转变数学知识观 做好单元教学设计

薛红霞

(山西省教育科学研究院 030009)

本轮课改以核心素养为导向．《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(以下简称“课标”)在凝练数学学科核心素养的基础上，更新了学科内容，“重视以学科大概念为核心，使课程内容结构化，以主题为引领，使课程内容情境化，促进学科核心素养的落实．”在“教学建议”中，课标指出：教师要以数学学科核心素养为导向，抓住函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动等内容主线，明晰数学学科核心素养在内容体系形成中表现出的连续性和阶段性，引导学生从整体上把握课程，实现学生数学学科核心素养的形成和发展．新教材的实施过程中我们发现，在落实课标的这些理念和要求上，单元教学具有强大作用．

单元教学区别于知识点教学，它选择比知识点更上位的“核心知识”，挖掘知识蕴含的学科视角、数学思想和方法，在“一般观念”的统领下设计教学活动．单元教学旨在促进学生开展持续、深刻的探究活动，在习得知识、熟练技能的过程中，领悟数学基本思想，积累数学基本活动经验，提升发现和提出问题的能力，使数学学科核心素养落实在获得“四基”、发展“四能”的过程中．单元教学的实施并不苛求集中在一个时段内完成，可以通过“单元设计——课时教学”的方式完成，这种方式与当下普遍采用的课时教学衔接，容易被广大教师接受并实践．

基于上述思考，本文探讨如何通过单元教学设计，撬动知识点教学中形成的固有思维，形成核心素养落实于课堂教学的策略与方法．

1 从知识点到“一般观念”，让单元教学设计破茧而出

教学设计由教师的知识观主导．在人民教育出版社普通高中教科书数学(A版)教师教学用书中写到：“教科书除了介绍……基本知识，还特别注意指引学生‘如何研究一类数学对象’，即引入一个新的数学对象后，需要研究些什么，研究方法是什么等等”[1:15]，即在教材编写中“贯穿研究一个数学对象的基本套路……”[2:30]，这些都是“……研究中的‘一般观念’”[3:160]．站在“一般观念”的视角审视数学知识，超越碎片化的知识观，追求数学的整体性，自然生成的就是单元教学设计．

1.1 自下而上追溯“一般观念”

明确统领一个单元的“一般观念”是做好单元教学设计的前提．从实践的角度出发，一个可行的方法是从具体单元的知识内容出发，对研究同类对象或问题中的数学思想和方法的共性进行归纳，从而获得研究此类对象或问题的一般观念．其路径如图1所示．

以“直线与平面垂直”为例，可以按照如图2所示的路径追溯“一般观念”：

第一层，以教科书为依据，列举单元内容，得到概念、判定、性质等；

第二、三层，是依据知识的共性将之分类整理，逐级抽象；

第四层，抽象得到研究几何图形思路的“一般观念”，即“研究视角”：“研究图形的位置关系，就是对它们的组成元素之间位置关系的研究”[2:157].

按照这个“一般观念”，研究直线与平面垂直的判定，就是要研究直线与平面内直线的位置关系；已知直线与平面垂直的性质，是转化为研究直线、平面内的直线，以及与相关直线、平面之间的位置关系，比如与已知直线平行或垂直的直线、平面，与已知平面平行或垂直的直线、平面等．直线与平面所成的角是转化为直线与平面内某条特殊直线所成的角．

换一个角度审视第一层，如果只看具体知识，它们是孤立零散的，这是课时教学设计采用的知识观．在“一般观念”指导下研究位置关系，则要强调研究的“基本套路”：实例→定义→性质→判定→应用．对于一个具体的研究对象，比如“直线与平面垂直”，这个“套路”可以具体化为：实例→直线与平面垂直的定义、表示、唯一性(过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条)→应用(点到平面的距离)→判定定理→应用(直线与平面相交的刻画：直线与平面成的角)→性质定理→应用(直线到平面的距离，两个平行平面间的距离)，如图2所示．

图2

事实上，寻找“一般观念”还有一个捷径，即在教科书和教师用书中寻找，这是教学实践经验与教育教学理论相结合，高效快捷地理解教材的过程．

1.2 自上而下形成单元教学设计

明确“一般观念”为教学设计指明了方向，并构建了教科书与教学之间的桥梁．“一般观念”不仅在单元教学中起统领作用，而且可以转化为教学过程中的具体问题，从而直接推动教师的教和学生的学．下面我们依据图2，给出“直线与平面垂直”的教学设计．

(1)以“一般观念”为指导构建先行组织者

学生已经学习了“空间直线、平面的平行”，拥有一定的研究几何图形位置关系的经验.通过问题1，引导学生归纳已有学习经验，构建本单元的学习路径，形成先行组织者．

问题1在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识．比如，旗杆与地面的位置关系(图3)，大桥的桥柱与水面的位置关系，相邻墙面交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象．接下来我们就以这些日常经验为基础展开“直线与平面垂直”的研究．

图3

类比直线、平面平行的研究，对于直线与平面垂直，你认为要研究哪些内容？按怎样的程序展开研究？研究思路是什么？

简答：

研究内容是直线与平面垂直的定义、判定、性质等．

研究的程序是基于情境，抽象出定义，再利用定义、基本事实等，借助实物、模型等进行直观，归纳、猜想判定定理、性质定理，再用适当方法进行证明．

研究思路是“空间问题平面化”，这里是将直线与平面的垂直关系转化为直线与平面内直线的垂直关系进行研究．

该问题是依据图2中第一层和第四层的“一般观念”设计的．由第一层可以确定研究内容，由第四层的“一般观念”确定研究视角，由此可以给出本单元的课时划分：第一课时研究直线与平面垂直的定义、判定，及其相关知识和应用．第二课时研究直线与平面垂直的性质，及其相关知识和应用．

(2)以“一般观念”为指导探索定义、定理

围绕本单元研究内容：直线与平面垂直的定义、判定和性质，依据问题1总结的“研究思路”，设计如下问题．

问题2如图4，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC．随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直？

图4

问题3根据定义可以进行判断，但无法验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直．那么，有没有可行的方法？如图5，准备一块三角形的纸片ABC，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)．

图5

(1)折痕AD与桌面垂直吗？

(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直?为什么？

问题4上一节课的课后作业让大家梳理直线与平面平行、平面与平面平行的性质的学习过程，并归纳“性质”所研究的问题，然后通过类比，提出直线与平面垂直的性质所要研究的问题，猜想性质定理并尝试证明猜想．哪位同学来说一说直线与平面垂直的性质所要研究的问题是什么？

问题2和问题3中创设了生活情境，是依据数学教育心理学，先给出典型例证，再分析实例的基础上，抽象概括出定义或猜想，这是依据“一般观念”确定的研究程序，是在落实问题1．

这3个问题中隐含了图2中第四层的“一般观念”，即“研究视角”．分别是：问题2中将旗杆与地面的位置关系问题转化为旗杆与它在地面上影子的位置关系问题．问题3中为了探索当纸片竖立时折痕何时与桌面垂直，转化为折痕与底边的位置关系问题．问题4是第二课时的第一个问题，在“一般观念”指导下，让学生先梳理，再探索已知线面垂直能推出哪些结论．

通过问题4，引导学生联想到可以研究与已知直线、平面相关的直线和平面的位置关系，提出如下猜想，然后再通过推理论证，逐一检验真伪．

已知直线a⊥平面α，直线b不在平面α中，β是和α不重合的平面．

(1)当b∥a时，b⊥α；

(2)当b∥α时，b⊥a；

(3)当b⊥a时，b∥α；

(4)当b⊥α时，b∥a；

(5)当β⊥a时，β∥α；

(6)当β∥a时，β⊥α；

(7)当β∥α时，β⊥a；

(8)当β⊥α时，β∥a；等等．

教学实践表明，学生确实可以在“一般观念”指导下，独立提出上述猜想。所以“一般观念”在提升学生的“四能”中可以发挥非常积极的作用．

(3)通过“一般观念”促进学生课后自主探索

第一课时的课后作业可以有巩固性作业，还可以布置探索性作业，比如可以布置如下作业：

根据问题1，接下来我们要研究直线与平面垂直的性质．请你梳理直线与平面平行、平面与平面平行的性质的学习过程，并归纳“性质”所研究的问题，类比提出直线与平面垂直的性质所要研究的问题，猜想性质定理并尝试证明猜想．

该作业体现了本单元用到的两个“一般观念”，即问题1得到的研究内容和研究思路．

站在更大的单元的角度审视，本单元结束后还可以布置作业：

关于位置关系，目前还剩两个平面垂直没有研究，你能类比本单元的研究过程，对两个平面垂直的问题进行研究吗？请你试一试，并写出你的研究报告．

2 理性认识“一般观念”，为单元教学设计奠基

如上结合案例感受了“一般观念”在做单元教学设计时的重要作用，接下来要梳理清楚其内涵和外延，为做好单元教学设计奠定认知基础．

章建跃认为[4]“所谓一般观念，是对内容及其反映的数学思想和方法的进一步提炼和概括，是对数学对象的定义方式、几何性质指什么、代数性质指什么、函数性质指什么、概率性质指什么等问题的一般性回答，是研究数学对象的方法论，对学生学会用数学的方式对事物进行观察、思考、分析以及发现和提出数学问题等都具有指路明灯的作用．显然，能自觉地运用一般观念指导数学学习与探究活动，是学生学会学习的标志，是从‘知其然’到‘知其所以然’再到‘何由以知其所以然’的过程，也是理性思维得到良好发展的表现．”以此为指导，我们可以从学习对象、学生心理、知识发生发展过程等角度对“一般观念”作更具体的阐释．

2.1 依据一个数学学习对象的“研究套路”规划研究内容

相近的数学学习对象，有相似的知识结构，通过类比可以确定要研究的具体内容，即发挥“研究套路”的作用．

“直线与平面垂直”和“直线与平面平行”类似，因此可以类比“直线与平面平行”，确定“直线与平面垂直”的“研究套路”，即问题1中得到的研究内容：定义→判定→性质→应用．

向上追溯，可以得到“立体几何”关于直线、平面位置关系的研究套路(如图6)：

图6

图6中部分内容在平面几何中已经研究过，由此可见“研究套路”的重要性，它凸显了数学知识的整体性、联系性．学生已经拥有丰富的关于空间中直线、平面位置关系的研究经验，教学设计要利用它在几何体系中进行，这是做单元设计的基础．

“一般观念”具有层级性，对应的单元可以有不同的容量，即单元的大小具有相对性．比如，可以将“直线与平面垂直”设计为一个单元，还可以将“空间直线、平面的垂直”设计为一个单元．教师根据自己的驾驭能力和学生的自我调控能力、自主学习能力等选择适宜的单元容量即可．

继续向上追溯，可以得到“立体几何”的“研究套路”．它是对立体几何研究的指导，有了这个“套路”，才能明晰立体几何的整体研究规划．

2.2 依据数学教育心理学确定的“研究路径”设计研究程序

不同数学内容的学习心理学路径不同．比如数学概念学习的路径是：丰富典型例证——观察比较分析——抽象本质特征——习得定义——辨析理解概念——应用掌握概念．学习直线与平面垂直的定义，问题2提供了典型例证之一，紧接其后还有变式例证，通过对例证的观察比较分析，抽象出共同特征，进而得到定义，再进行辨析、应用．

在“直线与平面垂直”中，判定定理获得的心理学路径与定义形成的路径基本一致：丰富典型例证——观察比较分析——抽象本质特征——获得猜想——论证反驳——获得定理——辨析理解定理——应用掌握定理．获得性质定理的路径稍有差异：提出问题——获得猜想——论证反驳——获得定理——辨析理解定理——应用掌握定理．

这些“研究路径”在“直线与平面垂直”的教学设计中对应的具体问题，此处不予赘述．

不同的课型，如概念课、定理课、规则课、习题课、复习课，策略课等，其心理学路径不尽相同，对应的“研究路径”也有差异，但它们又可以统一．章建跃博士曾经提出一个较上位的具有普适性的方法[5,6]，如图7：

图7

2.3 依据数学知识内在规律确定的“研究思路”“研究方法”，明确针对哪些因素进行研究或者用什么方法研究，即明确研究视角

立体几何的研究方法总体而言是从整体到局部，从宏观到微观，从定性到定量，但每一部分的研究思路又有差异，如图8所示．图中第二至四层概述了立体几何的研究内容．第一层给出了不同内容对应的“研究思路”，前述问题2至4就是据此设计的．单元设计时，可以依据第一层给出的“一般观念”进行．

图8

不同数学主题，因为研究对象的类型不同，所以研究内容会有不同，但依然能找到相同的“研究思路”．比如，关于性质的研究，立体几何主要研究图形的组成元素的相互关系，代数主要研究“运算中的不变性就是性质”，函数主要研究“变化中的不变性、规律性”等等。可以发现，从“一般观念”层面看，性质的表现方式具有本质的一致．认识到知识背后的“一般观念”，就由关注差异、拆分内容，转向关注联系，注重整体，就能跳出课时教学设计，走向单元教学设计．

3 用好“一般观念”，让单元教学设计落地

“一般观念”有层级之分，可以选择不同抽象度，或不同容量的“一般观念”做单元教学设计，从可行性的角度有如下建议．

3.1 发挥“研究套路”的作用，选择适当容量的内容做单元设计

如上关于性质研究的阐述中看到，不同数学主题呈现出一致的本质，但是以“变化中的不变性就是性质，变化中的规律性也是性质”这个“一般观念”为指导，跨越不同主题设计单元教学，在学习新内容阶段是比较困难的．在复习阶段，作为一种策略课的设计基础，尚可考虑．作为高中阶段教学的指导思想之一是必要的．

可行的做法是根据“研究套路”确定研究内容，选择恰当容量的内容做设计，实施单元教学．比如“空间直线、平面的垂直”，可以设计为三个单元：“直线与直线垂直”“直线与平面垂直”“平面与平面垂直”．如果学生自我调控能力和自主学习能力达到了所需水平，并且在学习“空间直线、平面的平行”时已经培养起学生应用“一般观念”的意识和能力，也可以将“空间直线、平面的垂直”设计为一个比较大的单元．

以内容为依据做单元教学设计，一定要兼顾其他两个“一般观念”，切忌做成内容的拼盘．

3.2 发挥“研究路径”“研究思路”或“研究方法”的作用，运用类比，让单元教学延绵发展

以“研究套路”为指导做单元教学设计是直观易见的，以“研究路径”“研究思路”或“研究方法”为指导做单元教学设计则是隐性的串联．开普勒说：“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密．”“研究路径”“研究思路”或“研究方法”就是生成类比的不竭动力．如上问题1、问题4就是让学生进行类比，激活其已有知识经验，针对新的研究对象做出规划或者猜想．因此要通过类比、对比，让单元教学展现数学知识逻辑的连贯性，思想的一致性，并且延绵发展，自然生成．

3.3 发挥“一般观念”的作用，恰当变革，协同发展

“一般观念”一方面指导单元设计的整体布局．如上问题1是对整个单元的整体规划，问题4则是承上启下，落实、延续规划．另一方面带来单元教学细节的变革，如前所述案例中的两个作业．单元教学让作业的变革成为必然，变革作业又使得单元不因课时而割裂，学生不因单元结束而停止思考，反而成为有机联系的整体，自觉推进学习进程．