基于声场辐射的铝板冲击载荷信号反演

蔡宇航， 梁 栋， 姜学平， 郭文杰

(河海大学 信息学部 物联网工程学院，江苏 南京 211100)

机械设备在使用过程中会受到载荷，这使其结构可能逐渐产生各种形式的损伤。如果不能在早期采取正确的应对措施，就可能导致设备损坏，甚至造成人员伤亡。结构健康监测能够及时发现结构因载荷冲击引起的损伤，并产生报警。准确获取载荷冲击信号是整个结构健康监测工作的开始，是确保结构健康监测准确性的基础。

传统的结构健康监测系统首先要在结构上或结构内布置压电传感器网络，然后通过对采集到的Lamb波信号进行处理和分析，便可以得到结构的相关信息[1]。然而，在一些较小的、承重能力较弱的结构中嵌入传感器非常不切实际。在一些大型结构中，需要的传感器数量会非常多，对设备的要求很高。在现场应用中，当被监测的结构形状比较复杂时，多种模态的Lamb 波信号容易相互叠加，给后期信号分析带来较大难度[2]。

声辐射模态理论是从20世纪90年代出现并逐渐发展完善起来的。Cunefare等[3]首次提出了有关声辐射模态的概念。声辐射模态法在研究外部声辐射问题中具有突出优点，解决了结构模态中复杂的耦合项带来的计算难题。之后Elliott等[4]根据声辐射模态法，得出弹性结构的总辐射模态功率可以看作是有限个辐射模态的叠加的结论，即声模态叠加法。近些年，西北工业大学的陈克安等[5]提出了利用近场声压估算结构声辐射功率的方法，将分布式平面声源用于对结构声辐射有源控制。

近场声全息(Near-Field Acoustic Holography，NAH)技术是一种先进的噪声源识别技术。20世纪 80 年代初期，Williams等[6]提出基于空间傅里叶变换的近场声全息技术。该方法通过在声源近场获取复声压信息，然后利用二维空间傅里叶变换将其转换到波数域并通过求逆等运算得到对应的声场分布，最后通过二维傅里叶逆变换重建出任意位置的声压、振速等信息。2009 年，Park等[7]利用时域近场声全息技术实现了空间复包络的可视化。2010 年，Thomas等[8]针对非稳态声场提出了实时近场声全息技术，实现了直接在时域内对瞬态声场进行重建，不再需要任何频域变换。

本文将声模态叠加法与近场声全息技术相结合，用声辐射的正问题和逆问题的内在联系来探讨冲击载荷撞击简支薄板产生的辐射声场。通过研究声辐射在结构健康监测中运用的可行性，为在结构健康监测中获取载荷冲击信号提供了一种新思路。

1 声场辐射与反演原理

1.1 简支薄板振动的固有频率

声辐射模态指出，任何辐射体的表面法向速度都可以由若干辐射模态的线性组合来表示，且辐射模态与辐射体的本身材料性质无关，只与它的几何形状和振动频率有关[9]。通过该理论可以计算简支薄板表面的法向速度进而获取简支薄板外部辐射声场。

本文采用铝板结构作为研究对象，设简支薄板为铝板，其密度ρ为2720 kg/m3，弹性模量E为70 GPa，泊松比v为3.3，薄板长Lx为1 m、宽Ly为1 m、厚度h为0.002 m。此时，平板在厚度方向的应力为常数，所以可以使用平板中心面的位移作为整个板的位移。取一个弹性微元作为受力分析的对象，可以得到平板的自由振动微分方程为[10]

(1)

(2)

(3)

在满足板的状态为简支的条件下，可得到薄板固有频率为

(4)

与之相对应的固有振型函数为

(5)

1.2 基于声模态叠加法的简支薄板辐射声场

设薄板受到外部冲击载荷的激励力产生辐射声场，则简支薄板振动的法向速度为

(6)

式中：Amn为模态速度;Φmn(x,y)为第(m,n)阶模态的模态振型函数，代表结构在该振型下表面振速的分布情况。上述简支薄板固有频率的对应模态振型函数为

(7)

式中：i为虚数单位；ω为激励力频率。

如果一个点力作用于简支薄板的(x0,y0)处，可得到由外部激励力引起的模态速度为

(8)

式中：βmn为模态阻尼系数；m、n分别为沿x、y方向的结构模态数；(x0,y0)为激励力作用位置；fp为激励力的幅值。

声场中任意一点的复声压值等于薄板振动产生的声辐射对该点声压贡献的积分，以薄板表面为坐标面，建立球坐标系。由Rayleigh积分公式[11]在球坐标系下的应用可得薄板外部辐射声场的任意一点复声压为

(9)

将式(6)代入式(9)中，积分后可得：

(10)

式(10)为基于声模态叠加法的简支薄板外部辐射声压理论值。

根据上述原理，薄板受到的冲击力与薄板产生的辐射声场存在联系。在一定条件下，可根据冲击力推算薄板的外部辐射声场，也可根据外部辐射声场反演薄板受到的冲击力的信息。

1.3 基于近场声全息的反演声场

近场声全息技术通过测量靠近辐射源表面的辐射声场，可以计算出辐射源表面的高分辨率的声压分布或振动强度分布以及其他物理信息[12]。针对本文讨论的简支薄板，平面近场声全息技术具有良好的适用性。

平面近场声全息技术是对声源表面附近的一块二维平面区域进行声场测量，然后通过算法实现对其他面上声场的重建[13]。以声源表面为平面，建立与之平行的全息测量面H，重建面S，其原理示意图如图1所示。

图1 平面近场声全息技术原理示意图

当z0≤zS≤zH时，为逆向重建声场；当z0≤zH≤zS时，为正向重建声场。

简支薄板外部辐射声场在空气中传播，假定它为理想流体，由在开阔空间内的有限结构表面振动及其外部辐射声场的波动方程，可以得到不依赖于时间变量的稳态声场的Helmholtz方程：

(11)

此时，引入满足Helmholtz方程且满足要求的任意格林函数g，可得球坐标系下任意一点的复声压计算公式为

(12)

在Dirichlet边界条件下，式(12)可简化为

(13)

考虑到测量数据的有限性和卷积计算的复杂性，通常还需对式(13)进行离散化处理并进行二维傅里叶变换，最终得到公式：

(14)

式中:p(xs,ys,zs)为重建面的声压值分布;P(kx,ky,zH)为测量面上的声压值在波数域的分布;GD(kx,ky,zH-zs)为波数域空间上的格林函数。

综上，在选取合适的测量区域后，只需获取该平面区域内的部分声场信息就能得到整个辐射空间的全局声场信息，进而获取声源的信息。

2 载荷冲击信号的反演

2.1 简单正弦波信号的反演

为了探讨近场声全息技术在反演冲击载荷信息上的可行性，可以选取一些简单的激励信号作为载荷对铝板的冲击力[14]。下面选取一个两个周期幅值不同的正弦波信号作为讨论对象。取该激励信号第一周期幅值Fp1=2 N，第二周期幅值为Fp2=1 N，激励频率为f=100 Hz，即：

(15)

以铝板表面平面为z0=0建立空间坐标系，选择一个顶点为原点，两条边分别为x轴和y轴。设荷载冲击点为(0.5 m,0.5 m)，全息面位于zH=0.1 m的平面上，尺寸为1 m×1 m;采样点数Nx×Ny为40×40，采样间隔d为0.025 m。考虑声场重建的正逆重建问题，取两个重建距离相等的正逆重建面，为了保证精确度，选取较小的重建距离，分别选取zS=0.075 m和zS=0.125 m两个重建面。用MATLAB分别对两个重建面进行仿真后得到声压分布，如图2所示。

图2 不同重建距离下的声场重建图

由图2可以看出，声压重建值与原信号幅值呈正相关，将所得重建幅值与原信号幅值进行对比分析，如表1所示。

表1 正弦波信号重建信号幅值对比 单位：N

可以看到，正向重建的声压值略低于原激励信号，而逆向重建的反演信号与之相反，略高于原激励信号。由于正向重建和逆向重建两种不同重建方式的选取所带来的两种截然相反的误差趋势，考虑将两种不同重建方式的反演信号结合起来进行修正，取两种方式所得反演信号的平均值作为最终反演信号。修正前与修正后的反演信号与原信号的对比结果如图3和图4所示。

图3 反演信号与原信号对比图

图4 修正反演信号与原信号对比图

如图4所示，修正后的反演信号波形已经非常接近原激励信号，反演结果较为精确，但逆向重建过程中所产生的边缘误差问题仍然存在，导致反演信号幅值略高于原激励信号幅值。

不同重建方式下过采样中心点的Nx轴采样点的反演信号幅值与原信号幅值的误差对比如图5所示。

由图5可以看到，在逆向重建过程中，边缘部分的误差较大，而正向重建中的误差则较为平稳。采用正逆向重建结合的方法得出的平均幅值误差整体较原先有所减小。由表1可以算出正向重建幅值误差约为6.7%，逆向重建幅值误差约为12.1%，正逆向结合的重建平均幅值误差约为2.7%。可以验证正逆向重建结合的方法反演出来的信号幅值更加精确的结论。

图5 不同重建方法下的Nx轴采样点的反演信号幅值误差图

2.2 以五周期正弦波信号为载荷冲击的信号反演

在现实情况中，冲击载荷的信号往往比较复杂，以下取五周期正弦波信号[15]作为载荷冲击激励信号验证2.1节中的信号反演方法是否可行。五周期正弦波信号为

(16)

式中:f为激励频率;A为信号平均幅值。取f=100 Hz;A=2，则五周期正弦波信号波形图如图6所示。

图6 五周期正弦波信号波形图

由图6可以看到，该信号可以近似于10个半波正弦信号的组合。尝试将该信号分为10个单独部分,分别对其进行声场的模拟和重建工作并进行信号反演。在求得10个单独部分的反演信号幅值后，就可以得到一个反演信号的平均幅值，最后根据所得到的反演信号平均幅值就可以得到一个反演信号的波形。根据2.1节内容，选取用正向重建和逆向重建相结合的方式，共同反演信号，并使用与2.1节相同的反演参数，得到载荷冲击信号与重建信号幅值对比，如表2所示。

由于采样点选取的影响，仿真中的原信号幅值与理论值存在微小误差，在此误差的前提下，由表2可算出不同重建方法下的平均重建幅值误差。正向重建平均幅值误差约为6.7%，逆向重建平均幅值误差约为12.1%，使用正逆向重建结合的方法修正后的平均幅值误差约为2.7%，与2.1节所求的误差约值相等。通常，10%以内误差可认为反演信号具有较高的识别精度[16]。

表2 载荷冲击信号与重建信号与幅值对比表 单位：N

不同重建方法下五周期正弦波信号的反演幅值误差对比如图7所示。

图7 不同重建方法下的五周期正弦波重建幅值误差图

利用修正后求得的信号幅值可以得到反演信号波形，如图8所示。

图8 五周期正弦波反演信号与原信号对比图

由图8可以看出，反演信号与原信号基本重合，精确度较高。但由格林函数辐射圆外所带来的逆向重建边缘误差仍然存在，由此造成了反演信号幅值略高于原信号的问题。

3 结束语

以铝板结构作为研究对象，从载荷冲击简支薄板产生的外部辐射声场入手开展研究。通过辐射模态理论建立简支薄板的外部辐射声场，再结合近场声全息技术反演声场，实现了对简支薄板上冲击信号的反演。选取简单正弦波信号与五周期正弦波信号进行仿真，得到精度较高的反演冲击信号。

讨论了用声辐射问题在结构健康监测中获取结构响应的可行性。通过对载荷冲击信号的声场进行反演，实现对其冲击特性的监测，根据结构所受冲击部位，并结合结构自身特性，为判定结构是否受损及确定受损程度提供参考。