怎样比较实数的大小

黄烨华

任意两个实数之间都存在着空间大小关系.实数分为有理数和无理数.比较有理数的大小比较简单，但是比较两个无理数或者一个有理数和一个无理数的大小就比较难.为帮助同学们掌握好这部分知识，本文介绍几种比较实数大小的常用方法.

一、运用作商法比较

作商法是指若 m ，n 为任意两个正实数，在比较 m 与n 的大小时，可以先求出 m 与n的商，然后将商与1进行比较.若>1，则有m>n ;若<1，则有 m例1 比较下列各组实数的大小：①与;②与.

分析：上面两组实数均为分式，可以利用作商法比较其大小.

解：①因为÷ = ×7= -

1>1，所以> .

②因为÷ = × =

评注：作商法就是求出两个数的商，然后将商与1进行比较.当两个数都是正数，商大于1时，分子较大，当商小于1时，分母较大;当两个数都是负数时，则结果相反.

二、巧用估算法比较

估算法又可以称为取近似值法.它是指在比较两个实数的大小时，先估算出这两个实数的取值范围，或者取它们的近似值，然后由此进行比较，进而确定这两个实数的大小.

例2比较下列各组中两个实数的大小：①56与65;②7-2 13与113.

分析：这两组含根号的实数较为简单，可以借助估算法进行比较.

解：①因为5 ≈2.236，6 ≈2.249，所以56<0.373，65>0.449，而0.373<0.449，所以56<65.②因为2<7<3，所以7 -2<1，所以7-2 13<113.

评注：对于一些简单的含根号的实数，在比较大小时，可以考虑运用估算法.不过在运用估算法时，还需要牢記一些常用的无理数的近似值，如2 ≈1.414、3 ≈1.732、5≈2.236、6 ≈2.449、7 ≈2.646.在取近似值时，还需要注意使各个数的精确度相同.

三、利用中介值法比较

中介值法是指先找出一个适当的中介值作为桥梁，让需要比较的实数分别与这个中介值进行比较，进而由此比较出两个实数的大小.一般地，若 m>n，n>p，则 m>p;若 m