基于力致误差建模的工业机器人铣削加工工件位姿优化

张家豪,段现银 ,陈 晨,张 樵 ,朱泽润

(1.武汉科技大学机械传动与制造工程湖北省重点实验室，湖北 武汉，430081；2.华中科技大学机械科学与工程学院，湖北 武汉，430074；3.武汉科技大学冶金装备及其控制教育部重点实验室，湖北 武汉，430081；4.深圳市汇川技术股份有限公司研发管理部技术中心，广东 深圳，518109)

工业机器人具有灵活性好、工作空间大、设备成本相对低等诸多优势，且便于布置传感器实现智能化升级[1-2]，从而被广泛应用于加工制造领域[3]，其加工应用范围也从低材料去除率加工(如磨削、抛光和去毛刺等)扩展到高材料去除率加工(如钻孔、铣削等)。特别是在航空航天[4]、国防、船舶等领域，工业机器人在舰船螺旋桨叶片铣削、飞机蒙皮切边铣削[5]、飞行器壳体铣削[6]等加工中能够使得加工从车间到现场，显著提升加工效率。虽然工业机器人越来越多地应用于螺旋桨铣削中，但由于其具有多关节串联的结构特点和相对于机床的强柔度特性[7]，以及铣削加工的高材料去除率引起的高负载特性，切削力导致的让刀变形使得工件在表面法线方向产生较大误差，给工件加工精度控制带来较大挑战，因此，工业机器人铣削加工中的力致误差控制是其在工程应用中面临的关键问题。

研究人员针对工业机器人在笛卡尔空间柔度或刚度的问题开展了大量的研究。在笛卡尔空间中，机器人柔度随着姿态的变化而改变，优化机器人的姿态可以改善其柔度特性。Lin等[8]根据机器人运动学性能和形变评估指标，绘制加工性能图进行钻孔姿态优化。Bu等[9]考虑到钻孔机器人法兰位置和刀具中心点处刚度椭球的差异性，提出以钻孔刀具轴向变形为参考的加工性能指标，用于优化机器人姿态，保证了埋头孔深度和孔轴向上的精度。Guo等[10]提出坐标依赖的刚度性能评价指标，研究了冗余轴相关的刚度值变化规律，用于优化机器人姿态。Xiong等[11]通过考虑机器人末端执行器上三个点处位移，开发了一种基于刚度的姿态优化方法。Chen等[12]研究了不同姿态和进给方向机器人的刚度特性，提出综合刚度性能指标和表面法向刚度性能指标，通过机器人姿态优化来提高机器人铣削加工精度。

上述研究通过优化机器人姿态改善其末端柔度特性，取得了较多进展。然而，机器人的刚性较好时其姿态可能处于奇点位置，或使其末端执行器位于不方便加工的位置，因此，为了进一步优化工件与机器人的相对位姿，除了考虑机器人的姿态，还可通过优化工件位姿实现。研究人员对机床加工的工件位姿优化进行了研究，Yang等[13]使用Brute-Force搜索算法优化工件在五轴机床工作台上的放置位置，以减小旋转伺服驱动器的轮廓误差。Lin等[14]改进了粒子群算法辨识RT型机床的最优工件装夹位置，以减少由旋转轴非线性运动引起的误差。Campatelli等[15]采用改变工件在机床工作台上姿态来减少铣削过程中的能量消耗。Pessoles等[16]通过优化工件的位姿减小运动轴的运动行程，以提高加工效率。这些研究进展对于机床加工中的驱动器轮廓误差控制、非线性误差控制、能量消耗控制和加工效率提升等方面有推进作用，但未涉及切削力导致的加工误差控制，并且，工业机器人相对于机床具有更多的自由度，其笛卡尔空间以及关节空间的映射关系更加复杂，有必要针对机器人加工中工件位姿优化进行研究。

在工业机器人铣削中的工件位姿优化方面，也有少量文献报道。Caro等[17]在自定义的机器人铣削加工准则下通过计算机器人末端变形优化固定刀具姿态工况下的工件位置，仅针对末端走直线轨迹工况，且仅给出变形的定义公式，未构建切削力模型、机器人刚度模型或末端变形模型。Qin等[18]通过数值模拟的方法研究了机器人铣削加工中通过最小化刀具振动引起的偏移以实现工件位姿优化。Schnoes等[19]针对机器人铣削提出了以可达性为几何约束、以工件位姿为优化变量来优化机器人末端平均变形的思路。Li等[20]从机器人的刀具轨迹及工件夹紧位置两个方面对机器人加工过程中的颤振问题开展研究，为减小颤振和提高加工质量提供了新的方向。这些研究仅针对简单轨迹加工或未涉及刀具姿态因素，且没有涉及工件表面法向力致误差这一显著影响加工精度的因素；在实际的工业机器人铣削加工中，机器人的柔度对加工精度影响也非常明显[21]，是需要在优化模型中考虑的重要因素，因此，有必要在构建机器人柔度模型和切削力模型基础上，建立工业机器人法向力致误差模型，为此，本文针对工业机器人铣削加工过程中力致误差问题，以工件位姿为优化变量、工件表面法向力致误差为优化目标，构建工业机器人铣削加工力致误差模型及工件位姿优化模型，通过算法设计对优化模型进行求解，以确定最优工件位姿，并在ABB IRB6660工业机器人铣削加工平台上对优化模型进行实验验证，以期为控制工业机器人铣削加工中的力致误差并提高其加工精度提供参考。

1 工件位姿优化建模

在工业机器人的铣削加工中，机器人与工件的相对位姿不仅影响机器人末端工具与工件的接触关系，使切削力发生改变，并且对机器人的柔度产生一定影响。在机器人位姿调整受限情况下(如奇点位置、不便加工位置等)，有必要通过调整工件位姿进行加工优化。

1.1 基于力致误差的优化建模

工业机器人的多臂杆和多关节串联结构使其具有典型的强柔度特性，而铣削加工通常具有相对较大切除余量，使得刀具与工件材料之间发生较大作用力，机器人末端在弱刚性和大负载作用下会导致不可忽略的变形，这一变形在切削时会映射到工件表面，产生力致误差。工件表面法向的误差最终决定其加工精度，因此，本文选择工件表面法向力致误差作为优化目标。

(a)机器人末端在Pj处法向力致误差 (b)法向力致误差建模思路

综上所述，可得出机器人末端在点Pj处的法向力致误差enj为

(1)

式中，npj为刀触点Pj处法向矢量；Cttj为Pj处机器人平移柔度子矩阵；Ffj为机器人在点Pj处铣削加工时的切削力矢量。

(2)

式中，Δlj为刀触点第j点与第j+1点之间的步距。

以上述建立的法向力致误差作为优化目标，以工件位姿坐标w(x,y,θ)作为优化变量，以机器人关节运动约束作为约束条件，建立基于力致误差模型的工件位姿优化模型，通过最小化优化目标力致误差确定最优工件位姿，其中，关节运动约束需满足：工件位姿选择区域需在机器人的可达区域内，即机器人各关节运动限制在一定范围内，并且该区域应在工作台中心位置一定范围内，避免导致机器人加工时过于贴近边界位置使其发生奇异问题。工件位姿优化模型为

(3)

式中，qi为机器人第i关节的关节角；Ax，Ay，Aθ和Aq分别为工件位姿(x,y,θ)和关节角q的范围集合。

1.2 工件位姿与机器人姿态的映射关系建立

工件位姿与机器人姿态的映射关系是建立机器人柔度及力致误差模型的前提，是描述工件姿态到机器人姿态的转换方法。本文以ABB IRB6660/1.9工业机器人为研究对象，其加工平台现场及运动学模型如图2所示，ABB IRB6660机器人D-H参数如表1所示。ABB IRB6660/1.9工业机器人的定位误差为0.05 mm，重复定位误差为0.08 mm，根据此机器人的结构参数，运用D-H法建立机器人各臂杆的坐标系，见图2(b)。

(a)加工平台现场 (b)运动学模型

表1 ABB IRB6660机器人D-H参数

(4)

式中，αi-1为机器人臂杆角度；qi为i关节的关节角。

(5)

图3 不同坐标系以及刀具路径上的刀触点示意图

(6)

式中，x0，y0和z0为初始工件坐标系CSW0坐标原点在基坐标系BCS下的坐标值。

(7)

式中，θ为工件绕初始工件坐标系CSW0上ZW轴的旋转角。

(8)

式中，θf为刀具进给方向角；c1和c2为中间变量，计算式为

(9)

(10)

式中，θR为机器人冗余角；(Txp,Typ,Tzp)为刀触点P在刀具坐标系CST下的描述，可通过刀具几何参数和刀具姿态确定，具体为

(11)

式中，D和r分别为刀具的直径和圆角半径，mm；κCC和φCC为刀触点处的刀具接触角，即

(12)

由式(5)和式(12)，建立工件位姿与机器人姿态的映射关系为

(13)

1.3 机器人铣削加工切削力建模

根据五轴铣削加工过程切削力理论模型[22-23]预测机器人切削力，其在刀具坐标系CST下的表示为

Fx,y,z(α,β)

(14)

式中，f为每齿进给量，mm；N为刀具齿数；κ为刀具轴向接触角；z1,j和z2,j分别为第j切削刃上参与切削微元的下限和上限;A为切削力系数和刀具接触角的中间变量矩阵，表示为

(15)

式中，φ为刀具径向接触角；Kr、Kt和Kα分别为刀具径向、切向和轴向的切削力系数。

对于机器人铣削，还需将上述切削力预测模型转换到机器人基坐标系CSB下进行描述，CSB下切削力模型Ff表示为

(16)

(17)

1.4 机器人柔度及力致变形建模

当机器人臂杆和末端刀具具有较好刚度特性时，其末端变形主要由各运动关节在末端负载作用下的变形决定，在此情况下机器人刚度模型为K=JT(Kq-Kc)J-1，其中Kc为补偿刚度矩阵。对于具有良好运动性能的机器人，Kc对K的影响很小，通常忽略不计[24]，本文基于此进行刚度建模。柔度矩阵C为刚度矩阵K的逆，采用柔度矩阵C代替刚度矩阵K可避免求解雅可比矩阵J的逆。机器人的柔度矩阵C、雅可比矩阵J和关节刚度矩阵Kq为6×6矩阵，按照矩阵元素的物理意义，可将其分为四个3×3的子矩阵，即

(18)

式中，Ctt为平移柔度子矩阵；Crr为旋转柔度子矩阵；Ctr为耦合柔度子矩阵；雅可比矩阵J由表1中的机器人D-H参数计算得到；对角矩阵Kq为机器人的关节刚度，各关节刚度值如表2所示[12]；雅可比矩阵J和对角矩阵Kq的矩阵分别描述为

(19)

表2 机器人ABB IRB6660关节刚度值

基于柔度矩阵C，可得机器人末端变形ΔX与其作用力F之间的关系为

(20)

式中，ΔX为机器人末端上的平移(mm)和旋转位移(rad)；F为作用在末端上的广义力，包括力(N)和力矩(N·m)。ΔX、F矩阵分别描述为

(21)

假设作用在刀具上力矩很小，引起的旋转变形微小，可忽略作用力矩及其引起的旋转变形，将式(20)转换为

(22)

式中，ΔXt= [dxdydz]T为ΔX中的平移位移部分，即为机器人末端力致变形；Ff=[Fx

FyFz]T为F中作用力部分，由切削力模型确定。

将式(18)代入式(22)，得到力致变形ΔXt为

(23)

2 优化模型求解

本文选取工件沿机器人基坐标系CSB的XB轴和YB轴方向平移位置(x,y)及绕Z轴方向旋转角度θ作为优化变量，故可在XBOYB平面上将工件的可达区域进行离散化，如图4所示。图4中，在XB轴方向上离散为m2个工件平移位置，在YB轴方向上离散为m1个工件平移位置，在绕ZB轴旋转方向上离散为m3个工件旋转位置，则可在所选取空间内离散出m1×m2×m3个位姿点，图中圆点及其上箭头分别表示工件位置与朝向。m1×m2×m3个位姿点组成了工件位姿优化模型的搜索空间w，该空间中的某位姿点k处工件位姿坐标可表示为

图4 工件位姿搜索空间示意

w(k1,k2,k3)=(xk1,yk2,θk3)

(24)

设计优化模型求解方法，通过输入工件位姿坐标值，计算工件平均法向力致误差的最小值，并确定工件位姿搜索空间内最优工件位姿wopt，其求解流程图如图5所示。

3 实验验证与分析

3.1 实验设置

本实验所选用加工平台的工作台尺寸范围为1500 mm×1000 mm，因此，设计了工件加工位置空间范围的尺寸为1400 mm×800 mm×90°。设置初始工件坐标系CSW0的坐标原点在基坐标系BCS下的坐标值(x0,y0,z0)为(0,0,0)，根据工作台相对于机器人的实际位置，工件位姿的搜索范围为

(25)

实验设置现场如图6所示。图6中长方体工件的尺寸为1000 mm×100 mm×100 mm，工件材料为Al6065。从图6中可以看出，在长方体工件上进行连续铣削加工的过程相当于对若干个不同位置处的小工件进行加工(见图6(a))；同时，对这些小工件都设置了90°、60°和45°的旋转角度，如图6(a)～图6(d)所示。

(a)工件旋转姿态θ=90° (b)工件旋转姿态θ=0°

实验中设置了20组工件位姿点，这些位姿点的x坐标、y坐标和θ旋转角如表3所示，z坐标均为1170 mm，其中，前5组位姿点的设置为：x坐标为1400 mm、姿态角θ为90°、y轴坐标分别为200、300、400、500、600 mm；然后，再将工件分别旋转60°、45°和0°，设置6～20组位姿。

表3 实验中设置的位姿点

实验中通过超高速激光位移检测仪测量机器人末端力致变形，如图6(a)所示，其中所用的传感器测头(Keyence LK-H050)固定于机器人铣削主轴末端，激光点射在工作台面上，获取到的末端变形数据经由控制器连接到PC端进行采集，如图6(e)所示。为避免铣削加工前系统误差及安装误差等的影响，如传感器测头发射激光在ZB方向的倾斜所引入的误差及工作台面的平面度误差，分别在切削和空走刀两种状态下采集机器人末端在相同路径上沿加工面法向力致变形，两次采集数据的差值在工件表面法向的投影即为法向力致误差。

将机器人冗余角θR、刀具进给方向角θf、刀具前倾角α和刀具侧倾角β均设定为零，加工路径分别为垂直于基坐标系XW轴和垂直于YW轴方向的直线，加工路径上刀触点Pj处法矢与基坐标系ZB轴平行。设置加工路径上刀触点Pj间距Δl为10 mm、刀触点数量Np为5个。实验中所选取的刀具参数和所设置的切削参数表4所示。

表4 工业机器人主要刀具参数和切削参数

3.2 实验结果及分析

工作表面平均法向力致误差和机器人法向柔度如图7所示，其中法向柔度计算公式为

(26)

从图7(a)中可以看出，工件表面法向力致误差预测值与实验值具有相同的变化趋势，且法向力致误差的预测值均小于其实测值，这主要是因为在机器人末端柔度建模中未考虑臂杆等非关节柔性部件的影响以及在力致变形建模中忽略了扭矩的作用。对比图7(a)和图7(b)可以发现，工件表面法向力致误差在不同工件位姿下的变化规律呈现出与机器人法向柔度变化趋势一致，这是由于在整个切削过程中，工件材料、刀具几何参数和切削参数等加工条件保持不变，所以切削力的变化规律保持不变；由式(23)可知，机器人的柔度是其变形改变的影响因素，而且实验中设置的是采用固定刀具姿态加工平面工件，法向误差即为法向变形，因此，工件表面法向力致误差与机器人法向柔度具有相同变化趋势。从图7(a)中还可以看出，1～5组工件表面法向力致误差值均明显大于6～15组工件表面法向力致误差值，这是因为1～5组机器人法向柔度值均明显大于6～15组机器人的法向柔度值(见图7(b))。

(a)力致误差 (b) 法向柔度

4 结语

(1)针对工业机器人铣削加工过程的大负载和弱刚性带来的较大力致误差问题，以工件位姿为优化变量、工件表面法向力致误差为优化目标，构建工业机器人铣削加工力致误差模型及工件位姿优化模型，通过算法设计对优化模型进行求解，以确定最优工件位姿。

(2)采用优化模型求解确定的最优工件位姿处的平均法向力致误差相比优化前降低61.0%，应用优化方法能够有效地控制工业机器人铣削加工中的力致误差，提高工业机器人的加工精度。