基于改进谐波小波和分形的碰摩故障诊断研究

宋圣霖，雷文平，郝旺身，陈 宏

（郑州大学振动工程研究所，河南 郑州 450001）

1 引言

时频分析中的小波变换可以有效的处理具有非平稳特征的碰摩信号。D.E.Newland构造出了在频域紧支及简单解析表达式的谐波小波，因其分解算法速度快在工程中得到了应用；文献[1]提出了谐波小波和去趋势波动算法，分析了摩擦信号特征提取的应用；文献[2]提出了改进的谐波小波包峭度谱，能够自适应的从最优频带含噪信号中出提取出故障信息；文献[3]研究了谐波小波包和无环图相关向量机（RVM）的故障诊断算法。

分形几何是由美国数学家Benoit B.Mandelbrot提出的，分形维数是其中的一个重要参数。文献[4]分析了数学形态分形维数（MMFD）和模糊C 均值的滚动轴承性能退化状态识别方法；文献[5]分析了广义分形维数（GFD）和核主成分分析在轴承微弱故障中的提取；文献[6]分析了盒维数的变异性在滚动轴承外圈故障的应用。

综上所述，研究提出了一种改进谐波小波和分形的方法，分析了关联维数在碰摩故障中的识别，改善了传统关联维数和谐波小波分形算法的不足，得出的关联维数在识别碰摩故障中更具有稳定性和区分度，保真性较好。

2 谐波小波变换

谐波小波是复小波，它的时域定义为：

从式（1）可以看出，谐波小波在变换过程中具有相位锁定的功能，可以把信号分解到不同的频带。

谐波小波也可以定义为：

信号x(t)在尺度j下的谐波小波ψm，n(t)的小波变换为：

根据傅里叶变换的性质得：

式中：Wx(m，n，ω)—Wx(m，n，τ)的傅里叶变换；x(ω)—x(t)的傅里叶变换。

作Wx(m，n，ω)的傅里叶逆变换，即可得到尺度j下的信号谐波小波变换。

3 改进谐波小波

谐波小波在频域具有完美的盒型谱特征，克服了常见的db小波、样条小波幅频特性不够好的不足。但谐波小波在时域的紧支性不够好，衰减慢，以及时域产生Gibbs现象。基于此在谐波小波时域中引入高斯包络e-σ2t2，减少时域Gibbs现象以及对故障冲击特征的平滑，结合谐波小波带宽n-m，改进谐波小波表达式如下：

式（5）可以分为：

式中：

式中：包络修正系数k∈[0，1]，决定了改进谐波小波时域衰减速率。4π(n-m)为幅值修正系数。改进的谐波小波仍是复解析小波，近似具有盒型特性，频谱顶部非常平坦，时域紧支性好于谐波小波。

4 G-P关联维数

4.1 关联维数算法

实测的滑动轴承振动信号在一定时域长度下可以采用分形维数来表征信号的不规则度。分形维数中实际应用较多的是GP关联维数，设一维数据序列为x1，x2，…，xN，取前N-(m-1)τ个数据，记n=N-(m-1)τ，其中m为嵌入维数。构成一组相空间量，矩阵表示为：

以Xn×m矩阵中的行向量Xi为重构空间中的点，任意两点之间的空间距离为：

给定一个距离r，检测有多少对距离Sij小于r，并标记其占总数的比例为C(r)。

式中：H(r-si，j)—Heaviside函数：

选取合适的距离r，在无标度区内关联维数D有如下关系：

4.2 关联维数参数的选择

关联维数的大小和时延τ、点数N、嵌入维数m的大小有关，选取实验中的一组数据进行分析。通过计算m=6，N=1024，τ依次为1，2，3，4，5，6 时，关联维数依次为0.8463，0.8225，0.8169，0.8297，0.8390，0.8354。τ的取值为1时关联维数最大，变化趋势接近于τ为1时的值，所以取τ=1。

通过计算m=6，τ=1，N依次为256，512，1024，2048，4096时，关联维数大小依次为0.7990，0.8376，0.8463，0.8821，0.8913。虽然点数的增多会造成计算时间增长，为了保证实验结果的可靠性，N取值为4096。

通过计算τ=1，N=4096，m依次为2到12的关联维数。得出随着嵌入维数的增大，无标度区内直线趋于平行。最终选取嵌入维数m=8。得出图形，如图1所示。

图1 不同嵌入维数的关联维数曲线Fig.1 Correlation Dimension Curves with Different Embedding Dimensions

5 仿真实验

分析Jeffcott 转子的碰摩模型，如图2所示。假设碰摩为弹性变形，摩擦符合库伦定律，设定转子质量m，转子阻尼c，转子定子间隙δ，质量偏心系数u，转子刚度系数k，摩擦系数f，转子径向位移，转子径向刚度系数Kc，轴刚度非线性系数ks。则转子系统的碰摩运动方程可以写为：

图2 碰摩模型Fig.2 Rub-impact Model

设定参数m=4kg，c=1200N·s/m，δ=0.2mm，k=3×106N/m，f=0.3，u=0.06mm，Kc=2×107N/m，ks=3×1011N/m。使用数值积分，得到时域图以及改进谐波小波包第三层分解前3个频带，如图3所示。从图3可以看出改进谐波小波可以提取碰摩的冲击成分，能量主要集中在第三层的近似成分。

图3 仿真结果及小波变换Fig.3 Simulation Results and Wavelet Transform

6 实验验证

为了验证改进谐波小波分解信号后，计算出的关联维数稳定性，在Bently转子实验台进行实验。采样频率fs=2560Hz，转速为1200 r/min，单盘转子左侧使用固定块安装传感器采集正常工况数据，右侧对称安装碰摩螺钉模拟单点碰摩故障，施加不平衡质量2g模拟不平衡导致的碰摩（以下简称耦合故障）。试验设备，如图4所示。对采集到的信号进行频域分析，如图5所示。图5的频谱分析中单点碰摩的1×幅值小于正常的1×幅值，原因是碰摩起到了附加支撑的作用；不平衡产生的碰摩相比较于单点碰摩，1×、2×幅值上升。

图4 Bently实验台Fig.4 Bently Test-Bed

图5的频谱成份都在前100Hz之内，对信号进行改进谐波小波处理（k=0.1），取第三层的近似成分，计算关联维数。随着工况的复杂程度不断增加，关联维数从0.8819 增大到0.9026、0.9176，如图6所示。

图5 三种工况的频谱图Fig.5 Spectrum Diagram of Three Working Conditions

图6 关联维数拟合直线Fig.6 Correlated Dimension Fitting Line

分别对原始信号、谐波小波处理以及改进谐波小波处理的关联维数进行统计，共8组，如表1～表3所示。

从表1到表3可以看出，原始信号的正常和单点碰摩的关联维数区分度不是很好，原因是碰摩故障轻微难以进行特征提取；谐波小波处理信号得到的关联维数对故障的区分度较好，稳定性也得到了提高，但是谐波小波存在时域Gibbs现象，导致对碰摩冲击特征的提取失真较为严重。各工况关联维数增长严重；改进谐波小波引入的高斯包络，改善了时域Gibbs现象的缺点，对冲击特征的平滑较小，得出的关联维数相比谐波小波处理，失真并不严重，关联维数变化不大，并且稳定性也得到提高。结果表明改进谐波小波和分形能够更好的提取碰摩故障的微弱成分。

表1 原始信号关联维数统计Tab.1 Statistics of Original Signal Correlation Dimension

表2 谐波小波关联维数统计Tab.2 Statistics of Harmonic Wavelet Correlation Dimension

表3 改进谐波小波关联维数统计Tab.3 Statistics of Improved Harmonic Wavelet Correlation Dimension

7 结论

原始信号经改进谐波小波处理后，在正常、单点碰摩、不平衡激励的碰摩三种情况下得出的关联维数相比较于传统的关联维数算法稳定性分别提高了29.17%，39.66%，41.03%，相比于谐波小波分别提升了19.05%，16.67%，14.81%。改进谐波小波和分形算法减少了谐波小波在分解与重构中对信号冲击特征的平滑现象s，相比于传统关联维数算法来言区分度更好，相比于谐波小波分形算法来言保真性较好，为后续的早期碰摩故障研究提供了参考依据。