一类弱Hopf代数的Killing型和伴随表示

苏 冬

(河南科技大学 数学与统计学院, 河南 洛阳 471023)

李代数中的Killing型理论, 在李代数理论的研究以及单李代数的分类问题中均具有重要作用[1]. 李代数的伴随作用是Killing型定义的基础. Hopf代数中的(左)伴随作用是李代数伴随作用的一种自然推广. 文献[2-4]研究了有限维Hopf代数上的Killing型理论, 并考虑了Hopf代数的伴随表示与Killing型非退化性之间的联系; 徐磊[5]研究了Taft代数的伴随表示及其Killing型.

1 预备知识

设F是特征为0的代数闭域.若无特殊说明, 本文的线性空间、 矩阵、 代数、 Hopf代数、 弱Hopf代数和⊗均定义在F上.在卷积运算下将Hopf代数的对极公理进行弱化, 可得弱Hopf代数的如下定义.

T*id*T=T, id*T*id=id,

右伴随作用为

本文主要考虑弱Hopf代数的左伴随表示和左Killing型, 其右伴随表示和右Killing型可用类似方法讨论.

1) adla∘adlb=adlab;

2) (a,b)l=(b,a)l;

3) (ab,c)l=(a,bc)l;

4) (αa+βb,c)l=α(a,c)l+β(b,c)l, (a,αb+βc)l=α(a,b)l+β(a,c)l.

因此adla∘adlb=adlab.

2) (a,b)l=tr(adla∘adlb)=tr(AB)=tr(BA)=tr(adlb∘adla)=(b,a)l.

3) 由1)可得

因此(αa+βb,c)l=α(a,c)l+β(b,c)l.类似可证(αb+βc,a)l=α(b,a)l+β(c,a)l, 再由2)可得(a,αb+βc)l=α(a,b)l+β(a,c)l成立.证毕.

g3=g,h3=h,g2=h2,gh=hg,x=hxg,

其余代数结构和弱对积如下：

Δ(g)=g⊗g,Δ(h)=h⊗h,ε(g)=1,ε(h)=1,

T(g)=g,T(h)=h,T(x)=x.

1) (adl1)(1,g,h,x,gh,gx,xg,xgh,g2)=(1,g,h,x,gh,gx,xg,xgh,g2);

2) (adlg)(1,g,h,x,gh,gx,xg,xgh,g2)=(adlh)(1,g,h,x,gh,gx,xg,xgh,g2)=(g2,g,h,xgh,gh,xg,gx,x,g2);

证明： 由定义2可得

1) 因为Δ(1)=1⊗1, 所以(adl1)(a)=aT(1)=a, 因此结论1成立.

2) 因为Δ(g)=g⊗g,Δ(h)=h⊗h, 则

(adlg)(a)=gaT(g)=gag, (adlh)(a)=haT(h)=hah,

于是可得

(adlg)(1)=(adlh)(1)=g2, (adlg)(g)=(adlh)(g)=g, (adlg)(h)(adlh)(h)=h,

(adlg)(x)=(adlh)(x)=xgh, (adlg)(gh)=(adlh)(gh)=gh, (adlg)(gx)=(adlh)(gx)=xg,

(adlg)(xg)=(adlh)(xg)=gx, (adlg)(xgh)=(adlh)(xgh)=x, (adlg)(g2)=(adlh)(g2)=g2,

从而结论2)成立.

从而

于是结论3)成立.证毕.

1) (adlgh)(1,g,h,x,gh,gx,xg,xgh,g2)=(adlg2)(1,g,h,x,gh,gx,xg,xgh,g2)=(g2,g,h,x,gh,gx,xg,xgh,g2);

证明： 由定理1中结论1)和命题1直接可以验证.

令

M0=F·1⊕F·g2,M1=F·g⊕F·h,

M2=F·gh,M3=F·x⊕F·gx⊕F·xg⊕F·xgh,

dimKM0=2, dimKM1=2, dimKM2=1, dimKM3=4.

证明： 由命题1和命题2可得

(adlg)(x,gx,xg,xgh)=(adlh)(x,gx,xg,xgh)∈Fx⊕Fgx⊕Fxg⊕Fgh,

(adlgh)(x,gx,xg,xgh)=(adlg2)(x,gx,xg,xgh)∈Fx⊕Fgx⊕Fxg⊕Fgh,

(adlx)(x,gx,xg,xgh)=(adlxgh)(x,gx,xg,xgh)∈Fx⊕Fgx⊕Fxg⊕Fgh,

(adlgx)(x,gx,xg,xgh)=(adlxg)(x,gx,xg,xgh)∈Fx⊕Fgx⊕Fxg⊕Fgh.

dimF(M0+M1+M2+M3)=9,

(adl1), (adlg), (adlh), (adlx), (adlgh), (adlgx),(adlxg), (adlxgh), (adlg2)

所对应的矩阵:

且tr(adlx)=tr(adlxgh)=4;

且tr(adlgx)=tr(adlxg)=4.

(1)

tr(adlx2)=4, tr(adlx2h)=8, tr(adlx2g)=8, tr(adlx2gh)=4.

再由定义5, 得

(2)

的充分必要条件是Kα=0, 其中αi∈F(i=0,1,…,8),α是以αi(i=0,1,…,8)为元素的9维列向量.由定理3可知,Kα=0的充分必要条件是

因此式(2)成立.证毕.