方程，如图4和图5所示.

从图4我们看到，经过修正后当被测天体S位于基准球面正上方时得到理想的抛物面如图4中的蓝色曲线所示，非常好的贴近基准球面如图4中的红色曲线.为了更清楚的描述理想抛物面的贴合程度，把图4中的蓝色曲线另画如图5所示.由抛物面的对称性及球面的径向距离之差超过促动器径向伸缩范围-0.6m～+0.6m此约束条件知，此时的反射面是最理想的工作抛物面，使得天体电磁波经反射面反射后的接收效果最佳.

图4 天体位于基准球面正上方时理想抛物面与基准球面的比较，红色线代表基准球面，蓝色线代表理想抛物面

图5 天体位于基准球面正上方时理想抛物面

3 天体位于α=36.795°， β=78.169°时，理想抛物面的确定

3.1 模型建立

当观测天体S位于任意方位角和仰角时，可将天体位于基准球面正上方所得到的理想抛物面进行旋转变换确定此时的理想抛物面.本文任意选择某一角度如α=36.795°，β=78.169°，建立反射面板调节模型，利用约束条件使反射面尽量贴近理想抛物面.

依据分析，建立如下数学模型：

图6 天体S方位角和仰角示意图

顶点坐标为（-49.287m，-36.865m，-293.823m）.

3.2 目标函数

因主动反射面工作时要求将主动反射面调整成尽可能接近理想抛物面的形状，使到达馈源舱的平行电磁波最强.因此调整后的节点位置相对于理想抛物面的偏差为最小时便是此问题的目标函数.故，设xi0（i=1，2,3…n）为节点i的初始位置坐标向量.调整后对应的节点位移为

3.3 约束条件

假设基准状态下，促动器顶端径向伸缩量为0，其径向伸缩范围为-0.6m～+0.6m；主索节点调节后，相邻节点之间的距离变化不能太大，会发生微小变化，变化幅度不超过0.07%.故约束条件为

3.4 结果及应用

通过式（9），利用约束条件和粒子群优化算法优化得到天体位于α=36.795°，β=78.169°时，理想抛物面如图7所示.

理想抛物面的图像如图7和图8所示.

图7 蓝色代表α=36.795°，β=78.169°时的理想抛物面，红色线代表α=0°，β=90°时的基准球面

图8 天体位于α=36.795°，β=78.169°时的理想抛物面

为了对比方便，我们给出了α=0°，β=90°的理想抛物面和α=36.795°，β=78.169°的对比图如图7所示.显然，利用约束条件将重新建立的旋转抛物面利用粒子群算法进行优化，使反射面调节为工作抛物面，使得如图7所示的抛物面尽可能的贴近理想抛物面，已获得天体电磁波经反射面反射后的最佳接收效果.在此过程中为使反射面尽量贴近该理想抛物面，可选反射面300m口径内主索节点对应的促动器的伸缩量为控制变量，反射面与理想抛物面之间的径向距离最小为目标函数见（10）式，建立反射面板调节的优化模型，利用粒子群优化算法对反射面300m口径内的主索节点的位置坐标进行优化得到调节各促动器的伸缩量及各主索节点的位置坐标.

4 结论

本文对射电望远镜的反射面的形状进行了分析，根据几何关系和物理规律，结合反射面板的调节因素，建立反射面板的理想抛物面以及反射面板调节的优化模型，模型能够给出使反射面最接近理想抛物面的促动器伸缩量及主索节点的位置坐标，研究结果对于射电望远镜反射面板的调节具有一定的参考意义.结果表明：当待观测天体位于基准球面正上方，即α=0°，β=90°时，根据几何关系及反射面板的调节因素确定了一个理想抛物面，使得该工作抛物面尽量贴近理想抛物面，以获得天体电磁波经反射面反射后的最佳接收效果.当待观测天体位于任意方位角和仰角α=36.795°，β=78.169°时，利用对称性将得到的理想抛物面经旋转操作后可得到天体位于任意角度α=36.795°，β=78.169°方位的理想抛物面以及理想抛物面的顶点坐标为O（-49.38m，-36.86m，-293.92m）.然后以促动器的伸缩量为控制变量，以调节后反射面板与理想抛物面之间的距离最小为目标函数，以促动器径向伸缩范围和主索节点调节后相邻节点之间变化幅度不超过0.07%为约束条件，建立反射面板调节的优化模型.此方法适合任意方位角的优化计算和镜面调节.最后采用粒子群算法求解该模型，得到调节后反射面300m口径内的主索节点编号、位置坐标和各促动器的伸缩量.