考虑潜伏感染和疫苗接种的传染病模型的稳定性①

艾明霞， 王稳地

西南大学 数学与统计学院， 重庆 400715

潜伏感染常见于新型冠状病毒肺炎和甲型H1N1等多种传染性疾病[1-3]， 但是目前研究疾病流行的模型中， 大部分未考虑潜伏的感染性[4-8]， 或假设潜伏期和感染期的感染性相同[9]． 部分常微分模型考虑了潜伏期的相对感染性[10]． 因为疫苗接种是控制疾病流行的关键措施， 而考虑到不同年龄个体对疾病的感染程度是不一样的， 所以研究具有年龄结构的疫苗接种模型更有实际意义． 本文建立了一个考虑潜伏感染和疫苗接种的SEIR年龄结构模型， 并对模型的相关性态进行分析．

1 模型的建立

设S(a，t)，E(a，t)，I(a，t)和R(a，t)分别表示t时刻a年龄人类中易感者、 潜伏者、 感染者和免疫者的数量， 建立如下年龄结构模型：

(1)

表示t时刻a岁易感者承受的感染力，β1(a1)β2(a2)表示有效接触率， 即一个a1岁易感者遇到a2岁感染者被感染的概率． 我们合理假设模型中各参数为正， 且初值条件非负．

(2)

2 平衡点的存在性和有效再生数RV

系统(2)的稳态解满足如下方程组：

(3)

显然y(a)=z(a)=0总是系统(3)第二和第三个方程的解， 对应的有λ(a)=0， 可以求得无病平衡点

E0=(x0(a)，y0(a)，z0(a))=(e-(hp+μ)a， 0， 0)

下面探究地方病平衡点E*=(x*(a)，y*(a)，z*(a))的存在性， 其中y*(a)，z*(a)≠0． 求解系统(3)得到

(4)

(5)

(6)

其中，

(7)

因为y*(a)，z*(a)>0， 所以D>0， 且x*(a)，y*(a)和z*(a)由D唯一确定． 结合表达式(4)-(7)， 可得等式：

(8)

等式(8)两边消去D， 得到

(9)

观察表达式(4)， 可知x*(a)依赖于参数D， 记等式(9)右边为P(D)． 显然P(D)的单调性取决于x*(a)于D的单调性， 根据参数的正性及指数函数的单调性， 可知P(D)严格单调递减， 且P(-∞)=+∞，P(+∞)=0．

因为方程(9)的正解个数对应系统(2)正平衡点的个数， 所以在P(0)≤1时， 系统(2)不存在正平衡点；P(0)>1时系统(2)存在唯一的正平衡点． 因此P(0)为平衡点存在性的阈值， 记RV=P(0)，

(10)

表示有效再生数， 即接种疫苗的种群中一个典型感染者在其感染期内能够感染的平均人数[12]． 于是， 由上述分析得到下面的定理1．

定理1(i)RV≤1时， 系统(2)只存在一个无病平衡点E0；

(ii)RV>1时， 系统(2)存在一个无病平衡点E0和一个地方病平衡点E*．

3 无病平衡点的稳定性

3.1 无病平衡点的局部渐近稳定性

(11)

(12)

其中

(13)

结合方程(11)，(12)和(13)， 整理得到

(14)

(15)

将等式(15)右边记为L(m)． 显然L(m)严格单调递减， 且L(-∞)=+∞，L(+∞)=0，L(0)=RV． 所以当RV>1 时， 特征方程(15)有唯一的正实特征根； 当RV<1时， 有唯一的负实特征根． 由指数函数非负性及三角函数的有界性， 可以验证此实根是实部占优的． 所以RV也是无病平衡点局部渐近稳定性的阈值， 综上所述， 可得如下定理2：

定理2(i)RV<1时， 方程(15)的特征根都是负实部， 无病平衡点E0局部渐近稳定；

(ii)RV>1时， 方程(15)存在正实部的特征根， 无病平衡点E0不稳定．

3.2 无病平衡点的全局渐近稳定性

定理3在RV<1时， 无病平衡点E0全局渐近稳定．

证沿特征线对系统(2)积分[13]， 当t>a时，

(16)

(17)

(18)

其中

显然t>a时， 0a)． 所以

0≤f(a，t)≤e-(hp+μ)aβ1(a)Q(t)

(19)

0≤Y(a)≤e-(hp+μ)aβ1(a)C

(20)

其中

结合C的表达式及不等式(20)， 得到不等式：

4 地方病平衡点的局部渐近稳定性

(21)

求解微分方程组(21)， 并交换积分顺序， 可得

(22)

(23)

其中

(24)

将等式(22)和(23)代入系统(21)的第4个方程， 并将右端的函数定义为Ω(w)， 所以得到w满足的特征方程：Ω(w)=1， 其中，

定理4在RV>1时， 若满足δ>hp，y*(a+)≤e-(δ+ μ)a+或者δ≤hp， 则有地方病平衡点E*是局部渐近稳定的．

证若δ>hp， 且y*(a+)≤e-(δ+ μ)a+， 整理可得不等式：

结合X(a，k)表达式(24)， 可得

若δ≤hp， 同样有X(a，k)≥0． 此时Ω(w)关于w严格单减，Ω(-∞)=+∞，Ω(+∞)=0．

另外， 结合P(D)的表达式和等式(9)， 可得：

其中

显然Ω(0)<1， 所以Ω(w)=1有唯一负实部特征根． 而且此实根是实部占优的， 即Ω(w)=1的特征根都是负实部， 可知E*是局部渐近稳定的．

5 结论

本文提出了一个考虑潜伏感染和疫苗接种的SEIR年龄结构模型， 分析得到有效再生数RV的表达式， 并验证了无病平衡点E0和地方病平衡点E*的存在性； 借助特征方程得到RV>1时E0不稳定， 然后利用特征线法证明了RV<1时E0全局渐近稳定； 此外讨论了RV>1时地方病平衡点E*局部渐近稳定的条件． 观察有效再生数RV的表达式可知， 提高疫苗接种率p、 增大疫苗免疫成功率h或者减小潜伏期相对于感染期传播力的比值ε都会减小RV的值， 也即能更好地控制疾病的流行[15]．