一道异面直线所成角问题的多解

山东省青岛市西海岸新区致远中学 (266000) 马长艳

求两条异面直线所成角是高中数学立体几何中的常见题型，是学习直线与平面所成角以及平面与平面的夹角的基础. 解决这类问题常用的方法有几何法和向量法. 几何法一般是找到平行线进行平移，使两条直线相交于一点，将空间问题转化为平面问题.向量法主要是基底和坐标法，借助空间向量的数量积公式，转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得. 此外，还可以考虑补形或者利用定理公式来解决.

图1

图2

注：若平面外的一条斜线与平面形成的角为θ1，平面内任一条直线与这条斜线所成锐角或直角为θ，这条直线与该斜线在平面内的投影所成锐角或直角为θ2，则有cosθ=cosθ1·cosθ2，这一关系被称为三余弦定理.

图3

图4

点评：求异面直线所成角问题中体现了转化的数学思想. 通过几何法解决异面直线求角，把空间问题转化为平面问题，运算简单，但通过平移找到异面直线所成角比较困难，往往出现“形难数易”的情形. 用向量法求解，入手简单，很容易实现从“形”往“数”的转化，将几何问题转化为代数问题，降低了思维难度，但相比而言运算量大.在实际解题中，空间直角坐标系的建系和相关点坐标的确定也是向量法中的难点. 补形法，体现了通过图形的等价转化，把问题转化为易于处理的几何体.在实际解题中，利用定理和公式也能够实现快速解题. 在处理这类问题中，要因题而异，灵活选择.