基于典型相关分析的信号与彩图混合分离方法

陈柯鑫， 范丽亚

(聊城大学数学科学学院, 山东聊城 252059)

随着现代网络的不断普及和通信技术的高速发展，数字技术已广泛应用于众多领域，但是所需数字信息在收集或传输过程中通常会受到噪声等因素的影响。例如，在录制视频时，周围难免会有无关声源及无关事物的发生，导致所录视频是多个声源与图像的叠加。除此之外，在视频的传输过程中，电磁信号等噪声同样不可避免，因此如何从混合信息中快速、高效地分离所需信息成为亟待解决的问题。针对混合信号的分离，Jutten等[1]提出了盲源分离(blind source separation，BSS)法，该方法在未知混合方式的前提下直接从多个观测到的混合信号中解析出原始信号。当信源具有统计独立性并且瞬时混合时，BSS可以通过独立成分分析(independent component analysis，ICA)实现，该方法称为BSS-ICA[2]，是一种基于非高斯的通用转换方法，常用于音频处理[3-4]、生物医学数据处理[5]、物理学[6-7]等领域。FastICA[5,8]是一种快速不动点ICA算法, 将神经网络的学习规则、梯度下降法转化为不动点迭代，不需要自定义参数，能快速找到非高斯独立分量。ICA假设观测值是独立源的线性混合，所有阶数的相互统计量都为0，该假设过于严格，导致在ICA过程中丢失一些重叠的共激活模式。Friman等[9]提出一种基于典型相关分析(CCA)的BSS法(BSS-CCA)，该方法将各组分按相关性度量排序， 不需要对所有组分进行人工检测， 并且对数据的高噪声不敏感。 Liu等[10]提出了基于广义正则CCA的BSS法， 并证实了广义正则CCA可以成功地恢复原信号。 Karhunen等[11]提出了基于广义CCA的BSS法，验证了广义CCA对合成数据集的分离具有良好的性能。Yu等[12]提出了基于多集CCA的BSS法，并应用于核磁共振数据分析[13-14]。上述各方法仅考虑了混合信号的分离。

与上述研究相比，关于混合图像的BSS研究相对较少。Nuzillard等[15]将BSS应用于多光谱天文图像，结果表明BSS可以用于提取一些特征。Lin等[16]对盲信号分离在图像加密方面的应用进行了研究，将v(v∈+)个灰色源图像与一个噪声图像混合加密，然后利用BSS进行分离。Jadhav等[17]利用BSS-ICA从水印图像中检测所有者的签名，并证明了BSS-ICA方法有鲁棒性。Hattay等[18]提出了一种基于BSS法的数字全息图像重建和双像去除的鲁棒自聚焦方法，可以有效地去除同轴粒子数字全息图中多余的双像。以上方法仅研究了图像的分离方法。

目前，信号与图像(尤其是彩图)共同混合分离的研究较少。基于此，本文中研究信号与彩图的混合分离，提出一种基于CCA的信号与彩图混合分离方法(简称本文方法)。将m(m∈+)个长度为n(时间节点个数，本文中随机取n=120)的信号与m张彩图混合，构成n张混合彩图，在此基础上添加高斯白噪声(以方差为0.01的噪声为例)，用以增加信息的模糊性。分离过程在一切信息均未知的情况下进行，仅利用CCA作为信号与彩图分离工具。最后在McMaster数据集上，将本文方法与目前最常用的ICA法进行对比实验。

1 预备知识

1.1 CCA

给定2个随机向量x∈p和y∈q(p,q∈+)，它们的取值分别为p和q。CCA的基本思想是寻找典型方向wx∈p和wy∈q，使得投影后的随机变量与之间具有极大相关性，即满足准则

(1)

令

X=(x1,x2,…,xm)∈p×m,

Y=(y1,y2, …,ym)∈q×m,

em=(1,1,…,1)T∈m,

由于Cxx、Cyy为对称非负定阵，并且

因此式(1)转化为

(2)

(3)

(4)

式中λ(λ≠0)为拉格朗日算子。为了避免矩阵Cxx和Cyy的奇异性，将Cxx和Cyy正则化，即用Cxx+tIp×p替代Cxx，用Cyy+tIq×q替代Cyy，其中t>0为正则化参数，I为单位矩阵。基于此，式(4)可转化为广义特征方程，即

Cxy(Cyy+tIq×q)-1Cyxwx=λ2(Cxx+tIp×p)wx。

(5)

为了求解方程(5)，对矩阵Cxx+tIp×p进行特征值分解(eigen value decomposition, EVD)，即Cxx+tIp×p=UΣxUT，其中U∈p×p为正交阵，Σx=diag(σ1,σ2, …,σp),σ1≥σ2≥…≥σp>0为Cxx+tIp×p的全部非零特征值，并记

可得

(6)

设rank(B)=r≤min{p,q}，并对B进行奇异值分解(singular value decomposition, SVD),

(P1ΣB,0)QT,

式中：P=(P1,P2)∈p×p、Q∈q×q为正交阵；ΣB=diag(ζ1,ζ2,…,ζr),ζ1≥ζ2≥…≥ζr>0为B的所有非零奇异值，r∈+；P1=(p1,p2,…,pr)∈p×r。 可得

(7)

(8)

根据式(8)，随机向量x∈p(y∈q)的d个典型投影方向wx1,wx2,…,wxd(wy1,wy2,…,wyd)彼此正交，因此也相互独立。

1.2 卷积运算

对于连续时间信号，卷积是一种特殊的积分运算。2个连续时间信号f1(η)和f2(η)的卷积运算为

式中：η为连续时间信号的时间点；τ∈。

如果把连续时间信号离散化，则卷积运算的定义可转化为

式中：γ∈；x(η)、h(η)为参与运算的离散时间信号。

针对图像的卷积运算是通过卷积核完成的，是图像数字矩阵与卷积核加权的滑动求和过程。卷积核是卷积运算的核心，卷积核通常为3×3型或5×5型矩阵，矩阵各元素称为卷积核的权重，和为1。卷积运算在滑动过程中权重不变，步幅依据任务而定，一般设为1。卷积运算的结果有2种：1)得到更小尺寸的图像特征矩阵；2)通过对图像矩阵上下左右填充0元素，得到相同尺寸的图像特征矩阵。针对图像的卷积运算常用于图像特征提取、图像滤波(平滑化)、基于梯度运算的边缘提取等。

2 本文方法

2.1 混合方法

信号与彩图的混合方法要求信号与信号、彩图与彩图、信号与彩图之间相互独立。首先，对彩图Scaitu,l∈p×q×3(l=1,2,…,m)按RGB(红、绿、蓝三原色)3个通道进行分解，得到3张灰度图像(简称灰图)Rl∈p×q,Gl∈p×q,Bl∈p×q,l=1,2,…,m；其次，将各通道上的所有灰图(每个通道有m个)与m个相同长度的信号按时间节点(节点个数n>>m)进行混合后添加高斯白噪声；最后，将3个通道上的混合加噪后的灰图按时间节点合成n个伪彩图，并作为混合后的内容，具体过程如图1所示。

Rl、 Gl、 Bl—彩图l(l=1,2,…,m)按RGB(红、绿、蓝三原色)3个通道进行分解得到3张灰度图像(简称灰图)； R(k)、 G(k)、 B(k)—Rl、 Gl、 Bl按时间节点与m个信号混合后得到的灰图, k=1,2,…,n； R′(k)、 G′(k)、 B′(k)—R(k)、 G(k)、 B(k)加噪后的图像。图1 信号与彩图的混合过程

R(k)=R1V1(k)+R2V2(k)+…+RmVm(k)=

G(k)=G1V1(k)+G2V2(k)+…+GmVm(k)=

B(k)=B1V1(k)+B2V2(k)+…+BmVm(k)=

则各通道上的n个混合灰图分别简记为

2.2 分离方法

基于CCA的信号与彩图分离方法具体步骤如下。

R′(k)、 G′(k)、 B′(k)—R(k)、 G(k)、 B(k)加噪后的图像,个传输彩图分别在RGB (红、绿、蓝三原色)3个通道上分解得到的3组灰图；对进行同尺寸的卷积运 算得到的3组特征矩阵；的向量化； 的向量化；经 过CCA运算得到的3组典型投影方向；恢复的信号。图2 利用典型相关分析(CCA)进行信号与彩图分离的过程

vec(G1)V1(k)+vec(G2)V2(k)+…+vec(Gm)Vm(k)≈

k=1,2,…,n。

Vl(k),l=1,2,…,m,k=1,2,…,n。

进而有

同理可得

记

则分离的m个(离散)盲源信号为

3 实验与结果分析

为了验证本文方法的有效性，利用McMaster数据集[19]，与目前最常用的ICA法进行比较实验。McMaster数据集包含18张格式为.tif的彩色图片，每张图片尺寸为500像素×500像素。本文中选用的卷积核为

3.1 双信号双彩图的混合分离

随机产生2个信号作为原始信号，如图3所示，时间节点个数n=120。从McMaster数据集中随机选取5组彩图作为原始彩图，如图4所示。

(a)信号1

(b)信号2图3 随机产生的2个时间节点个数均为120的信号

实验中图4(a1)、 (b1)、 (c1)、 (d1)、 (e1)标记为每组的第1张彩图，图4(a2)、 (b2)、 (c2)、 (d2)、 (e2)标记为每组的第2张彩图。为了直观对比ICA法和本文方法的分离效果，以图4(a1)、 (a2)为例，分离信号与彩图的对比如图5、 6所示。双信号双彩图实验中原始灰图与分离灰图及原始信号与分离信号的相似度对比如表1所示。从表中可以看出，不论是原始彩图还是信号的分离，本文方法均远优于ICA法，尤其是对彩图的恢复，相似度普遍提高30%左右，但是本文方法所消耗的时间较长。

3.2 多信号多彩图的混合分离

图7所示随机产生的3个时间节点个数均为120的信号，图8所示为从McMaster数据集中随机选取的4组彩图。以图7中产生的信号与图8中选取彩图为例进行三信号三彩图实验。

图8(a1)、 (b1)、 (c1)、 (d1)标记为每组的第1张彩图，图8(a2)、 (b2)、 (c2)、 (d2)标记为每组的第2张彩图，图8(a3)、 (b3)、 (c3)、 (d3)标记为每组的第3张彩图，原始灰图与分离灰图或原始信号与分离信号间的相似度对比如表2所示。从表中可以看出，不论是原始彩图的分离，还是信号的分离，利用CCA进行分离的方法均优于ICA法，不仅恢复的相似度高且效果相对稳定，但是利用CCA进行分离的方法在时间方面不占优势，消耗时间较长。为了直观对比ICA法和本文方法的分离效果，以图8(c1)、 (c2)、 (c3)为例，分离信号与彩图的对比如图9、 10所示。

(a1)第1组图1(a2)第1组图2(b1)第2组图1(b2)第2组图2(c1)第3组图1(c2)第3组图2(d1)第4组图1(d2)第4组图2(e1)第5组图1(e2)第5组图2图4 从McMaster数据集中随机选取的5组彩图

(a)信号1

(b)信号2

(c)本文方法提取信号1(相似度为0.998 1)

(d)本文方法提取信号2(相似度为1.000 0)

(e)ICA法提取信号1(相似度为0.880 8)

(f)ICA法提取信号1(相似度为0.736 5) 本文方法—基于典型相关分析的信号与彩图 混合分离方法；ICA法—独立成分分析法。图5 双信号双彩图中分离信号的对比

表1 双信号双彩图实验中原始灰图与分离灰图及原始信号与分离信号的相似度对比

(a)信号1

(b)信号2

(c)信号3图7 随机产生的3个时间节点个数均为120的信号

(a1)第1组图1(a2)第1组图2(a3)第1组图3(b1)第2组图1(b2)第2组图2(b3)第2组图3(c1)第3组图1(c2)第3组图2(c3)第3组图3(d1)第4组图1(d2)第4组图2(d3)第4组图3图8 从McMaster数据集中随机选取的4组彩图

表2 三信号三彩图实验中原始灰图与分离灰图及原始信号与分离信号的相似度对比

(a)信号1(b)信号2(c)信号3(d)本文方法提取信号1(相似度为0.965 2)(e)本文方法提取信号2(相似度为0.979 9)(f)本文方法提取信号3(相似度为0.889 6)(g)ICA法提取信号1(相似度为0.804 4)(h)ICA法提取信号2(相似度为0.754 6)(i)ICA法提取信号3(相似度为0.579 3)本文方法—基于典型相关分析的信号与彩图混合分离方法; ICA法—独立成分分析法。图9 三信号三彩图中分离信号的对比

4 结论

本文中研究了信号与彩图混合分离方法，并在分离过程中利用CCA作为信号与彩图混合分离的工具，得到以下主要结论。

1)在McMaster数据集中，双信号双彩图和多信号多彩图的实验证明了本文方法可以同时高质量分离信号与彩图。

2)在一切条件未知的情况下，McMaster数据集中与利用ICA法作为分离工具的对比实验证明，本文方法的分离效果明显优于ICA法的分离效果。

本文方法在时间方面不占优势， 并且没有考虑本文方法对其他信号与彩图混合方法数据的分离效果； 此外， 本文中也没有考虑卷积核的选择对分离效果的影响， 在后续的工作中还将进一步研究。

(a)图8(c1)(b)本文方法分离图8(c1)(相似度为0.795 2)(c)ICA法分离图8(c1)(相似度为0.606 2)(d)图8(c2)(e)本文方法分离图8(c2)(相似度为0.858 9)(f)ICA法分离图8(c2)(相似度为0.437 7)(g)图8(c3)(h)本文方法分离图8(c3)(相似度为0.883 9)(i)ICA法分离图8(c3)(相似度为0.274 5)本文方法—基于典型相关分析的信号与彩图混合分离方法; ICA法—独立成分分析法。图10 三信号三彩图中分离彩图的对比