浅谈如何培养学生的几何直观能力

佘勤

摘要：义务教育阶段的小学数学日常教学中，数学教师要注重帮助学生提升画图能力，主要体现在会用图形工具，加深对数形结合的理解，善于图形变换，感受画图的价值，让学生逐步养成画图的好习惯，从而切实提高学生独立解决问题的能力，更加符合新课标倡导的教学要求。

关键词：画图数学课堂教学数形结合

引言

“数学是对于客观现象抽象概括而逐步形成的科学语言与工具。”这就决定了数学知识相较于其他学科知识来说，更具有抽象性、概括性和基础性。这样的特性，使数学知识、概念理解起来没有那么直观，问题解决起来稍显复杂。对于义务教育阶段的小学学生来说，其生理和心理特点都决定了他们更善于具体的形象思维的思考过程。如何能将数学知识和概念的理解转变得更加直观形象、数学问题的分析转化得更加简单清晰、数学的思维更加易于发生？数学课程标准中提出的“几何直观”概念，说明了数形结合是解决这些问题的有效途径，也是不可或缺的手段。下面我将从画图和图形两个角度来阐述我的观点。

一、把握基础会用基本图形工具

20世紀最伟大的数学家希尔伯特在《几何直观》中说过：“图形可以帮助我们寻求解决问题的思路。”在义务教育阶段学习数学时，很多时候都要用到基本的图形工具，例如，数轴、方格纸、直角坐标等。在我们平时的教学中，要注重培养学生对基本图形工具的运用，要利用多种途径让学生运用这些基本图形工具去认识数学、解决数学问题。数轴这一基本图形工具，在数学学习中经常用到，它可以很好地帮助学生理解数与数之间的直接的大小关系。例如，按从小到大的顺序排列下面各数：1.1、4/3、-2、0。学生读完题目后会觉得这个题目中既有小数，又有分数，还有负数，比较起来需要注意的地方很多。因此，可以结合数轴来比较：首先数轴是以0为参照点的，所有的负数都在0的左边，正数在0的右边。而数轴上的数越往左越小，越往右就越大，因此可以确定-2<0，1.1和4/3大于0，接下来只要考虑1.1和4/3的位置，因为1.1在4/3的左边，所以-2<0<1.1<4/3。这只是学生借助数轴的思考过程，如果能够把数轴这一基本图形中的每个数标出来，这个问题解决起来会更快，如图1所示。

方格纸在认识图形时是不可或缺的工具，认识图形的周长和面积都离不开方格纸。例如，三角形的面积公式的推导，正是借助方格纸让学生直观看出，两个完全一样的三角形所拼成的平行四边形，与原来的三角形是等底等高的，从而帮助学生理解三角形面积公式。直角坐标系在小学阶段用到得不多，不过还是可以找到相对应的内容有：用数对确定位置和用方向与距离确定位置，它是后续的解决函数问题的重要工具。因此，我们在课堂教学中要注意培养学生掌握基本的图形工具，并会用这些基本工具解决数学问题。

二、运用画图加深数形结合的理解

数学家笛卡尔曾说过：“没有任何东西比几何图形更容易印入脑海的了。”画图不仅可以使复杂的数量关系变得直观、简单，更重要的是，可以让数学中的虚无缥缈的数具体起来，从而帮助学生理解数的意义，这就是数形结合。在学生刚刚接触到数的认识时，数形结合便如影随形。从一年级认识10以内的数时，学生通过数不同物体的个数，发现不同物体的数量相同，然后让学生动手画出和物体数量相同的圆，逐步抽象成可以用同一个数字来表示。再到学生认识20以内的数11时，通过把10个物体圈在一起，学生就在这个圈一圈的动作中，体会并理解十位上的1和个位上的1表示的含义是不一样的。后面认识分数、小数都是采用数形结合的方式去认识和理解数的产生和发展的。

数与形的结合的意义远不止于帮助学生理解数的意义，更在于对所学知识和已掌握技能的融会贯通。这主要体现在学生看到图形想到了哪些数学知识，推理出了什么样的数学结论。例如，一列从上海开往南京的动车（不返回），沿途分别设有苏州、无锡、常州三站，这列列车一共要准备多少种不同的车票？解决这个问题很多学生第一个想到的方法就是一一列举，上海到苏州、上海到无锡……这个方法是能够解决这个问题，但如果再增加一个站点，要增加几种车票，学生推理起来就会觉得吃力。如果借助画图来实现数形结合，情况就会大不相同。把每个车站抽象成一个点，上海站和南京站之间可以用一条线段来表示，如图2所示。

这样借助这条线段图就能很直观地看出从上海开往南京的火车票的种类，用一道算式就可以解决：4+3+2+1=10（种）。学生通过对图形和算式直观的比较分析，很容易得到再增加一个站点，车票的种类数量只要再加上5种即可。甚至于推想出一共有n个站点的话，便会有“（n-1）+（n-2）+……+5+4+3+2+1”种不同的车票。由此可以看出，运用画图的方式还可以使形和数的运算结合起来，这是更深层次的数形结合。数与形的结合可以把复杂的数学问题剖析得更加直观形象，更有助于学生思考和推理。

三、注重变换让图形动起来

图形可以说是现实世界在数学中的模型，人们可以通过研究图形进而去认识世界。很多现实世界的物体在刻画成几何图形时，并非都是平面的图形，更多是立体的几何图形，要认识和了解它们，通常就要用到图形的变换。数学中的图形变换主要是利用平移、旋转和轴对称三种方法使图形在脑海中动起来，从而使学生能够更透彻地认识、理解和记忆图形的基本性质。例如，在六年级学习和认识长方体和正方体时，通过研究它们的平面展开图去进一步加深学生对其基本性质的理解。在研究平面展开图的过程中，就是让孩子利用旋转使图形动起来，进而进一步体会和感悟到长方体相对的两个面相同，正方形六个面都是同样大的正方形等基本性质。图形的变换在整个数学学习中占据着举足轻重的地位，它既是学生学习数学的一种重要的方法，也是学生进行思考的一种基本的途径。在研究圆柱体积时，让学生把一张长方形的纸以长为固定轴旋转一周，在这个过程中学生动手旋转长方形是无法直接看到一个圆柱的，只有让长方形在脑海里动起来，从而想象出一个圆柱来。学生通过想象和思考，易于弄清这个长方形和旋转得到的圆柱之间的关系，长方形的长就是这个圆柱的高，宽是它的底面半径。很显然，图形的变换在这个过程起到了决定性的作用，由基本的平面图形变换到立体图形，加深了学生对图形以及它们之间联系的认识和了解，也发展了学生的空间观念和思考能力。0D652B42-827B-41D2-B201-DEBB6A426068

四、善用典型感受画图的价值

在小学阶段用画图解决问题在数学学习中是最常用、最重要的方法，它还具备易操作性，只要有简单的文具就可以完成。小学阶段的孩子正处于具体的形象思维发达，而抽象概括能力不足的阶段。画图能把抽象的内容用不同的图形表示出来，使之变得直观、形象，容易让学生理解、接受，从而帮助他们解决复杂的问题。画图是一种便利的解决问题的策略，要想让学生能够主动地使用画图的策略，首先要让他们感受到用画图方法解决问题的价值。教师要善于抓住时机，通过各种方法使学生切身体会到画图的价值。例如，二年级的题目：一只蚂蚁先向东爬5分米，再向西爬4分米;又向东爬7分米，向西爬3分米，然后停下来，这时蚂蚁停在起点的东面还是西面？離起点几分米？题中的已知条件比较多，而且涉及方向的改变，如果让学生直接回答会比较困难。这时让孩子动笔画一画，先确定起点，再按照题中蚂蚁每次爬行的方向和长度，标清每一次的位置。很快便能解决问题——蚂蚁停在起点的东面，离起点5分米。这样的已知条件多且杂的典型题目，是最容易让学生感受到画图带来的好处的，从而体会到在解决问题时画图的价值。

五、因时施宜逐步养成习惯

在教学中，要注意根据不同年龄层次孩子思维的发展水平，设计不同的画图方法，使他们在解决问题中真正感受到画图对理解数学内容、寻求解题思路时所带来的便捷。因此，培养学生画图的习惯也就至关重要，教师从一开始，就要有意识地加以引导和培养学生画图的习惯。画图的能力不是一朝一夕就可以习得的，需要教师在日常教学中运用多种途径和方法，促使学生不断地、逐步地养成画图的习惯。在一、二年级时，可以让学生用不同的图画来表示题目的意思，不一定要画线段图，可以是圆、三角形、示意图等。例如，有一队小朋友，从前往后数小明排在第4个，小红排在第8个，小明和小红之间有几个小朋友？这样的题目如果让一年级孩子直接思考出答案是有一定难度的，老师可以引导孩子动手画一画。可能有的孩子会画小人图，有的孩子会用圆来代替小朋友，这都是可以的。只要他们能用图画表示出小明和小红的相对位置就是可以的。当孩子们画出示意图时，只要数一数便能解决这个问题了。在刚刚开始系统的数学学习时，学生就已经感受到用画图的方法解决问题的好处，为他们养成画图的习惯奠定了基础。随着学生年龄的增长，到了中高年级，对于他们的画图就要提高要求——会用线段表示出不同的数量关系，所画的线段的长度要与已知条件之间的关系相匹配等。例如，五年级两个班参加植树活动，一共植树102棵，已知二班植树的棵数是一班的2倍还多6棵，一班植树多少棵？这一题在不画图的情况下直接列式解答，学生很容易出错。教师可以在学生出错的情况下，有意识地引导学生用画图的方法。但这时的画图就要提高对学生的要求，先要让学生弄清先画一班的比较方便，再使其明白用线段表示二班的植树数量时，线段的长度应当是一班的线段长度的2倍多一些，画得过长或过短都不利于问题的解决。把线段图画准确后，除了二班多出来的6棵，剩下的三份是一样的，这样只要用“102-6”再除以3，问题就迎刃而解了。任何习惯的养成都是需要时间的累积的，要想帮助学生养成画图的习惯，是需要教师在日常的教学中，不断引导、适时点拨、长期坚持的。学生养成了画图的习惯后，就可以借助画图来分析数量关系，从而获得独立解决较难问题的能力。因此，培养学生画图习惯，应该作为平时的教学目标来实行。

义务教育阶段的小学数学中，存在着许多重要的内容、概念的本质特征都与数和形相关，如分数、速度问题等，能从数和形这两个角度去认识数学对学生来说至关重要。“数形结合”可以说是学生认识数学的基本方法、基本要求，而“画图”是培养学生几何直观的主要方法。在日常的教学中，尤其是课堂教学中要引导学生会用基本的图形工具，知道在什么时候要使用基本的图形工具;要抓住时机，抓住典型题型，让学生在借助图形理解数学的同时感受画图的价值;要时刻注重学生培养画图的习惯，帮助他们最终形成用画图解决问题的能力。

参考文献：

[1]崔玉兰.几何直观能力培养的三个“着眼点”[J].学周刊，2014（24）：194195.

[2]韩毅.借助图形巧解题[J].第二课堂（小学版），2003（Z1）：2.

责任编辑：黄大灿0D652B42-827B-41D2-B201-DEBB6A426068