基于用野列举法求概率冶的项目式教学实践

王国芳 陈海烽

[摘要]为了实现由“讲堂”向“学堂”的转变，构建新型的课堂，文章以“求田忌赛马的胜率”为项目任务，从项目任务的确定、项目规划的制订以及项目管理三个方面对项目教学进行了探索.

[关键词]项目教学;问题;探究与交流;学生成果

项目教学是指以“问题”为教学载体，教师引导学生对问题进行探究的教学活动，由项目任务、项目规划、项目管理三个要素构成.素养时代的项目学习指对知识的深度理解，创建真实的驱动性问题和成果，用高阶学习带动低阶学习，将素养转化为持续的学习实践[1].笔者基于“列举法求概率”的教学实例对项目式教学进行探索.

项目任务的确定

选题是项目教学的首要环节，一个好的选题能够激发不同学习水平的学生的探索欲望，激发他们通过查阅资料、分析推理、动手实践、运用学科知识和技能进行研究.统计与概率内容极具情境性，考虑到初中生好胜、求趣的心理特征，故选取2021年福建省中考试卷第23题“求田忌赛马的胜率”为本文的项目任务，期望学生利用教材等课程资源经历“求田忌赛马胜率”的数学活动，会用列举法求等可能随机事件的概率，由此深化学生对概率意义的认识，进一步培养他们的随机观念，发展他们数据分析的数学素养.

项目规划的制订

成功的项目教学案例，是真正实现了课堂从教师“教”到学生“学”的转变，它需要教师做好严谨的项目规划.

（一）教学策略

田忌赛马不仅是小学语文的教学内容，也是小学数学教材“对策问题”的内容，还能考查高中独立事件并集的概率转化为概率和，它既是小升初的衔接点，也是初升高的衔接点.

田忌赛马是一个经典的博弈问题，完成这个任务的关键是建构数学模型（古典概型的概率）.本题属于策略开放式的探究题，考查了学生阅读、思考、表达的能力，学生在熟悉的情境下，面对新的拓展问题，需要运用类比思维模仿题干中的数学符号语言，建构数学表达模型.田忌赛马是三局两胜制，学生在用树状图解题时错误地变成了田忌、齐王各出一匹马相互较量定输赢.对于复杂的概率问题，如何才能将涉及两个或两个以上因素试验的所有可能的结果不重不漏地列举出来，是本次任务的关键点.

教师给出项目任务后，将全班学生分为八个小组，每组六人，在分组时，要考虑性别与数学水平层次不同.学生通过阅读教材，观看微课视频等课程资源获取学科知识并对选题进行自主探究后，以小组为单位进行交流和展示个人成果，在探究过程中，教师提供必要的学科知识帮助学生辨析错误.综上所述，本次项目教学的策略为以学代教，以小课题带大任务.

（二）教学过程

1.项目导入：播放田忌赛马故事视频（时间1分50秒）.

设计意图：以数学文化为素材的试题是近年中高考试卷中的创新题和热点题，田忌赛马的故事凭借孙膑的计谋创造了以弱胜强的经典案例，体现了古代先贤的智慧，本项目的导入意在告诉学生，生活处处皆数学.

2.第一轮探究与交流

阅读2021年福建中考第23题的题干，回答问题：

“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒.该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马A₁，B₁，C₁，田忌也有上、中、下三匹马A₂，B₂，C₂，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示为A₁>A₂>B₁>B₂>C₁>C₂（注：A>B表示A马与B马比赛，A马获胜）.一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利.面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（C₂A_l，A₂B₁，B₂C₁）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例.

问题1：请用文字语言表述原题中的不等式A₁>A₂>B₁>B₂>C₁>C₂及C₂A_l的含义.

设计意图：阅读是获取信息的重要方式，从某种意义上讲，阅读教学的成功与否决定了教学的成败，数学学科的阅读教学是教会学生进行文字语言、图形语言、数学符号语言的转化.

3.第二轮探究与交流

假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：

问题2：如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？求其获胜的概率.

说明：可以利用桌子上的撲克牌，（红牌8，6，4;黑牌，7，5，3）模拟齐王、田忌的马匹进行探究.

学生成果展示：

分析：

设计意图：让数学抽象能力较弱的学生借助棋牌（3张红牌与3张黑牌分别代表齐王和田忌的上中下三匹马）进行探究，让他们通过自身的实践提高数学素养.

4.第三轮探究与交流

问题3：如果齐王的“出马”顺序依

次为上中下，求田忌获胜的概率.

学生成果展示：

解：如果齐王的“出马”顺序依次为上中下时，他们的所有可能的对阵情况如表1.

设计意图：此问题在原命题中并没有，添加这一任务是为了完成下一个任务，为学生搭建一个脚手架，让学生的分析能力在最邻近的发展区获得发展.

5.第四轮探究与交流

问题4：如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出馬”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由;若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率.

学生成果1展示：

如表2.

学生成果2展示：

解：

设计意图：引导学生在涉及两（多）个因素试验的所有可能的结果能不重不漏地列举出来，掌握不同形式的列举法求随机事件的概率问题.

6.第五轮探究与交流

问题5：甲、乙、丙三位好友决定抓阉来决定谁得到仅有的一张冬奥门票，他们准备了一个不透明的盒子，里面装了一个红球，两个白球，这些球除颜色外无其他差别.抓中红球的人才能得到门票，刚要抓阉，甲问：“谁先抓？先抓的人会不会抓中的机会比别人大？”你认为他的怀疑有没有道理？谈谈你的想法和理由.

学生成果展示：

解：甲的怀疑没有道理，先抓后抓抓中的机会是一样的，我们用树状图来列举结果.

设计意图：此题运用类比的思想与“田忌赛马”相联系，把三个人抓阉的顺序想象成田忌出马的顺序，把球的颜色想象成齐王出马的顺序，就可用问题4中学生展示的成果模型予以解决.设计此题，意在让学生在合作学习的过程中将所探究出来的技能通过拓展性问题往能力上过渡，培养学生迁移学习与深度思考的能力.

7.反思与交流

在同学们探究问题4时，有部分同学画出如下树状图，请你们思考是否正确，并说明理由.如果是错误的，请你根据此树状图命制题目，使之成为正确的解答.

设计意图：这种树形图刻画的是田忌和齐王各出一匹马较量定胜负，比赛只进行了一轮，并非题意的三局两胜制，整个赛马过程还需两轮且每轮出场的每对赛马不同.设置这一任务是为了帮助学生变误为悟，让学生命制题目是为学生提出问题提供机会、搭建平台、学会逆向思维.

项目管理

（一）教学时间与教学空间管理

在进行该项项目教学的前一天，要求学生阅读教材和利用网上视频学习“用列举法求概率”的内容，完成教材中的两道练习题并发布到班级群，为第二天田忌赛马的任务做好知识储备，项目教学完成后，要求学生上网查找概率论的相关史料，每位同学解决古文化（或游戏问题）中有关概率的问题各两道，体会概率在采取决策，解决现实问题中的作用.因此，本课题虽然在课内时间仅为一课时，但需要开放的教学时间.学生交流的平台是以课堂为主，班级QQ群或微信群为辅.

（二）评价表

1.参与学习活动评价表（表3）.

2.学习效果评价表（表4）.

总结与反思

1.选题应基于课程标准

与传统教学相比，项目式教学能更有效地提升学生解决实际问题的能力，但并非所有的课程内容都适合项目式教学法，统计概率、函数（方程）的应用，平面几何等相关内容可以采用项目式教学法，但实数的运算就不适合项目式教学法，从学科素养上来看，几何直观、数据分析、数学运算适宜项目式教学，数学抽象、数学运算、逻辑推理并不适应项目式教学，选题的难度设计应符合初中生，任务太容易完成激发不起学生的挑战欲望和学习的积极性，但若选题太难，学生就有可能达不成任务.

2.个性化学习与合作学习相结合

项目式教学是一个以学生学习为中心的课堂教学.在学习形式上，学生自学、互学、群学相结合.自学可以培养学生独立学习能力，互学使每一个学生深入学习，一部分学生针对不会的内容提出问题，另一部分学生针对这些问题予以解决，在互学的过程中，学生不仅参与了学，也参与了教，学生之间的相互辩论，激活了学生的思维.

3.充分发挥教师的促进者的角色

作用

在项目化学习中，不可盲目尊重学生的独特体验，使课堂教学成为放羊式教学，教师主导性的缺失，会导致学生主体性的发挥受到自身水平的限制，使他们的认知水平降低.学生自主化学习，只有在教师正确的引领下，才能保证学习的方向性和有效性.

参考文献：

[1]夏雪梅.素养时代的项目化学习如何设计[J].理论研究，2019（05）：7-11.