2022年高考圆锥曲线解答题备考建议——以2021年高考真题为例

◎李绍妹 崔永宏(云南师范大学数学学院，云南 昆明 650000)

作为高考压轴题的圆锥曲线问题具有较强的挑战性与区分度,备受教师与学生关注.笔者对2021年高考理科数学圆锥曲线解答题进行分析，希望给2022年考生提供参考.

一、试题统计

2021年高考理科数学共 8份试题,对圆锥曲线大题简单统计如下:

试卷类型模型主要问题题型归类特征条件研究对象新高考Ⅰ卷两条直线与双曲线相交两直线斜率天津卷椭圆与直线相交满足特征条件的直线定值定点类直线x=12,直线AB,PQ;TA·TB=TP·TQ距离公式;向量公式;参数方程;斜率;极点极线;二次曲线系M:直线与椭圆唯一公共点;N:直线与y轴正半轴交点;P:过N与BF垂直直线与x轴交点;MP∥BF向量公式;二次函数零点新高考Ⅱ卷一条直线与圆相切,与椭圆相交证明椭圆焦点在过直线与抛物线交点的直线上;距离为定值全国甲卷·理/文多条直线与圆相切,与抛物线相交讨论过直线与抛物线交点的直线与圆的位置关系上海卷一条直线与椭圆相交证明符合特征条件的直线唯一证明类点M,N在C上;直线MN与圆相切点到直线距离公式;距离公式点A1,A2,A3在C上;直线A1A2,A1A3均与圆相切直线两点式;同解变形理论;直线x=my+nF1A→·F2A→=13;kBF2=kAF1向量公式;斜率全国乙卷·理抛物线阿基米德三角形三角形面积最大值全国乙卷·文抛物线与直线相交斜率最值浙江卷三条直线与抛物线相交直线截距范围北京卷椭圆与直线相交斜率范围最值范围类切点A,B;切线PA,PB直线斜截式;距离公式;同解变形理论点P在C上,PQ→=9QF→斜率;图像交点⇔函数零点NR2=NP·PQ距离公式;向量公式P(0,3),B,C为直线与椭圆交点;M,N为AB,AC与y=-3交点;PM+PN≤15二次函数零点;距离公式

上述圆锥曲线大题可以进一步归为三大类：

1.计算类问题：全国甲卷、天津卷、上海卷.

2.定值定点问题：新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷.

3.最值范围问题：全国乙卷、浙江卷、北京卷.

二、计算类问题切入点1 直线方程之巧妙代换

直线方程有五种表示形式，待定系数法不是唯一选择，我们通过直线的几何意义可快速找到其代数方程.

例1全国甲卷理科第2问 抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线l：x=1交C于P,Q两点,且OP⊥OQ.已知点M(2,0),且⊙M与l相切.设A1,A2,A3是C上的三个点,直线A1A2,A1A3均与⊙M相切.判断直线A2A3与⊙M的位置关系,并说明理由.

切入点2 设定点之设而不求

设点的坐标,以点的坐标为未知量,转化条件,建立等式,替换掉点的坐标得到结果.

例2全国甲卷理科第2问

三、定值定点问题切入点1 设而不求

切入点2 参数方程

当以直线形式表示题目已知条件比较困难时,我们不妨将直线方程写成参数方程形式.

例4新高考Ⅰ卷第2问

切入点3 二次曲线系

圆锥曲线系在解决曲线交点问题时可大大简化计算,有令人意想不到的效果.

例5新高考Ⅰ卷第2问

由圆幂定理逆定理知：|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，即A,B,P,Q四点共圆.因此,过A,B,P,Q的二次曲线系中xy项系数为0,得k1+k2=0.

四、最值范围问题

我们可将已知条件转化为单变量函数、基本不等式,需要特别注意的是自变量范围问题.

切入点1 直线方程之设而不求

例6全国乙卷理科第2问 已知抛物线C：x2=2py(p>0)焦点为F,且F与圆M：x2+(y+4)2=1上点的距离最小值为4.若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.

切入点2 阿基米德三角形

例7全国乙卷理科第2问

切入点3 设定点设而不求

例8浙江卷第2问 已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,M是抛物线准线与x轴的交点,|MF|=2.设过点F直线交抛物线于A,B两点,若斜率为2的直线l与直线MA,MB,AB,x轴依次交于点P,Q,R,N,且满足|RN|2=|PN|·|QN|,求直线l在x轴上截距的取值范围.

注：本题可将直线方程设为y=2(x-m),直接求得m的范围.

五、建 议

基于2021年圆锥曲线解答题特点,本文提出以下几点建议.

(1)加强学生解析几何思想的培养.解析几何思想基本思路是圆锥曲线的破题之道,模式相对固定,应多多练习.学生对几何图形分析得越彻底，思路越清晰，解答过程越简洁.

(2)加强学生数学运算能力的培养.圆锥曲线解答的核心过程是数学运算过程，运算能力至关重要.

(3)加强学生代数技巧、换元思想、不等式方法的培养.识记常见结论,看到题目“本质”.

(4)加强学生时间管理意识的训练.平时训练要规划好时间,不急不缓,注重细节.

(5)加强学生心理素质的训练，练就平和的心态,树立克难攻坚的信心，“稳”字当头.