带输入磁滞的非线性系统模糊事件触发控制

王 晨， 吴宇深， 李咏华， 杜泳萍， 黄 峥， 王建晖

(广州大学 机械与电气工程学院， 广东 广州 510006)

Backstepping技术是研究非线性系统的实用工具之一[1]，引起了学者们的广泛关注，并且取得了大量的研究成果[2-5]。文献[2]研究了一类非线性系统的跟踪控制问题，实现了跟踪误差在有限时间内收敛到期望的区间；文献[3]和文献[4]分别针对二阶多智能体系统及船舶系统设计了自适应控制器；文献[5]针对四旋翼无人机的姿态和位置的跟踪控制问题进行研究，分别设计了姿态和位置的跟踪控制器。

实际系统模型是难以精确获取的，系统中难免会出现不确定部分[6]，不确定部分的处理得当与否将直接影响控制的精度。由于模糊系统(fuzzy logic systems，FLSs)[7-10]和神经网络(neural network，NN)[11-14]具有有效逼近未知非线性函数的能力，模糊逻辑系统和神经网络在非线性系统的自适应控制中得到了广泛的应用。文献[7]基于模糊逻辑系统，针对一类非线性系统设计了自适应模糊跟踪控制器；文献[8]将模糊逻辑系统引入到随机非线性系统，提出了一种输入量化和状态不可测的随机非线性系统自适应控制方案；文献[10]利用模糊逻辑系统研究了一类非线性系统的实际固定时间稳定的控制问题；文献[12]将神经网络引入到滑模控制，提出了一种基于神经网络的鲁棒自适应滑模控制策略；文献[14]采用神经网络逼近机械臂的死区函数和系统不确定性部分，提出了具有输入死区和输出约束的机械臂自适应神经网络跟踪控制方法。模糊逻辑系统和神经网络可以很好地处理系统中存在的不确定性问题。

网络控制由于能提高控制效率、降低成本而受到越来越多的关注[15]。传统的时间触发控制不管有没有必要更新控制输入，周期性地更新输入，都不可避免地造成网络资源的浪费[16]。然而，系统的通信资源是有限的。网络控制需要解决的一个关键问题是网络带宽有限的通信约束问题。输入磁滞在实际系统中是不可避免的，对系统性能有很大的影响[17]。为保证控制精度，系统需要大量的控制量来补偿磁滞的影响，所以磁滞会加重系统的通信负担。研究如何减少系统通信资源占用的问题在理论和实践中都具有重要意义。

为了节省系统的通信和计算资源，20世纪90年代末，事件触发控制(event-triggered control，ETC)[18-20]思想被提出。该思想的核心是“仅在有需要的时候进行信号的更新”。事件触发控制通过判断是否满足事件触发条件来决定信号的传输，非周期地更新输入。文献[18]针对一类不确定非线性系统，提出一种事件触发自适应控制方法，在保证系统控制精度的前提下，减少了通信资源的占用；文献[20]通过研究一类非线性系统的事件触发固定时间稳定控制问题，实现了系统固定时间稳定，同时缓解了系统通信压力。事件触发控制可以减少输入信号的更新频率，从而节约通信资源。

当系统面临不确定性、输入磁滞和通信资源约束的问题时，如何保证控制精度的同时减少通信资源的占用是一个极具挑战性的问题。本文针对一类带输入磁滞的不确定非线性系统控制问题进行研究，提出了一种自适应模糊事件触发控制方法。该方法可以有效地处理系统中的不确定性和在线对输入磁滞进行补偿，保证系统控制精度的同时，显著地节约通信资源。

1 问题描述

1.1 系统模型

考虑如下非线性系统：

(1)

1.2 磁滞分析

考虑执行器的磁滞，其在运行过程中表现出类似逆冲磁滞的行为。控制信号表示为vc=B(uc)，vc和uc分别代表输出和输入。磁滞数学模型如下：

(2)

其中,a，h和b是常数，h>0，h>b，根据文献[21]的研究，有如下结果

(3)

(4)

根据式(1)～(4)，考虑输入磁滞后的系统模型为

(5)

1.3 模糊逻辑系统研究

F(Xτ)=φTψ(Xτ)

(6)

其中，φ=[φ1,φ1,…,φN]T∈RN为未知的理想权重向量，Xτ=[x1,x2,…,xτ]T是输入向量，ψ=[ψ1,ψ2,…,ψN]T∈RN，ψi(Xτ)为已知的模糊基函数。ψi(Xτ)的表达式如下:

(7)

(8)

任意连续非线性函数Y(Xτ)可采用上述FLSs进行逼近，根据文献[22]得

(9)

因为逼近误差是一个时变的函数，所以式(9)可以写成

Y(Xτ)=φTψ(Xτ)+κ(Xτ)

(10)

其中，κ(Xτ)为FLSs逼近误差，满足κ(Xτ)<ε。

为方便后文的分析和设计，给出以下引理：

引理1[23]对于Γ∈R，σ>0，下列不等式成立。

(11)

引理2[24]对于x1∈R,x2∈R,(-1)(b-1)=1，ε>0,>1,b>1，下列不等式成立。

(12)

2 自适应模糊事件触发控制设计与分析

2.1 自适应模糊控制器设计

首先引入误差系统：

(13)

其中，zi是误差变量，αi-1为虚拟控制律，yd为参考信号，假设yd是光滑连续的函数且n+1阶可导。

Step 1: 定义Lyapunov函数V1:

(14)

由式(5)和式(13)可得

(15)

对V1求导得

(16)

由引理2可得

(17)

(18)

虚拟控制律α1设计如下(c1>0)：

(19)

将式(17)～(19)代入式(16)得

(20)

Stepi(i=2,3,…，n-1)， 定义Lyapunov函数Vi：

(21)

由式(5)和式(13)可得

(22)

对Vi和αi-1求导得

(23)

(24)

同Step 1，可以得到

(25)

(26)

虚拟控制律αi设计如下(ci>0)：

(27)

将式(25)～(27)代入式(23)得

(28)

Stepn: 事件触发机制和控制律设计。相对阈值事件触发机制设计如下：

(29)

根据式(29)可以得到

w(t)=uc(t)+δλ1(t)uc(t)+m1λ2(t)

(30)

其中， |λ1(t)|≤1， |λ2(t)|≤1，进一步可以得到

(31)

(32)

(33)

定义LyapunovVn函数为

(34)

由式(5)和式(13)可得

(35)

对Vn求导得

(36)

根据式(31)可得

(37)

将式(29)代入上式，可得

(38)

根据函数-qtanh(q/β)<0，∀q∈R，β>0的性质，结合引理1对上式进行放缩可得到

(39)

将式(39)代入式(36)得

(40)

(41)

同Step1，可以得到

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

其中，cn>0，σi>0，η>0。

将式(42)～式(46)代入式(41)得

(47)

根据引理2，式(48)及式(49)成立。

(48)

(49)

根据式(48)和式(49)，式(47)可化简为

=-QVn+Δ

(50)

至此，控制器的设计完毕，设计方框图如图1所示。

2.2 稳定性分析

通过前文的分析，可得到如下定理：

针对带干扰及输入磁滞的不确定系统式(5)，设计虚拟控制律式(19)、式(27)和式(44)，自适应律式(45)和式(46)及相对阈值事件触发机制式(29)，系统输出可以跟踪期望的轨迹并且可以保证：

(1)闭环系统中的所有信号都是半全局一致最终有界的；

(2)控制器可以避免Zeno现象的出现。

证明：

解微分方程得

对于∀t∈[tk,tk+1)，有

3 数值仿真与分析

为了验证所提算法的有效性，基于matlab实验平台，利用离散化方法对两类不同的系统进行了仿真实验。首先，对一假定的复杂数值系统进行了算法的验证实验。其次，为了测试算法在实际系统的效果，将算法应用到了单连杆机械臂系统中。2个实验均取得了预期的实验效果，从而验证了算法的有效性。

3.1 数值系统仿真

选取数值系统如下：

选取模糊逻辑系统的隶属度函数如下：

设计自适应律及虚拟控制律如下：

基于matlab实验平台，对上述数值系统进行仿真实验，其仿真结果见图2～图5，表1。

表1 事件触发次数Table 1 Number of event triggers

从图2和图3中可见，系统在受到输入磁滞和外界干扰的情况下，系统输出可以很好地跟踪参考轨迹； 图4描述了控制输入和事件触发控制输入；图5表示了事件触发时间间隔，从图5中可以看出事件触发是非周期的；表1记录了各时段事件触发的次数，从表中可以知，在10 s内，事件触发总次数仅为300次(事件触发率为30%)，相对于传统的时间触发式控制节省了70%的通信资源。因此，采用本文方法设计的控制器在保证控制精度的同时，可以减小控制信号的更新频率，从而节约通信资源。

3.2 实际系统仿真

为了验证所提的方法在实际系统中的有效性，选择文献[18]中的单连杆机械臂系统，并且考虑输入磁滞:

基于matlab实验平台，对单连杆机械臂系统进行仿真实验，其仿真结果见图6～图9，表2。

表2 事件触发次数Table 2 Number of event triggers

从仿真结果中可见，机械臂系统在受到输入磁滞和外界干扰的情况下，系统输出可以很好地跟踪参考轨迹；在10 s内，事件触发控制的触发总次数仅为317次(事件触发率为31.7%)，相对于传统的时间触发式控制节省了68.3%的通信资源。

4 结 论

本文针对一类带输入磁滞的不确定非线性系统控制问题进行了研究，基于Backstepping技术，结合模糊逻辑系统和事件触发控制，提出了一种自适应模糊事件触发控制方法。仿真结果表明，利用本文方法设计的控制器，在保证控制精度的同时，可以大幅减少通信资源的占用，从而验证了方法的有效性。本文所提方法可以有效地应对非线性系统中存在的不确定性和输入磁滞问题，在保证系统控制精度的前提下，可以显著地节约通信资源。