小学说理式数学教学：涵义、类型与应用*

黄晓冬 林英语

(1.泉州师范学院教育科学学院 福建 泉州 362000； 2.晋江市实验小学 福建 晋江 362200)

数学思维是数学学科最本质的特征，这决定了数学教学的核心本质是数学思维的形成、发展与应用。思维活动经验、思维方式、理性思维、数学思考等串起了从“数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验(四基)”到“发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力(四能)”再到“会用数学眼光观察世界、会用数学思维思考世界、会用数学语言表达世界(三会)”这样一条培养学生数学学科核心素养的主线[1]。为此，不少研究对融入数学思维的教学策略进行了探索，提出了诸如思维导图[2]、问题导学[3]等众多策略，其中说理策略[4-5]方兴未艾，并逐步在教学实践应用上显示有效实现“三会”的功效。基于此，本文提出小学说理式数学教学， 重点对其涵义、类型与应用进行学理分析与实践解读， 一是探明其在发展学生数学思维能力、提高学生数学表达能力、促进学生建构数学思想、发展学生数学学科核心素养方面的特质与价值， 二是勾勒出其应用于素养导向的教学实践的模式路线。

一、小学说理式数学教学的涵义

“说理”语出我国西汉扬雄《法言·寡见》的“说理者莫辩乎《春秋》”。今天的理解，“说理”就是“讲明道理”。在我国中小学教育实践境域中，说理常被视为思想政治教育时所采用的主要手段与方式，但往往表现为教师向度的说教、说服与劝导的过程。当从学生向度考虑说理并进入课堂教学时，教学将呈现为一种以逻辑、理据、质疑为基础的分析、评价、论证与共识过程。显然，小学说理式数学教学是一种以学生“说理”作为数学教、学、评核心策略的教学观念或方式。理解小学说理式数学教学有必要从“说”“理”与“数学思维”等方面进行解构与学理分析。

(一)说：数学表达

依照构词法分析，说理为动宾结构组合方式。其中，“说”是行为动词，意为表达，是通过各种语言工具来传达的外在行为表现。理解说理式数学教学之“说”可以从表达主体、表达方式与表达程度三个层面进行剖析。

1.明确“说”的主体——谁来说。教学中“说”的主体可以是教师，可以是学生，也可以是教学环境和教学材料，如音视频、教科书、操作材料等。这里的说理式数学教学，表达主体界定为学生，其受众可以是教师，可以是自我或同伴，也可以是家长或其他成人。以小学生作为说理主体，实质上就是基于教育面向学生发展核心素养的目标对学生学习主体性、主动性与能动性等理念的践行，从而实现由教师讲理到学生说理的转变，由教师“讲与传”向教师“问、导、评”的转变，由“机械接受学习”“浅层学习”向“主动探究学习”“深度学习”的转变，体现“生本”教学生态。通俗理解，转“师说”“师讲”为“生说”，就是“教师所要讲的是由学生说出来的”，这就是自主建构学习。那么，如何让学生成为“说”的主体，并且习以为常呢？一个必要的前提就是让学生“敢说”。这就要求教师要尊重与鼓励学生的表达，要容纳学生的“挑刺”之问，要静候学生的“沉默”之答，要善待学生的“无知”之说。教师既要有“顺风耳”，也要有“逆风耳”，支持“敢说”。

2.选择“说”的工具与方式——怎样说。“说”的工具为语言，可以是日常语言，也可以是数学语言，表现为文字、符号、图形、图表甚至动作等语言形式。“说”的方式与目的，可以有叙述、补充、澄清、争论、论证、证明、质疑等不同形式。在说理式数学教学中，教师要引导、鼓励学生选择与使用不同的“说”的工具和方式，体现“能说”。

3.分清“说”的程度——说得怎样。说理式数学教学由于数学的抽象性以及小学生生活经历、社会文化知识等的局限性，使得说理式数学教学的过程必然是一个复杂的、多态的、渐变的过程，其过程虽是曲折前行，但前进的方向极为明确，就是“用数学思维去思考、用数学语言去表达、用数学观念去理解”。因而，推进小学生学习前行的每一步考验着也质问着教师教学的每一言行，这要求教师的言行要变“以讲带说”为“以问导说”，适时、有效、谨慎地提供与拆除“说”的支架，精心引导学生从“想不到、说不出”到“想出些、说不明”再到“想通了、说透了”，引导学生“有思考地说”“有条理地说”“有理据地说”，实现“会说”。

综上所述，理解小学说理式数学教学之“说”，需对表达主体、表达方式与表达程度进行剖析，并在实践中落实落细“敢说”“能说”与“会说”。

(二)理：数学思维

相对于“说”之外在，“理”显然是说理之内核、之诉求。何谓“理”，普遍地回答就是“道理”。何谓“道理”，从哲学上看，道与理并不同。有学者认为：道是所然，理是所以然；道有多条路径，理则是唯一；理规定一切，道完成一切[6]。依此推之，数学的解题思路与技巧可视为“道”，数学思想、数学思维则为“理”，数学的“道”“理”相通相辅相成，无道则无理，明理则道通。传统的小学数学教学，极为注重解题方法与策略的教学，这是知其然的教学，极容易将数学教学引向解题技巧训练的困局。突出“理”有助于突破技巧训练的桎梏，通过对数学思维的重视，走出一条知其然且知其所以然的教学道路，并通向体会数学、理解数学与应用数学的教学境界。

数学的“理”是抽象的，“理”的形成过程中经验是必要的基础，甚至“理”包括经验之理。正如，在实际情境中，富有经验往往比逻辑能力更高强，也就是说经验中隐含重要的道理，把内隐的经验用起来、说出来，就如同庖丁若能把解牛之经验说出来一样，说着说着就会说出“理”了。关于经验，亦称之为数学活动经验，意指数学经验是数学活动的产物，按不同角度可将其分为动作技能性、认知性、情感体验性与观念性活动经验，过程性和结果性活动经验，内部活动经验与外部活动经验等类型[7]。简单而实用的角度，更倾向将数学活动经验分为“实践的经验”和“思维的经验”[8]。两种经验的积累对于数学学科核心素养的养成至关重要[9]。积累数学活动经验的根本目的在于促使学生形成数学思维模式，即“在观察基础上，从最简单问题入手，逐步猜想和发现，不断检验和修正，感悟问题的核心和问题之间的联系，并学会演绎地证明”[10]45，进而建立一定的数学直觉，能够直觉到数学关系。明确了“理”含有“经验”的成分或初始于“经验”，教学有了从“经验”向“道理”进阶的逻辑主线，这样的教学才能真正达成“悟道理”。比如，小学数学中分数乘法的学习是基于数形结合活动经验的思考与整数乘法经验的类推，并在此基础上加深乘法是“求几个相同加数的和的简便运算”的本质性认识，形成“乘法模型”思想与思维。

“理”基于经验，而经验源于活动，因此理的形成过程要重视“问题提出、问题解决”等数学活动的设计。相关研究指出，问题提出与问题解决互为相关，而能否提出具有思考性、探究性和价值性的数学问题，在一定程度上受限于问题提出情境的刺激[11]。好的情境产生合理的问题，好的活动积累好的经验，进而有助于“理”的孕生。可见，情境创设了“理”产生的场域，给定了“理”发展的条件。数学的情境主要是指现实情境、数学情境、科学情境，每种情境还可分为熟悉的情境、关联的情境、综合的情境[1]。各种情境各有其意涵：现实情境取向生活真实，关注习常，意在从生活、生产、生态之现象和常理抽象出数学之理，从而“通理”“识理”；数学情境取向学科真实，突出“异常”，利于探求本原与学会融通，从而“穷理”“明理”；科学情境取向自然与社会真实，体现数学在自然、社会研究中的应用，从而“悟理”“用理”。数学教学可以是某类情境的使用，也可以是多种情境的联用，形成符合逻辑与认知顺序的情境串，使“理”孕育于合适的情境之中。

(三)说理式数学教学：以发展与应用数学思维为核心

基于上述对“说”与“理”的分析，说理式数学教学就是以生产生活、社会、自然与数学情境等为语境，以生活现象、数学知识、数学活动经验、数据信息等为依据，用数学语言工具(实物操作、文字语言、符号语言和图形语言)，通过求实、逻辑、建模、批判、质疑等理性思维形式来“说”解题策略及依据，“说”思路与方法，“说”规则发现与应用，从而把握数学本质、整体与联系的理性思维建构与表达过程。

数学是一门思维的科学，数学的诞生与发展依靠思维的研究与发展。那么，当观察一种现象、发现一个问题时，数学家是怎么思考的呢？分析数学家的创造过程发现：其过程一般可以表述为“准备(观察、分类比较、归纳概括、类比等)、酝酿(联想)、顿悟(领悟本质)、整理(数学表达、证明等)”[9]26。在这个过程中，表现并发展出数学抽象、数学推理、数学模型、形象思维、计算思维、数据思维等多种思维形式。其中，数学抽象、数学推理、数学模型被视为当前数学学科核心素养的三个基本要素，对应于“三会”[12]。因此，引导学生像数学家一样思考，学会与发展数学思维是培养学生数学学科核心素养与“三会”的核心要求。而说理式数学教学的“有思考地说”“有条理地说”“有理据地说”“按经验说”“按道理说”“说出道理”等无不关联着数学思维的发展与应用，数学思维显然应是说理式数学教学的核心。

二、小学说理式数学教学的类型

按不同维度，小学说理式数学教学可分为不同的类型。根据互动方式，大体上可分为班级集体学习的师生对话式说理、小组合作学习的生生对话式说理、个别学习的自述式说理。根据说理所采用的材料，可分为以据说理(以事实证据进行合情表达)，以知说理(以观念、概念、原理、法则等进行演绎表达)，以史说理(以数学史作为线索进行引证表达)等。根据教学设计与实施流程，还可分为课前说理、课中说理、课后说理。“美国学者莱许(R.Lesh)等所指出的：‘实物操作只是数学概念发展的一个方面，其他的表述方式——如图像、书面语言、符号语言、现实情景等——同样也发挥了十分重要的作用。’”[13]31本文参照莱许的观点，将说理按表述方式大体分为操作式说理、图像式说理、符号式说理、文字式说理与应用式说理(突出现实情境)。

(一)操作式说理

皮亚杰的认知发展阶段论指出，7至11岁的小学生处于具体运算阶段，思维以形象思维为主。而按感觉通道的不同，学习类型可以分为视觉型、听觉型与动觉型学习。对于动觉型学习或形象思维优势的学生，“做中学”是他们获得进步的有效方法。在小学说理式数学教学中，对这类学生宜采取操作式说理，让他们操作学具、摆弄实物，在与学具的互动中多感官收集信息，积累活动经验，经历“动脑想、动手做、动口说”的过程，从而识理、明理与悟理。比如，凑十法的加法教学，可以让小学生进行学具“小棒”的操作，并鼓励学生边操作边有理有据地表达。实际上，从经验到理的过程，操作式说理对发展学生数学思维的作用不可忽视。

(二)图像式说理

对于低龄小学生而言，数学学习过程往往需要从实物到图像图形再到符号的过程。图像与图形不仅具有直观性，而且能剥离一些非数学信息，概要地描述数学现象、过程与规律，是发展小学生运用数学符号表达的有效中介。因此，在不同版本的小学数学教材中图像图形情境广为运用。图像式说理首先引导学生用自己喜欢的方式(画图、绘表)表达题意，然后观察图表，运用几何直观、逻辑辨析及转化等发现数学关系，最后以自己擅长的方式进行说理。比如，“200本书，放2个书柜，每个书柜有4层，平均每层放几本？”这样的题目可引导学生画出书柜图形进行观察与思考，借助图解说出算术平均数的涵义与应用。

(三)符号式说理

数字、运算符号等是数学的抽象语言。符号式说理以数学抽象语言为表达方式，用数字、字母、运算符号等将文字、图像信息符号化，进而用算式、等式等表征关系，学生通过分析、比较、评价各算式、等式与解法，从而理解数学概念，发现数学法则，领悟数学本质与思想。比如，“故事书比科技书多1/4，如果科技书有40本，那么故事书有多少本；反之，故事书比科技书少1/4，如果科技书有40本，那么故事书有多少本？”这样的题目可以要求学生列出算式进行比较分析，概括总结出相应的数学规律。若将较为直观的图像式说理与较为抽象的符号式说理相结合，则生成“数形结合”说理，这种说理方式对于发展小学生的数形结合思想，增强小学生的数学直观想象和数学抽象思维能力大有裨益。

(四)文字式说理

随着学习的推进，小学生积累的语言文字与数学词汇也越来越丰富，这使得文字式说理成为可能。文字式说理以口头语言、书面语言为表达形式，突出“动脑想、动口说、动手写”，适用于课中交流、课后检测。比如，在大量异分母分数相加减的习题练习后，问学生“异分母分数相加减时，你是怎样思考的，有什么发现吗”，进一步引导学生明其算理、悟其道理，从而将具体的知识联结起来，并指向核心观念。在文字式说理中，要注重对学生进行简约化、逻辑性以及结构化表达的指导。概念图、思维导图方式的文字式说理可以从小培养，并使之逐渐成为主流形式，因为这样的表达更需要学生整合、联络知识，有利于发展学生系统性、条理性与逻辑性思维，并以知识的关联化实现学生认知的结构化。

(五)应用式说理

数学应用体现数学的工具价值。应用式说理着眼于数学在情境中的应用，嵌入了对数学文化的理解。这里的情境界定为现实情境，通过情境提出非良构的真实问题，让学生不仅能应用数学观念、数学工具、数学思维去分析，而且会结合生活、社会、环境等常理综合考虑，从而将生活之理与数学之理融通。这种说理类型由于直接面向真实问题，不仅有利于培养学生综合运用多学科、多领域知识与方法解决问题的能力，学会合情合理思维，而且能加深学生对数学与自然、科技、生活、社会等关系的理解，发展学生STEM(科学、技术、工程、数学的简称)素养。比如，“A加油站油价5.5元/升，B加油站油价6.0元/升，住所离A加油站10公里，离B加油站8公里，从住所开车(该车每百公里油耗为5升)出发加40升油，加完油后立即原路返回，请问去哪个加油站加油合算呢？”这样的问题不仅是数学问题，而且是“超数学”问题，它除了和数学紧密相关，还和对交通情况、时间成本的认识，甚至与环保观均有关联。思考与解决这样的现实情境问题显然是基于数学但又高于数学，不仅指向数学应用，更指向理性文化的培育。

三、小学说理式数学教学的应用

教学作为一个系统，包括教学前、教学中、教学后三个不同时空。显然，不同时空有不同的意旨，基于“教学评一致”的观点，教学前旨在确定“从哪里出发”“到哪里去”，教学中重在解决与落实“怎么学”“怎么到那里”，教学后则关注“是否到了那里”。设计与实施小学数学教学时，可将不同说理类型应用于教学前、教学中、教学后，并使之成为一个说理式数学教学模型，如图1所示。

图1 说理式数学教学模型

(一)教学前说理：诊断学情与翻转预学

在数学教学前开展说理，就是让学生应用生活常理或已有认知去尝试“说一说”“写一写”“画一画”，其作用有两方面：一是暴露前概念或错念，发现学生的认知能力水平，以确定教学出发点与可能性，体现为诊断性评价。例如，“分数加法”一课，在教学前可布置诸如“9+7=○，5/9+3/7=○”等题目的诊学单，进行诊断性测评，要求学生应用文字式说理写出“我是这么想的”，从中了解学生的已知、能知、未知、难知与错知，从而使教学目标、教学重难点的确定能基于微观的学情诊断而达到精准化。二是发挥课前预学作用，使学生带着内在动力(好奇心与求知欲)、问题思考、初步经验进入课堂教学，体现为翻转性学习。比如，采取“分数加法”微课结合预学单的形式，在预学单设置“我也来说说，我是这样想的”“我知道了，我不知道，我想知道”等问题，让学生课前观看微课与提出疑惑，以此调动学生的已有知识，唤起其学习需求，补充其学习经验，为随后的教学提供方向与支架，从而提高课堂40分钟的教学效率与学习质量。

(二)教学中说理：讲理致知与明理致用

课堂是说理应用的主阵地。融入说理的数学课堂，要在目标、流程、过程、评价等方面全方位嵌入，实现以理生问，讲理致知与明理致用。

1.教学目标要向“理”。课堂教学中要将教学目标指向学科核心素养的培养，凸显学科本质、学科结构和学科情境[14]，将核心观念、关键能力、必备品质等素养要素具体化、明确化、结构化，突出将“数学抽象、数学推理、数学模型”[15]三大关键思维能力渗透于教学各环节，使之成为教学目标的核心。

2.教学流程要显“理”。课堂中教师要建立一条明晰的“情境—问题—探道—明理—达知—致用”的教学路径，形成“情境—问题”“探道—明理”“达知—致用”三大学习环节，并以导学单、问学单等驱动学习进程。“情境—问题”环节聚焦于问题提出，着眼于让学生“想知道”，为此，强调真实情境(现实情境、数学情境、科学情境)将数学的“理”条件化、背景化，让教学内容变得有温度、有情感[16]，也让学生知道问题“从何而来”“指向何方”，使教学流程有“基点”“生长点”与“指向性”。“探道—明理”环节聚焦于问题解决，着眼于让学生“想办法”“讲道理”，探道在于知其然，即让学生掌握解题策略与方法，明理在于知其所以然，即培养学生数学思维与思想，这是提升能力的环节，也是说理的重要环节。例如，设计现实情境引出“同分母分数相加要怎么计算，异分母分数相加又要怎么计算”的问题，引导学生通过导学单中的“分一分”“折一折”“涂一涂”等操作积累经验，通过问学单“你是怎么想的”“你有什么发现”，让学生联系整数加法、小数加法的已知，应用数形结合，运用类比与归纳推理等发现与说出分数加法的算理。这一环节的说理遵循着“从操作式说理到图像式说理再到符号式说理”的认知逻辑，体现从具体形象说理到逻辑抽象说理的发展，实现说理从经验化到数学化的进阶。“达知—致用”环节聚焦于问题解释，着眼于让学生“知道了”“可以用在哪”，即长见识、悟道理，自主建构核心观念，形成思维模型，并能将其应用于具体情境与迁移到其他情境中，以实现教学内容的“有意义”与“有用”。

3.教学过程要有“理”。课堂中教师要设计能引发学生提问、质疑、论证、评价、创新的“情境链”“问题链”，要突出师生互动、生生互动、团队互动，根据教学进程与活动意图灵活运用多种互动工具。如教师发起“你为什么这样做呢?说说你的理由”“你是怎么想的?说说你的思考”等对话，扩展“这样能行吗”“有没有问题”“能补充说明一下吗”“说说你的依据”“这些依据可靠吗”“换个角度或方式可以怎么说”等对话，用“能总结一下你的想法吗”“发现了什么规则”“还能用在哪”等结束对话。这些互动工具很好地体现了学习性评价的理念与作法，能有效推进思考进阶，使得“说着说着就有理了”，从而将说理式数学教学引出思维的深度与引向数学的高度。教师要善用教学组织形式，注重个别教学、小组合作与班级共学等教学组织形式在不同教学环节中的合理应用，在“情境—问题”“达知—致用”等环节适宜以个别教学与班级共学进行，“探道—明理”环节则注重个别教学、同桌互助与小组合作，加强“组内说理、组间评理”的尝试，让“理”在多说、多议、多评中越来越明晰。

4.教学评价要促“理”。教师要适时有效运用多种评价技术促进学生说理，通过学习性评价促进学生的学习，通过积极性评价激发学生学习热情，善用点赞、激励与赏识等方式支持与驱动学生情感，如“说错了，也有价值”“说得很有条理”“说得很在理”“这个思考很独特”“这个总结很数学”“说到本质上了”等等，落实以情优学。教师还要通过反思性评价引导学生改进学习，如通过“其他同学的说理有什么优点，对你有什么帮助”“说理时，你想给其他同学提哪些建议”等反思与他评方式提升学生学习能力，实现以变促学。

(三)教学后说理：拓展学习与质量检测

从目标与内容来看，教学后说理主要包括对课堂教学内容的巩固拓展和对课堂学习质量水平的检测两个方面。

1.在学习巩固与拓展方面，可采取拓展学习单实施说理。

(1)“说理”讲师团说理。结合当天教学内容或作业中的某些习题，学生小讲师提前把录制并经教师审核好的“说理”视频上传到班级QQ群、公众号等，通过每日一讲的线上“说理”，让学生随时随地泛在化学习，小讲师还相应承担线下为同学释疑解惑的任务。通过线上与线下混合说理，有效延伸以说理促全体学生思维发展的时空。

(2)学习共同体说理。根据性别、能力、兴趣等异质分组组建3～6人的学习共同体，建立共同体规约，以共同体的“错题本”为依托，“优带差、强扶弱、对帮错”，学习共同体自主分析“错题”缘由，解说解题思路与依据，挖掘并发挥“说理”，发展学生数学思维、数学建模能力、数据分析能力、数学运算能力、数学交流与沟通能力[17]。

(3)题例式视频说理。打通家校合作渠道，引导教师、家长、学生合作，根据某个“理”居家制作题例式解读，做成相应的视频，形成共享的“说理式数学教学”资源库，并以学生的“自主说”发展思维的深刻性，“个性说”发展思维的独创性。

(4)大单元整体说理。所谓大单元，是上接学科核心素养，以能起统率作用的“大”的观念、能力组织而成的学习单位。例如，加法模型作为一个大单元的主题可整合“整数加法、小数加法、分数加法”等章节。融通已知与新知进行大单元整体说理，有利于培养学生归纳、概括思维，形成数学思想，领悟数学本质。

学生的学科核心素养、思维能力培养并非一堂课就可以达成，需要长期的累积，积极的体验。从这个意义上看，坚持拓展教学后的多种说理活动，对学生形成数学思维、提升思维品质与增进数学理解是一个重要的补充，也是“双减”背景下数学作业实践化、项目化的一种有益尝试。

2.在学习质量水平的检测方面，可用评学单开展说理式测评[18]。在作业习题、纸笔测验、活动评价上融入说理设计。例如，在作业习题、纸笔测验上，增加文字式说理、图像式说理、符号式说理的设问，以“我的理由是……”“我是这样想的”“我能用图表说明”等句式要求学生“说理”，绘出“数形结合”的析题、解题思路来体现“说理”。又如，采取应用式说理进行现实情境化命题，依核心素养，按年级序列化，定期开展说理现场展评活动，并制定相应的说理评价表进行表现性评价，实现学生的数学思维可视、数学能力可见、数学素养可测。

四、结语

促进学生数学思维发展，是数学学科核心素养培养的重要内容[19]。相比于其他教学主张与模式，说理式数学教学突出以思维为核心，强调基于情境的核心问题提出、层级分析与探究驱动，通过“说”的探究与交流过程来促进学生数学思考、数学思维、数学思想的发展与应用，这显然有利于推动学生数学学科核心素养的形成与发展。设计与实施数学教学时，将不同表达方式的说理类型与教学内容、学生学习优势相匹配，并有效应用于教学前、教学中、教学后一体化的说理式数学教学模型之中，使数学教学彰显出目标内容方法的整体性与关联化、学习过程的探究性与思维可视化、教学评一致的结构性与全程化、面向学生的通用性与个性化等诸多特点。后续的研究中，有待基于小学说理式数学教学模型发展出不同的变式与流程，并设计可行有效的“说理”评价量规，以此导航说理的过程、检验说理的质量；有待聚焦大概念、关键能力与社会责任进行素养化的整体性说理活动设计，探索出促进小学数学教学高质量发展的新路径。