再谈“陪位中线”

崔 浩

(北京市第十二中学 100071)

《数学通报》2019年第12期发表汪学思老师关于三角形陪位中线的文章(以下简称文[1])，读后深受启发.巧合的是，笔者在长期数学竞赛辅导工作中，也发现三角形陪位中线有着广泛的运用，于是，在研读文[1]的基础上，对陪位中线从作法到证明，从性质到应用，以及学生在课堂上的若干意外生成，做了进一步地研究与思考，侥幸有了一些新的发现，现不揣浅陋，特向同行汇报一下自己的研究结果，以期得到专家的指正.

1 作法

考虑到三角形的陪位中线并非平面几何中的主干内容，为方便读者，重温陪位中线的定义：

图1

如图1，已知AD是△ABC(AB

图2

(1)作法1如图2，AD是△ABC(AB

(2)作法2如图3，过B，C两点作不过点A的圆O, 与直线AB、AC分别交于点F、G，FG的中点为M，AM与BC交于点E，则AE是△ABC边BC上的陪位中线.

图3

(3)作法3如图4，作△ABC的外接圆O，分别过点B、C作圆O的切线，两条切线交于点P，连接PA交BC于点E，则AE是△ABC边BC上的陪位中线.

(说明：这里△ABC的内角∠BAC是锐角，至于∠BAC是钝角的情形，限于篇幅，留给有兴趣的读者完成.)

证明如图4，记AP与圆O交于点Q，

连接BQ和CQ，

图4

因为PB是圆O的切线，

因为PC是圆O的切线，

即AB·CQ=AC·BQ.

由托勒密定理得

AQ·BC=AB·CQ+AC·BQ,

又D为BC的中点，

所以AQ·2DC=2AC·BQ，

又∠AQB=∠ACD, 所以△AQB∽△ACD，

所以∠CAD=∠BAE，

即AE是△ABC边BC上的陪位中线.

上面我们证明了△AQB∽△ACD，连接DQ，容易证明△AQB∽△CQD,所以△ACD∽△CQD，进而得出∠ADC=∠CDQ，即射线DA与射线DQ关于BC对称，在此基础上可得出作法4.

(4)作法4如图5，作射线DA关于BC对称的射线，交△ABC的外接圆O于点F，连接AF交BC于点E，则AE是△ABC边BC上的陪位中线.

证明如图5，连接OA、OD，作半径OG，使∠AOD=∠GOD,连接GB、GD、FC，则△AOD≌△GOD，所以DA=DG，∠ADO=∠GDO.

图5

(5)作法5如图6，作△ABC的外接圆O，连接OA，与AD的中垂线交于点O1，以O1为圆心以O1A为半径的圆，交BC于点E，则AE是△ABC边BC上的陪位中线.

图6

(6)作法6如图7，作边AB的中垂线GM，交AD于点M，作边AC的中垂线HN，交AD于点N，直线BM与CN交于点P，作直线AP交BC于点E，则AE是△ABC边BC上的陪位中线.

图7

所以∠ABM=∠BAM=θ-α,

因为HN是边AC的中垂线，

所以∠ACN=∠CAN=α,

(1)

(2)

因为D是BC的中点，

所以ACsinα=ABsin(θ-α)，

所以sin(θ-β+α)-sin(θ-α+β)=0，

所以2sin(α-β)cosθ=0.

所以∠CAD=∠BAE，

所以AE是△ABC边BC上的陪位中线.

2 性质

如图8，已知AD是△ABC边BC上的中线，AE是△ABC边BC上的陪位中线，则有下列四条常用性质.

图8

性质1(陪位中线长)

记AB=c,BC=a,CA=b，则

证明(1)见文[1]第54页.

(2)由斯特瓦尔特定理得

b2BE+c2EC=a·BE·EC+a·AE2(*)，

由(1)和BE+EC=a可得

代入(*)并化简得

(3)又由斯特瓦尔特定理可得

从性质1(3)可以看出，三角形边上的中线长不小于它对应的陪位中线长.

性质2如图8-1，设N是AE上任一点，点N在AB、AC上的射影分别为P、Q，则

图8-1

证明(1)因为N在AB、AC上的射影分别为P、Q，所以

NP=ANsin∠BAE,NQ=ANsin∠CAE,

所以

因为D是BC的中点，

所以ABsin∠BAD=ACsin∠CAD,

(2)又N在AB、AC上的射影分别为P、Q可得A,P,N,Q四点共圆，所以∠PAE=∠PQN,因为∠BAE=∠CAD, 所以∠PQN=∠CAD, 所以PQ⊥AD.

值得注意的是，性质(2)的证明没有用到D是BC中点的条件.

性质3如图8-2，过B、C两点的圆与AB、AC分别交于点F、G，FG分别与AE、AD交于点D1,E1，则AD1,AE1分别是△AFG的中线和陪位中线.

图8-2

证明由题意，B,C,G,F四点共圆，

所以∠AFG=∠ACB, 因为∠BAE=∠CAD,

所以△AFD1∽△ACD,

又由B,C,G,F四点共圆得△ABC∽△AGF,

因为D是BC的中点，所以D1是FG的中点，

即AD1,AE1分别是△AFG的中线和陪位中线.

性质4(有关外接圆)如图8-3，若AE与△ABC外接圆O的交点为F，则

图8-3

(1)射线DA、DF关于BC对称；

(2)FE是△FBC的边BC的陪位中线；

(3)四边形ABFC是调和四边形(1)若圆的内接四边形的对边乘积相等，则称此四边形为调和四边形..

所以BF=GC，且∠DBF=∠DCG，

因为D为BC的中点，

所以△BFD≌△CGD，所以∠BDF=∠CDG，

因为∠ADB=∠CDG，所以∠BDF=∠ADB，

即射线DA、DF关于BC对称；

(2)由作法4，根据(1)的结论知：

FE是△FBC的边BC的陪位中线；

(3)由题意得∠BAF=∠DAC，

因为∠AFB=∠ACD,

所以△ABF∽△ADC，

所以AF·DC=BF·AC，

因为D为BC的中点，

所以AF·BC=2BF·AC，

由托勒密定理得

AF·BC=BF·AC+FC·AB，

所以BF·AC=FC·AB，

故四边形ABFC是调和四边形.

3 应用

例1(2011年全国高中联赛加试第一题)如图9，P，Q分别是圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD的中点，若∠BPA=∠DPA，证明∠AQB=∠CQB.

证明记AC与BD交于点O，由题意，结合作法4知DO是△ACD的陪位中线，再由性质4(3)知，四边形ABCD是调和四边形，

因为∠ABQ=∠ACD，所以△ABQ∽△ACD.

因为∠CBQ=∠CAD，所以△BCQ∽△ACD，

所以△ABQ∽△BCQ，故∠AQB=∠CQB.

图9

例2(2013年东南数学奥林匹克)如图10，在钝角△ABC中，AB>AC，点O是其外心，边BC、CA、AB的中点分别为D、E、F，中线AD与OF、OE分别交于点M、N，直线BM、CN交于点P,证明：OP⊥AP.

图10

证明由题意，得FM、EN分别是AB、AC的中垂线，结合作法6，可得AP在边BC的陪位中线上，

所以∠BAM=∠ABM=∠PAC,

∠NAC=∠NCA=∠BAP，

因为E、F分别是AC、AB的中点，

所以△BFP∽△AEP，所以∠BFP=∠AEP,

故F,P,E,A四点共圆，

由OF⊥AB,OE⊥AC得O,F,E,A四点共圆，

所以O,F,P,E,A五点共圆，

所以∠OPA=∠OEA=90°,即OP⊥AP.

例3(2000年全国高中联赛加试第一题)如图11，锐角△ABC的边BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB,FN⊥AC(M,N为垂足)，延长AE交三角形ABC的外接圆于点D，证明：四边形AMDN与△ABC的面积相等.

图11

4 文[1]拾遗

例4(文[1]例7) 如图12，在△ABC中，AB>AC，过点A作△ABC的外接圆⊙O的切线，与BC的延长线交于点D，E为AD的中点，BE与⊙O交于点F，求证：AF在△ACD的边BC的陪位中线上.

图12

分析文[1]中给出的两种证明都用了性质，若回到定义中去证明，则想法更自然、过程更简洁.

证明取CD的中点M，由题意EM是△ACD的中位线，所以∠DEM=∠DAC,

因为∠DAC=∠ABD，所以∠DEM=∠ABD，故A,B,M,E四点共圆，

所以∠MAD=∠DBE,

因为∠CAF=∠DBE，所以∠CAF=∠MAD，

所以AF在△ACD的边BC的陪位中线上.

例5(文[1]例5)如图13，在△ABC中，已知顶点A、重心G和其经过A点的陪位中线所在直线与△ABC外接圆的交点S，然后擦去点B、C及其外接圆，请从保留的三个已知点A,G,S出发，作图画出原△ABC.

图13

文[1]中的解法可概括为如下六个步骤，如图13-1：

图13-1

②以M为圆心，以MS为半径作圆c1；

③设AM的延长线交圆c1于点T；

④作△AST的外接圆c2；

⑤过M作TS的平行线交圆c2于点B、C；

⑥连接A、B、C，则△ABC即为所求.

上述解法完全正确，笔者由衷佩服文[1]作者超强的解题能力，但从我的学生角度看，他们对解题过程一定会心生疑惑，如在第②、③两步，怎么想到要作点T？第⑤步作TS的平行线，学生很难想到.如果做法不能给出自然、平实的解释，那么很难内化为学生的能力，无疑会使解题教学的效益大打折扣.事实上，若学生掌握了陪位中线性质4(2)，下面的作法就可以自然生成，如图13-2：

图13-2

②连接MS，作∠AMS平分线所在的直线l；

③过点M作直线l的垂线l1；

④作AS的中垂线与直线l1的交点记为O；

⑤以O为圆心，以OA为半径的圆与直线l的交点为B,C；

⑥连接A、B、C，则△ABC即为所求.

5 结束语

综上所述，陪位中线是三角形中的重要元素，本文所汇集的几种陪位中线的作法，大多由竞赛辅导教学中师生思维火花碰撞而成，所附带的作法证明，主要通过构造三角形相似、利用四点共圆以及三角计算完成，这又为平面几何证明提供了丰富的训练素材.至于陪位中线性质的提炼，基本是教学中师生互动探究的结果.实践表明，带领学生系统地研究陪位中线作法、性质及其证明，对学生在复杂的问题情境中识别陪位中线问题的模型，预判解决(证明)问题的方向，大幅度提升解决问题的能力，是非常有益的.