非线性项含零点的二阶Dirichlet问题结点解集的全局结构

杨 伟

(西北师范大学 数学与统计学院, 兰州 730070)

结点解集的全局结构, 其中r为正参数, a: [0,1]→[0,∞)连续且允许其在[0,1]的部分真子区间上恒为0, f: →在0和∞处是渐近线性的且有两个非0零点.

1 引言与主要结果

对于非线性常微分方程边值问题, 文献[1-9]利用上下解方法、 时间映像估计和锥上的不动点定理对其进行了广泛研究, 并获得了一些重要结果. 其中, Erbe等[1]利用锥上的不动点定理研究了二阶Dirichlet边值问题正解的存在性； Chai[3]和Bai等[4]利用锥上的不动点定理研究了二阶边值问题, 并得到了相应问题正解的存在性. 但由于使用工具的局限性, 文献[1]仅研究了二阶Dirichlet边值问题正解的存在性. 近年来, 文献[10-17]利用Rabinowitz全局分歧定理研究了常微分边值问题结点解的存在性, 并获得了一些重要结果. 例如, Ma等[10]研究了二阶Dirichlet边值问题

(1)

文献[10]用Rabinowitz全局分歧定理, 证明了如下结果:

定理1[10]设上述条件1)～3)成立, 对于任意的k∈, 若下列条件之一成立:

注1μk为问题(1)对应线性特征值问题的第k个特征值.

(2)

结点解集的全局结构.本文总假设:

(H1)f:→连续, 存在常数s1,s2满足s2<00, 当s∈(-∞,s2)∪(s2,0)时,f(s)<0;

(H3)a: [0,1]→[0,∞)连续, 且允许其在[0,1]的部分真子区间上恒为0;

(H4) 对任意的s∈[s2,s1],f(s)满足Lipschitz条件.

本文主要结果如下:

定理2设条件(H1)～(H4)成立, 若对于任意的k∈,f0

定理3设条件(H1)～(H4)成立, 若对于任意的k∈,f∞

注2定理2和定理3中的λk是问题(2)满足条件(H1)～(H3)时对应线性特征值问题

(3)

的第k个特征值, 其中φk为λk对应的特征函数.

注3文献[10]仅得到了2个解的存在性, 而本文在非线性项f和权函数a更一般的条件下得到4个解的存在性.

注4当问题(2)中权函数a在[0,1]的任意子区间上不恒为0, 且非线性项f只有0零点时问题(2)退化为问题(1).

2 预备知识

Lu∶=-u″,

其中D(L)={u∈C2[0,1]|u(0)=u(1)=0}.则L-1:Y→E是全连续算子.设ξ,ζ∈C(,), 使得

f(u)=f0u+ζ(u),f(u)=f∞u+ξ(u),

考虑从平凡解u恒为0处产生的分歧问题：

Lu-λa(t)f0u=λa(t)ζ(u)；

(4)

从u恒为∞处产生的分歧问题：

Lu-λa(t)f∞u=λa(t)ξ(u).

(5)

注5式(4)和式(5)类似, 且均等价于问题(2)中的方程.

注6文献[10]中的分歧问题仅从平凡解处产生, 而本文中分歧问题不仅从平凡解处产生, 且从无穷远处产生.

引理2[15]设条件(H3)成立, 则存在一个序列{λn}n∈满足下列条件：

1) {λn}n∈是算子L特征值的集合;

2)λn+1>λn,n∈；

4) 对任意k∈， Ker(I-λkL)是{ω∈C1[0,1]|ω′∈AC[0,1]}的一维子空间;

5) 对任意k∈， 若v∈Ker(I-λkL){0}, 则v在(0,1)内有(k-1)个零点.

定义1[17]设条件(H3)成立,I=[α,β]是[0,1]上的一个闭区间, 若下列条件成立:

1)a(t)≥0,t∈I;

2) 在I的任意子区间上a(t)恒不为0;

3) 存在σ∈(0,∞), 使得对任意的t∈[α-σ,α]∪[β,β+σ],a(t)恒为0.

则称I为区间[0,1]上的一个最大正子区间.

1) 对任意的m∈,Im是区间[0,1]上的最大正子区间;

2) 对任意的m∈,Jm是非空开集并且对任意的t∈Jm,a(t)恒为0;

1) 对任意的i∈{1,2,…,l},Ji是开集并且当t∈Ji时,a(t)恒为0;

引理5设条件(H1)～(H4)成立, 则:

记0=θ0<θ1<…<θk=1为u的全体零点.下面分两种情形讨论.

情形1) max{u(t)|t∈[0,1]}=s1.

存在i∈{0,1,…,k-1}, 使得

max{u(t)|t∈[θi,θi+1]}=s1, 0≤u(t)≤s1,t∈[θi,θi+1].

考虑两点边值问题

(6)

由条件(H1),(H2)和(H4)可知, 存在m≥0, 使得a(t)f(s)+ms在[s2,s1]上严格单调递增.则对下列两式:

Lu+λmu=λ(a(t)f(u)+mu),t∈(θi,θi+1),

(7)

(L+λm)s1=λ(a(t)f(s1)+ms1),

(8)

做差可得

(L+λm)(s1-u(t))≥0,t∈(θi,θi+1).

再结合s1-u(θi)>0,s1-u(θi+1)>0, 根据极大值原理[18]有s1>u(t),t∈[θi,θi+1], 矛盾.因此有s1>u(t),t∈[0,1].

情形2) min{u(t)|t∈[0,1]}=s2.

存在i∈{0,1,…,k-1}, 使得

u(t0)=min{u(t)|t∈[θi,θi+1]}=s2, 0≥u(t)≥s2,t∈[θi,θi+1].

考虑两点边值问题(6), 对式(7)和

(L+λm)s2=λ(a(t)f(s2)+ms2),

(9)

做差可得

(L+λm)(s2-u(t))≤0,t∈(θi,θi+1).

再结合s2-u(θi)<0,s2-u(θi+1)<0, 根据极大值原理[18]有s2

3 主要结果的证明

3.1 定理2的证明

因为问题(2)有唯一解u恒为0, 所以有

(10)

由式(10)可知, 存在一个正常数A, 使得

(11)

其中Γ⊂(λk/f∞,∞)是一个闭的有界区间.

‖um‖→∞ (m→∞).

(12)

首先证明

‖um‖∞→∞ (m→∞).

(13)

事实上, (ηm,um)满足

(14)

(15)

(i) 对任意的j∈,

(16)

(-1)l*um(t)→∞.

(17)

由{ηm}⊂Γ可知, 存在η*(η*>λk/f∞), 使得

(18)

由式(17)和式(18)可知

(19)

Proj

(20)

同理可得

Proj

(21)

Proj

(22)

Proj

(23)

结合式(20)～(23)可知, 结论成立.

3.2 定理3的证明

用与定理2类似的证明方法, 即可得定理3的结论.