Orlicz混合宽度积分①

2022-06-28 09:55杨林唐孝国谭杨罗淼
关键词:铜仁宽度定理

杨林, 唐孝国, 谭杨, 罗淼

1.铜仁职业技术学院 信息工程学院,贵州 铜仁 554300;2.贵州师范大学 数学科学学院,贵阳 550025

Orlicz-Brunn-Minkowski理论[1-3]基于LpBrunn-Minkowski理论[4]发展而来,在凸体或星体(及其相关的如投影体、 相交体等)的体积、混合体积、仿射表面积、宽度积分及弦长积分等研究目标上建立了Orlicz-Minkowski不等式、Orlicz-Brunn-Minkowski不等式及其他一系列优美的结果[5-11]. 近期关于平面上的凸体或凸曲线的研究可参见文献[12-14].

设K∈Kn的支撑函数h(K,·)为

h(K,u)=max{x·u:x∈K}u∈Sn-1

K的n维体积为

dS(K,u)表示K在u方向上的面积微元,K的宽度函数为

若存在正实数λ,使得b(K,u)=λb(L,u),则称K与L具有相似宽度.

确定.

由Orlicz组合的定义可知

同时建立了一系列不等式,如Orlicz-Aleksandrov-Fenchel不等式和Orlicz Brunn-Minkowski不等式:

文献[14]研究了K1,…,Kn∈Kn的混合宽度积分B(K1,…,Kn),其积分表达式为

(1)

并建立了不等式

(2)

设α,β为非负且不同时为0的实数,文献[10]定义并研究了K,L∈Kn的Orlicz宽度线性加法b(+φ(K,L,α,β),u),

其中

φ(x,y)=φ1(x)+φ2(y)φ1,φ2∈Φ1

由Orlicz宽度线性加法的定义可知

(3)

设K,L∈Kn,φ∈Φ1,0≤i

(4)

同时建立了如下Orlicz Minkowski不等式和Orlicz Brunn-Minkowski不等式:

Orlicz-Minkowski不等式若K,L∈Kn,φ∈Φ1,0≤i

等号成立当且仅当K与L具有相似宽度.

Orlicz Brunn-Minkowski不等式若K,L∈Kn,φ∈Φ2,0≤i

等号成立当且仅当K与L具有相似宽度.

本文在文献[9-10]的启发下,定义了关于K1,…,Kn-1,K,L的Orlicz多元混合宽度积分Bφ(K1,…,Kn-1,K,L),其表达式为

(5)

当K1,…,Kn-1中有n-i-1个与K相等,其余i个为单位球时,(5)式即为公式(4). 本文建立了Orlicz多元混合宽度积分的如下不等式:

定理1若K1,…,Kn-1,K,L∈Kn,φ∈Φ1,则

等号成立当且仅当K与L具有相似宽度.

定理2若K1,…,Kn-1,K,L∈Kn,φ∈Φ2,α,β>0,则

等号成立当且仅当K与L具有相似宽度.

为得到文中结论的证明,需借助以下引理:

引理2若K,L∈Kn,φ=φ(x,y)=φ1(x)+φ2(y),φ1,φ2∈Φ1,则

证由引理1、(3)式及凸函数的性质知

其中

引理3若K1,…,Kn-1,K,L∈Kn,φ∈Φ2,则

证由引理1、 引理2、 (1)式,令

f(u)=b(K1,u) …b(Kn-1,u)

可以得到

由引理3与Bφ(K1,…,Kn-1,K,L)的定义,可得:

引理4设K1,…,Kn-1,K,L∈Kn,φ∈Φ1,则

等号成立当且仅当f(u)=C(a.e.x∈X),其中C为常数.

定理1的证明由引理4、 引理5及(1)式可得

(6)

由引理5不等式等号成立的条件知定理1中不等式等号成立的充要条件为K与L具有相似宽度.

由定理1、不等式(2)以及φ的单调递减性可得:

推论1若K1,…,Kn-1,K,L∈Kn,φ∈Φ1,1≤m

等号成立当且仅当K与L具有相似宽度.

在推论1中令φ(x)=x-p,可得:

推论2若K1,…,Kn-1,K,L∈Kn,1≤m

等号成立当且仅当K与L具有相似宽度.

当推论1中,当m=n-1时,有:

推论3若K1,…,Kn-1,K,L∈Kn,φ∈Φ1,则

等号成立当且仅当K与L具有相似宽度.

定理2的证明由(1),(3)式与引理4,令

C=(K1,…,Kn-1)

可得

整理即得

由定理1不等式等号成立的条件知定理2中不等式等号成立当且仅当K与L具有相似宽度.

由定理2、不等式(2)以及φ的单调性,可得:

推论4若K1,…,Kn-1,K,L∈Kn,φ∈Φ2,1≤m

等号成立当且仅当K与L具有相似宽度.

在定理2中令φ(x,y)=x-p+y-p,得:

推论5若K1,…,Kn-1,K,L∈Kn,p≥1,则

B(K1,…,Kn-1,+p(K,L,1,1))-p≥B(K1,…,Kn-1,K)-p+Bφ(K1,…,Kn-1,L)-p

等号成立当且仅当K与L具有相似宽度.

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