支持初中生自主学习的数学专题复习阅读文本开发初探

◎ 刘 蕾

一、问题与背景

专题复习课一般是以一个或一组数学典型问题为载体，集中围绕某个数学核心知识、思想方法或基本问题，以促进数学理解，提高学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题能力为目标的课堂教学。传统的初中复习课教学往往采用“知识梳理—例题讲解—反馈练习—归纳小结”的模式，这种方式侧重于知识记忆、例题讲解、变式训练，教学活动以教师讲授、学生机械记忆和模仿操练为主。学生习惯跟随教师的教学思路学习，不善于主动思考，缺少良好的自主学习习惯，因此他们分析问题、解决问题的能力以及批判性思维、创造性思维等高阶思维能力发展也受到一定程度的限制。

上海市闵行区莘松中学自2018年开展上海市课程领导力项目关于数学阅读的实践研究以来，前期通过实证研究和拓展课课堂实践，在促进学生数学思维能力的发展、高阶思维的培养，激发学生自主学习、主动探究等方面取得显著成效。在专题复习课中，为了提高学生分析问题、解决问题的能力，激发自主学习兴趣，提升复习课实效性，笔者尝试在专题复习课中采用数学阅读的形式开展课堂探索与实践。

数学阅读是指学生个体根据已有的数学知识和经验，通过数学阅读材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息、汲取知识、发展数学思维、学习数学语言的重要途径。［1］数学阅读的复习课教学模式中，教师活动和学生活动都经历“课前—课中—课后”三个环节（见图1）。课前学生通过自主阅读和自我诊断梳理文本内容，教师了解学生在自主阅读中存在的问题；课中组织学生研讨交流，突破重难点，注重方法的提炼和数学思想的迁移应用；课后学生改进完善课前作业，反思课前阅读时提出的疑问，以及相关数学问题的自主探究和自主延伸阅读。

在上述三个环节中，为了激发学生自主学习、主动探究的兴趣和动力，复习课阅读文本的开发编写显得尤为重要。首先挖掘教材例题、习题或考题中某些典型的、具有教学价值的问题，然后基于学情分析，结合教学目标遴选整合素材，设计“知识链接—问题引入—深入探究—梳理总结—迁移应用”五个板块作为基本结构，在实际教学后还需要对阅读文本进行补充完善、反思重构。下文以“在半角背景下旋转翻折全等形的应用”复习课阅读文本为例进行探讨与阐释。

二、教学设计

（一）选择文本主题

1. 分析学情

（1）学生已有的基础

三角形是初中数学的核心知识。针对沪教版初中数学教材八年级第一学期的专题复习课，学生已经掌握图形的运动，平行线、全等三角形、直角三角形的性质与判定，勾股定理等相关知识，掌握基本的辅助线添加方法，会用演绎推理的方法进行几何研究。

（2）存在的困难

学生虽然已经基本掌握了几何证明的知识和方法，但是应用比较机械，不会融会贯通，不能灵活运用数学思想方法分析问题、解决问题，结合动态几何图形的变换更是无从下手。

（3）作业中的问题反馈

如图2所示，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E是BC上两个动点（与点B、C不重合），且∠DAE=45°。问：

图2

①BD、DE、EC三条线段中，哪条线段最长？

②BD、DE、EC三条线段能否构成一个直角三角形？若能，请予以证明；若不能，请说明理由。

此题是学生复习阶段的一道练习。对于这道三角形背景下的旋转半角问题，全班能正确找到解题路径的只有一名学生，但班级中有将近一半的学生对于正方形背景下的旋转半角问题能够掌握，其中部分学生对于辅助线添加方式的表述、几何说理存在些许问题。因此，基于学生已有的知识储备，为了帮助学生解决问题时由一题会一类，教师把“旋转半角问题的研究”确定为复习课主题，图形的旋转作为“知识链接”，正方形旋转半角问题作为“问题引入”，确定了阅读文本的基点。

2. 知识链接

针对“图形的旋转”的要素、性质等内容及其在“图形的运动”单元中与其他课时的关联，梳理出思维导图，如图3所示。

图3

【设计意图】通过思维导图的方式呈现平移、旋转、翻折的基本要素及性质，学生通过自主阅读梳理“图形的运动”这一章节的知识内容，建构知识网络体系，重点标注的旋转板块作为后续解决旋转半角问题的知识铺垫。

3.问题引入

【原题】如图4所示，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，射线AE与线段BC交于点E，射线AF与线段CD交于点F，∠EAF=45°。当∠B和∠ADC都是直角时，判断线段BE、DF和EF之间的数量关系，并证明。

图4

图5

【设计意图】“问题引入”的解题思路分析采用文本阅读的方式助力学生学习理解。学生自主阅读时需要在理解的基础上进行数学文字语言、图形语言、符号语言的对接和转换。

【教学建议】对于“问题引入”的内容，学生完全可以在课前阅读中学习掌握，但不应该仅仅局限于看得懂文本，还需要利用可视化思维路径图的方式自主梳理解题思路，因此教师在编写阅读文本时设计了如下问题“你能通过思维路径图的形式梳理一下分析思路吗？”通过课前阅读反馈来看，学生掌握情况良好。

（二）遴选整合素材

为了帮助学生通过阅读文本能够从学一题到会一类，在编制文本时搜集整理大量旋转半角问题，有正方形、三角形、四边形背景下的，也有特殊角度的倍半关系或一般的倍半关系等，在遴选整合素材时注重题目变式，通过一个问题的变式解决一类问题的变化，逐步使学生养成深入反思数学问题的习惯，善于抓住数学问题的本质和规律，探索相关数学问题间的内涵联系以及外延关系。同时运用化归、分类讨论、由特殊到一般等数学思想，搭建脚手架，助力学生在课前自主阅读时体会一类问题解决的思维方法和路径。

1. 深入探究

【变式1】如图6所示，当∠B和∠ADC都不为直角时，且∠B+∠ADC=180°时，原题中的结论是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由。

图6

【变式2】在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，射线AE与直线BC交于点E，射线AF与直线CD交于点F，∠EAF=45°。当∠B和∠ADC都是直角时，判断线段BE、DF和EF之间的数量关系，并证明。

【变式3】如图7所示，在△ABC中，∠BAC=90°, AB=AC=2√2，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，求DE的长。

图7

2.设计意图

三个变式无论条件改变还是问题背景改变，都是为学生归纳辨析旋转半角的模型要素作铺垫。变式1的设计培养学生掌握运用已有经验转化解决新问题的能力；变式2侧重于渗透分类讨论的数学思想，在文本编制时把分类讨论的其中一种情况，采用文本阅读与思维路径图相结合的方式呈现，帮助学生在自主阅读时梳理解题路径；变式3把学生熟悉的四边形背景转化为等腰直角三角形，使学生体会解决旋转半角问题的方法是一致的，都要证明一组旋转全等形和翻折全等形。

3.教学建议

（1）注重题目变式的识别分析

不管是条件变化还是问题背景变化，在教学过程中教师通过设计问题链、学生小组讨论、师生交流的形式，引导学生分层精读文本，梳理旋转半角的模型要素，阅读比较题目的异同点，在不同的问题情境中识别问题并发现问题本质。

【问题1】通过课前阅读，你能梳理出旋转半角的模型要素吗？

【问题2】变式1还是旋转半角问题吗？你能发现变式1和原题中的异同点吗？

【问题3】变式2和原题有什么异同点吗？请圈出关键词。

【问题4】由正方形背景转换为三角形背景，变式3还是旋转半角模型吗？

（2）注重方法归纳的探究体会

利用可视化的思维路径图，设计方法归纳的问题链引导，帮助学生运用已有经验解决新问题。

【问题1】 阅读完原题的解题思路后，你能否运用思维路径图的形式进行分析梳理？（见图8）

图8

【问题2】对于变式1和原题中的异同点，你能在原题思维路径图的基础上修改补充完善吗？（见图9）

图9

【问题3】通过原题和变式1的研究发现，对于旋转半角问题都会出现旋转全等形和翻折全等形，变式2用思维路径图分析时，什么地方遇到了困难？

【问题4】经过辨析变式3是旋转半角问题，请小组研讨用思维路径图的形式分析解题思路。

【问题5】你能梳理出解决旋转半角图形问题的核心步骤吗？

（3）注重作图能力的培养训练

在几何教学中重视作图能力的培养，学生在作图的过程中体会作图对理解题意、寻求解题思路带来的帮助。通过课前阅读发现变式2的作图环节是大部分学生的难点，教师在课堂教学时除了强调读题圈画关键字外，在原题研究中就可以铺垫作图工具使用的重要性。小组研讨后，学生表示过点A作AE的垂线也可求证（见图10），其本质都是构造一对旋转全等形。在变式2作图的难点突破中，学生容易联想到运用工具作∠EAF=45°（见图11）。

图10

图11

（4）注重数学思想方法的迁移应用

数学思想方法是数学的灵魂，它蕴含于数学问题解决的实践活动中，需要学生经历模仿体会、反思总结、运用巩固过程后，才能在新的问题情境中选择适当的数学思想方法去解决问题。

学生在课前自主阅读、课中讨论分析后，体会到题目条件和背景的改变，但解题的核心方法并没有改变，体现化归的数学思想。学生能用自己的语言表达出化归、分类讨论数学思想的要领及方法，此为反思总结阶段。比如在变式2中，学生通过小组讨论总结归纳出分类讨论数学思想的要领、步骤：首先审题要仔细，如果发现射线、直线等信息圈画关键字；然后根据题意、借助适当的作图工具做出正确图形再分析解题路径；最后在“迁移应用”板块中学生根据需要选择适当的思想方法进行运用巩固。

（三）反思完善文本

伴随着课前阅读笔记及课中讨论分析、阅读表达，课后阅读反思、评价等行为也尤为重要，因此“迁移应用”板块的文本编写一方面注重帮助学生积累解题经验，提炼解题方法，完善和优化数学认知结构，另一方面促进数学思维能力的提高，激发学生自主学习、主动探究的兴趣和动力。

1.迁移应用

（1）如图12所示，△ABC是等边三角形，△BCD是等腰三角形，且∠BDC=120°，M是AB上一点，N是AC上一点，且∠MDN=60°，连接MN。求证：MN=BM+CN。

图12

（2）①如 图13所示，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=60°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=30°，连接EF。探究BE、EF、DF之间的数量关系，并说明理由。

图13

②如图14所示，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分 别 是 边BC、CD上的点，且连接EF。探究①中的结论是否成立，并说明理由。

图14

③在②的条件下，若点E、F分别在边CB、DC的延长线上，探究BE、EF、DF之间的数量关系，并说明理由。

【设计意图】迁移应用的内容设计不仅是对学生分析问题、解决问题的知识技能的检测，在文本编写中紧紧围绕问题情境的识别分析、解题方法的分析应用、思想方法的运用巩固等方面展开，设计如下问题引导学生思考：迁移应用中的问题还是旋转半角图形吗？如果是，题目中的哪些条件可以体现？你能体会到其中蕴含的数学思想吗？

课后学生改进完善课前作业，反思课前疑问，自主探究“迁移应用”板块中的相关数学问题，经历“课前自主阅读—课中学习交流—课后反思改进”的学习过程，对复习课内容理解和掌握得更为深刻。

备用图

2.问题拓展

通过迁移应用，学生课后提出如下反馈：第（1）题是旋转半角问题，学生解决没有任何障碍，而第（2）题大部分学生找不到解题路径，仅3位学生能够做出。因此，教师需要对阅读文本反思，进行重构补充。我们知道正方形是四条边相等，四个内角都等于90°的四边形。

（1）如图15所示，已知正方形ABCD，E是边CD上一点，延长CB到点F，使得BF=DE，作∠EAF的平分线交边BC于点G。求证：BG+DE=EG。

图15

（2）如 图16所 示，已 知△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于 点D，若BD=2，CD=1，求△ABC的面积。

图16

通过分析发现本题是通过构造半角模型来解决问题，原来编写的阅读文本中不管是四边形还是三角形背景下，旋转半角模型在题目中都已给定，区别只是特殊角度或一般情况下的半角关系。于是对阅读文本进行补充，把“问题拓展”板块中的第（2）问作为阅读文本“深入探究”板块中的变式4，通过小组讨论交流，学生提出不同解决方法。

【方法一】如图17所示，构造正方形的旋转半角模型，易证FG=BD=2，CG=BC=3，设正方形边长为a，则CE=a－1，EG=a－2，在Rt△CEG中利用勾股定理可求解。

图17

【方法二】如图18所示，构造等腰直角三角形的旋转半角模型，分别延长DB、DC至点E、F，使DE=DF，连接AE、AF，得等腰Rt△AEF，设AD长度为a，则CF=a－1，GF=EB=a－2，∠GFC=90°，在Rt△CFG中利用勾股定理可求解。

图18

【方法三】如图19所示，利用轴对称构造正方形，作△ABD关于AB对称的△ABE，作△ADC关于AC对称的△ACF，可证得四边形AEGF为正方形，设正方形边长为a，则CG=a－1，BG=a－2，BC=3，在Rt△BCG中可求解。

图19

【设计意图】增设的变式4更注重发展学生问题分析、决策、创造性思维等高阶思维能力，培养学生在新情境的问题解决过程中合理、准确、灵活地运用所学数学概念原理、方法技能、基本思想等能力。

三、总结与反思

（一）注重阅读文本设计开发，提升自主复习的学习指导意识

以数学阅读形式开展复习课教学，改变传统复习课中以教师讲授学生练习单一讲授式的学习模式，更加注重通过阅读文本为学生自主复习的学习指导服务的意识。从“以学生发展为本”的基本理念出发，阅读文本五个板块内容设计注重知识的生长路径，由浅入深，循序渐进，符合学生认知规律。选取典型问题，基于学生思维的生长点设计系列化问题，通过问题驱动为学生自主复习注入动力，问题设置要具体化、有针对性、难易适度，能够发散学生思维，使学生在阅读中进行思考，产生浓厚的阅读兴趣。

此外，由于数学学科的自身特点所决定，数学阅读文本的编写还要注意连续性文本与非连续性文本的相互融合。在阅读时学生需要在数学图形语言、文字语言、符号语言之间进行对接和转换，通过分析、归纳、综合等过程，进行梳理总结并予以数学表达，完成解题步骤的最终呈现。如本篇文本在原题中把分析过程文本化，变式2编写时采用分析过程文本化与思维路径图相结合的方式，帮助学生形成问题分析的基本思路，学生在自主阅读中养成分析解决问题的习惯。

（二）落实学生主体地位，提升学生自主学习能力

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出“强调学生经历学习的过程，在自主、合作、探究的学习中发现、总结和掌握知识的规律和学习方法。”［2］以数学阅读的形式开展复习课教学，让学生解决数学问题的过程不再只是模仿操练，在“自主阅读—自我诊断—交流完善—学习方法—自主评价—反思改进”的过程中落实学生的主体地位，以教师为中心转向以学生为中心，从独立学习转向合作学习，变接受式学习为探究式学习，经历知识与方法的生成、内化、建构，优化完善学生的数学认知结构，提高数学思维能力，激发自主学习兴趣，提升分析问题、解决问题的能力。

（三）注重课堂实践活动，凸显自主学习成效

数学阅读提供了一种新型的专题复习课学习形式，教师活动和学生活动都经历“课前—课中—课后”三个环节。为了提升学生自主学习成效，在教学过程中有以下三点建议。

首先，利用小组讨论促进学生思维能力提升。由于在课前阅读中不同学生对文本的感知理解有所不同，课堂中的小组讨论利于感知水平较低的学生达到较高的感知水平，更重要的是把思维策略、经验、产生的疑问在小组中交流共享，师生、生生的对话交流又能促进学生在知识和策略上互补融合。

其次，教学实施过程不再是单一教师讲授解题方法，更注重数学思想方法的迁移运用，以及运用问题链、可视化思维路径图的方式引导学生总结解题方法，构建知识网络，培养学生在新情境下识别、转化、解决新问题的能力，有效落实学科核心素养。

最后，学生的课后反思也利于教师对课堂教学的再思考与重构，促进对学生创造性思维等高阶数学思维能力的培养，学生活动与教师活动相互联系、相辅相成。

本研究以旋转半角专题为例，进行了数学阅读专题复习课的探索与实践，在课堂实施与教学成效方面获得了一定的认可。平时课堂教学中的章节复习课能否以数学阅读的方式开展值得探讨。此外，数学阅读专题复习课的形式如果能够进一步推广，那么对不同专题进行阅读文本的开发与编制仍需进一步研究。