基于流形分离的共形阵列波达方向快速估计方法

匡开锋

（中国船舶集团公司第七一五研究所，浙江 杭州 310023）

0 引言

共形阵列能够同物体外形保持一致，其低剖面特性使得天线对运动载体气动特性的影响较小，亦能有效地减小天线体积、节省安装空间。将共形阵列贴合载体安装进行无线电测向，是其重要应用之一[1]。然而，其特殊的阵列结构和复杂的电磁环境，使得经典的基于标量阵列的算法难以直接应用。阵列流形内插、波束空间变换等方法可以将不规则阵列映射成虚拟的均匀阵列。FRIEDLANDER等人提出了利用阵列流形内插技术将任意阵列结构变换为虚拟的均匀阵列的方法[2]，GERSHMAN等人研究了不依赖于阵列几何的信号波达方向（Direction of Arrival，DOA）快速估计方法[3]，并提出了用于任意阵形的Fourier Domain MUSIC 方法[4]。文献[5]和文献[6]引入子阵划分方法，分别结合MUSIC 和ESPRINT 算法实现了基于共形阵列的信号DOA估计，但是估计精度受内插误差的影响。BELLONI 等提出的流形分离技术[7]，可将任意阵列的导向矢量分解表示成采样矩阵与具有范德蒙结构的矢量的乘积，进而可将适用于线阵的信号DOA估计方法拓展到任意阵列。

利用信号的非圆特性可增加获取信息的维度。数据信息越充分，对于增加信源分辨个数和提高测向精度的作用越明显。共形阵列在机载雷达、舰载通信终端等平台的应用日益广泛，然而利用信号统计特性提升其探测性能的研究并不多见[8]。本文基于抛物面共形阵列，针对非圆信号入射的情形，结合流形分离技术和多项式求根方法，实现共形阵列非圆信号DOA 的快速估计，并利用仿真验证了算法的有效性。

1 共形阵列非圆信号数据接收模型

1.1 非圆信号的定义

信号s和其旋转任意相位的信号得到的sejθ，若满足E{sejθ}=E{s}，E{sejθ(sejθ)*}=E{ss*}，E{sejθ·sejθ}=E{ss}，即两者的一阶和二阶统计特性符合旋转不变，则称s为圆信号。若不符合，则称s为非圆信号。对于信号s，有：

式中：非负实数ρ∈[0,1]叫做信号非圆率，φ代表信号非圆相位，σs2是信号功率。当0＜ρ≤1，信号是非圆的，ρ为1 的信号称为完全非圆信号。完全非圆信号可由实信号移相得到。本文基于完全非圆信号进行研究，其信号矢量s可写成：

1.2 阵列接收模型

图1 所示为一抛物面共形阵列，假设阵元数为M，远场P个窄带信号以角度(θi,φi)入射到该阵列上。

图1 抛物面共形天线阵列

为简单起见，暂不考虑互耦和极化的影响。此时阵列输出信号矢量可以表示为：

式中：F=[f(φ1)，f(φ2)，…，f(φp)]表示阵列方向图矩阵，其第m列矢量f(φp)对应于第p个信号的响应矢量，s(t)=[s1(t)，s2(t)，…，sP(t)]T是P维信号的信号矢量；n(t)=[n1(t)，n2(t)，…，nM(t)]T表示阵列的噪声矢量，其中nk(t)为第k个接收通道的加性测量噪 声，k=1,2,…,M；A=[a(φ1)，a(φ2)，…，a(φM)] 是阵列空间相位矩阵，其列矢量aφm的第m个元素可以表示为：

式中：k=2π/λ，λ为信号波长，(xi,yi)对应于阵元中心的位置坐标。实际应用中需利用阵列观测进行估计，可获得输出矢量x(t)的K次快拍数据。阵列输出的协方差矩阵为：

2 流形分离技术

流形分离技术可将导向矢量分解成采样矩阵与范德蒙结构向量的乘积。其中，采样矩阵描述阵列自身的信息，而范德蒙结构矢量只与信号有关，反映了角度特征，从而使得标量阵列免搜索算法得以应用。

在极坐标系下，阵列导向矢量可表示为：

式中：(rm,γm)为第n个阵元的极坐标，fm(φp)表示第m个阵元对应于第p个信号的响应。利用Jacobi-Anger 将式（6）展开：

式中：Jh(·)为h阶第一类Bessel 函数，fm(φp)是φp的周期函数，可以用傅里叶系数表示为：

将式（8）代入式（7）可得：

式中：[Gs]mn为采样矩阵中Gs的第(m,n)个元素。采样矩阵Gs只与阵列自身信息有关，而与入射信号无关。

令d(φp)=e-jnφp，n=…,-2,-1,0,1,2,…，则式（9）可改写为：

实际中，采样矩阵可通过阵列测量数据获取。令角度测量的集合为表示测量点数。将信源在方位角φ∈[-π,π)上移动，测得阵列在远场信号入射时相应的流形矢量矩阵，记为A＇=[a＇(φ1),…,a＇(φQ)]∈CM×Q，对每行数据进行Q点的离散傅里叶逆变换（Inverse Discrete Fourier Transform，IDFT），则第m行可以表示为：

式中：g=Qt-n，p=Qt+n，第一项为采样矩阵的元素，而第二项是由于角度域的采样产生的Q点的周期平移。由Bessel 函数的性质可知，采样矩阵Gs的幅度关于n对称分布，且随着|n|增大衰减越快，忽略较大|n|对应的模式可得截断的有效孔径分布函数矩阵为：

ε(Qe,Q) 表示混叠及截断引起的误差，Qe=2Me+1。因此，在忽略模式截断带来误差的条件下，综合式（6）和式（13）可得：

3 共形阵列一维波达方向快速估计方法

考虑完全非圆信号入射的情形，利用信号的非圆特征对阵列输出进行扩展，此时有：

非圆信号阵列输出共轭矩非零，可得扩展的阵列输出协方差矩阵：

对扩展协方差矩阵进行分解为：

矩阵B与Es张成的信号子空间相同，利用其与噪声子空间的正交性可得共形阵列非圆信号MUSIC 空间谱表达式为：

式中：J(φ,φ)=b(φ,φ)HEnEnHb(φ,φ)，J(φ,φ)可以改写为：

En1，E2为两个维数相同的子阵，且有：

由于d(φ)矢量具有范德蒙特性，可利用多项式求根方法来加快求解过程。令z=ejφ，此时d(φ)可以表示为信号DOA估计问题可以转化为求根方且有：

式中m11，m12，m21具有如式（25）所示的形式。

式中：m11为关于z的多项式，其第l项的系数为矩阵GHEn1En1HG第l个对角线元素之和。其中，l=-Me+1 表示主对角线之下的最低对角元素，l=Me-1 表示主对角线之上的最高对角元素。令为多项式系数组成的列矢量，此时有：

同理，定义u为矩阵GHEn1En1HG*的反对角线元素之和对应的多项式系数组成的列矢量，则有：

此时，式（24）可以改写为：

多项式det{M}的根可以通过方程求解得到。由于该多项式系数具有对称性，所以这些根关于单位圆共轭成对出现。此处选取单位圆以内最接近单位圆的根zd来进行信号DOA 估计：

4 计算机仿真

4.1 仿真实验一

抛物面阵列阵元如图1 所示进行放置，表面阵元位置分布函数为x=-0.2y2，阵元方向图为f(φ)=(1+cosφ)/2。阵元个数为11，EADF 矩阵的第一行幅度随模式数变化的曲线如图2 所示。实验中取模式数Qe=31，入射信号的方位角为[10，20]，固定快拍数为100，进行200 次蒙特卡洛实验。角度估计均方根误差随信噪比变化的曲线如图3所示。可以看出，本文所提算法的角度估计均方根误差随着信噪比的增大而逐渐变小，信号非圆特征得到利用，使得接收数据信息更为充分。所提算法在低信噪比、短快拍下的估计结果优于常规root-MUSIC算法。

图2 EADF 矩阵幅度随模式数变换曲线图

图3 角度估计均方根误差随信噪比变化曲线

4.2 仿真实验二

仿真实验二讨论快拍数对算法估计性能的影响。实验中取模式数Qe=31，入射信号的方位角为[10，20]，固定信噪比为5 dB，进行200 次蒙特卡洛实验。快拍数从50 到500 变化时，角度估计均方根误差的变化曲线如图4 所示。可以看出，随着快拍数增大，本文所提算法的估计效果逐渐变好，且估计精度较高。

图4 角度估计均方根误差随快拍数变换曲线

5 结语

针对复杂载体共形阵列，通过对阵列导向矢量进行分解，建立其与范德蒙结构矢量的联系，能够使得标量阵列的免搜索方法得以应用。针对非圆信号入射的情形，结合流形分离技术和求根MUSIC方法，本文提出了一种任意曲面共形阵列非圆信号闭式DOA 估计方法。所提方法用多项式求根替代了谱峰搜索过程，降低了运算量，非圆孔径的扩展也使得估计精度也得到提升。该方法在短快拍、低信噪比环境下具有较好的估计效果，数据仿真验证了算法的优良性能。