研究生弹性力学与有限元课程案例教学模式探析*

范俊锴 原永亮

摘  要  研究生专业课程建设以及教学模式的优化是保证研究生培养质量的重要途径。对于工科研究生，特别是机械、土木等专业研究生来说，弹性力学与有限元是其主干必修课程。该门课程具有理论性强、交叉知识点多和专业基础要求高的特点，传统的授课方法难以取得良好的教学效果。案例教学突破了传统教学中以教为主的教学思路，通过课程案例将抽象理论具体化，且能够实现教师与学生的双向交流，为解决该课程的教学难题提供新的思路。对案例教学在研究生弹性力学与有限元课程教学中的应用进行剖析，并通过具体案例验证案例教学在该课程中的优势。与课程教学内容和研究生培养目标相匹配，提出该课程的案例库建设思路和具体案例构成，对于提升教学质量具有重要意义。

关键词  弹性力学与有限元；案例教学模式；研究生；案例库

中图分类号：G643.2    文献标识码：B

文章编号：1671-489X（2022）22-0093-05

0  引言

当前我国研究生教育高速发展，研究生招生人数逐年提升，如何有效保证研究生教学质量，提高学生对于专业知识的理解吸收以服务于后期科研能力的培养，成为研究生教育中的重点内容。

弹性力学与有限元是当前机械类研究生的主干课程，与研究生后期的科研紧密相连。该课程综合了弹性力学与有限元两部分内容，它们之间既有紧密的联系，也有很大的区别：弹性力学主要基于各种假设条件和力学模型而得到解析解，侧重培养学生构建力学模型的能力；有限元则基于数值计算方法获得所求解问题的数值解，侧重培养学生对于具体问题的数值求解能力。

弹性力学和有限元综合了以上两部分内容的特点，具有理论性强、交叉知识点多和抽象化的教学难题。针对该课程的特点，目前已经提出可视化教学[1]、课程论文[2]、参与式教学[3]等教学模式，但对于研究生的课程教学模式探索还鲜有涉及。

案例教学模式最早被应用于商业教学中[4]，由于其能够改变传统的教师单向将知识传授给学生的方式，使学生在真实的情境中开拓思维能力，提升创新意识[5-6]，与研究生的课程培养目标高度契合，近年来在工科研究生教学中受到高度关注。例如：王洪生[7]分析了当前我国专业学位研究生课程教学中的不足，并提出研究生课程案例教学的实施思路和注意事项；王家忠等[8]针对机械工程专业硕士研究生案例教学中出现的矛盾和问题，提出相应的解决方法；魏昕蓉[9]围绕研究生案例教学模式，从案例教学模式构成要素、作用机理、存在问题和改进措施等多个角度进行研究。2015年，教育部[10]在借鉴国外先进经验的基础上明确指出：加强案例教学，是强化专业学位研究生实践能力培养，推进教学改革，促进教学与实践有机融合的重要途径，是推动专业学位研究生培养模式改革的重要手段。

从教学实践出发，基于机械类研究生的专业基础能力，探究通过案例教学模式来解决教学中存在的问题，通过具体案例来说明案例教学在本门课程教学中的具体应用方法和效果，并提出与该课程理论教学相配套的案例库建设思路，对于提升本门课程的教学质量具有重要的指导作用。

1  课程教学现状及存在的问题

弹性力学与有限元具有理论性强的特点，课程教学中涉及大量的概念、公式推导，内容抽象化强，要求学生具有较强的力学理论和数学基础。在传统的教学模式下，学生对于一些概念和公式的应用场景模糊，难以建立明确的课程知识体系。随着近年来研究生招生规模的扩大，研究生的理论基础总体上呈现出下降的趋势，许多学生存在科研成绩高，但本科知识体系弱、理论基础差的特点。这些因素进一步加剧了该课程培养目标与传统教学方式之间的矛盾。

在课程内容上，弹性力学与有限元涵盖了弹性力学和有限单元法两部分主体内容，这两部分内容既存在联系也存在差别。对于一个具体的工程问题，弹性力学为构建模型的力学基础，而有限元为求解该力学模型的有效工具，两者之间存在紧密的关联。目前，国内关于弹性力学与有限元的教材较少，且普遍采用弹性力学在前、有限元在后的教材内部排布方式，割裂了两者之间的联系。在课程目标上，弹性力学与有限元应以培养学生解决具体的工程问题能力为教学目标，而现有的课程内容安排和教学模式均难以达到教学预期。如图1所示，目前该课程在教学中存在的问题主要表现在四个方面：

1）部分研究生基础较为薄弱，对于抽象的力学模型难以理解和重构，弹性力学理论性强的特点导致学生缺少学习兴趣；

2）对于研究生来说，本课程教学的首要目的是能够将所学内容应用于具体的问题分析中，但传统以理论为主的教学模式割裂了所学内容与实际问题之间的联系；

3）学生对于有限元软件学习兴趣高，但多是根据相关指导材料的按步操作，对于操作背后的理论知识不甚了解；

4）由于力学理论基础薄弱，学生在有限元分析结果合理性判定方面能力较弱。

近年来的案例教学方法为解决以上问题提供了新的思路：在一个具体的工程案例下，通过对具体问题的解析，可以有效地将弹性力学知识和有限元技术有效结合起来，且弹性力学解析解和有限元数值解之间可以相互印证，从而进一步加深学生对课程内容的理解，激发学生的学习兴趣。

2  案例教学模式的应用解析

对于弹性力学与有限元课程来说，采用案例教学模式就是要打破传统的两部分内容割裂的组织架构，在具体的工程案例中将两者有效地统一起来。在教学目标上，弹性力学部分着重于基础理论的推演和对有限元基础理论的构建，有限元部分则通过结果可视化特点深化对力学概念和基础理论应用逻辑的认识，进而构成闭环的课程目标体系，如图2所示。在课堂教学中，首先采用传统的教学模式引入课程内容，而后通过具体的工程案例引导学生使用相关知识点进行分析和求解，所引入工程案例的重点和难点要与所讲授的课程内容高度重合，以提升学生对知识点理论和应用场景的理解。在教学安排上，通过分组讨论的形式，让学生之间、学生与教师之间对于相关知识点进行深入交流，加深对于关键知识点的理解。

以弹性力学中的圣维南原理为例，该原理是力学模型中边界条件简化的一种重要方法，但其使用需要满足特定的模型条件。同时，该原理目前尚没有有效的理论证明，仅为力学问题的文字描述，在传统教学模式下很难使学生有清晰的理解。针对该部分内容，采用案例教学的形式，充分利用有限元的结果可视化特征，能够实现良好的教学效果。

在教材中，圣维南原理一般表述为：如果作用在弹性体一小块表面上的力被作用于同一块表面上的静力等效力系替代，这种替换仅使局部表面产生显著的应力变化，而在比应力变化表面的线性尺寸更远的地方，其影响可忽略不计。依据该原理的文字描述，可建立图3所示三个对照有限元案例模型。三个有限元模型的左端均采用对称边界条件，而右端则分别采用均布力、抛物线变化力和集中力，但右端力的总和相等。有限元分析云图结果直观地表明，虽然三个模型右端力的形式不同，但模型中间位置的圆孔周围应力相同。模型右端不同力学形式的影响仅集中在模型右端一个有限的区域内。进一步提取模型位移场的流线结果，可以更加直观地看到模型右端载荷在模型内部的均匀化过程。

通过该案例，圣维南定理的有效性和适用条件得以直观展现，通过分组讨论和相互交流，加强学生对该原理的理解。同时，有限元结果可视化的特点可以激发学生的学习兴趣，有效保证教学效果。

3  课程案例库建设路径

建立教学案例库是案例教学的核心内容，所选择的教学案例必须充分把握课程的内容安排和教学逻辑。在以培养研究生解决具体工程问题能力为教学目标的前提下，弹性力学与有限元课程应根据弹性力学和有限元的关联逻辑，在内容深度上采用层层递进的策略建立系统的课程案例库。

基于本课程的特点及教学目标，案例库的构建逻辑如图4所示。案例库以弹性力学基础知识作为基础，通过弹性力学中的位移解法，引入有限元理论。基于弹性力学对具体的工程问题进行力学模型抽取，结合有限元理论，建立有限元模型。通过具体的有限元模型，探究具体有限元案例的求解策略。同时，通过有限元结果可视化技术，与弹性力学理论解进行相互印证，以加强学生对相关知识点的理解。课程案例库构建的最终目标是要实现学生针对具体的工程问题，能够以弹性力学为基础理论，构建有限元分析模型，并通过适当的求解策略得到准确的有限元分析结果。

基于以上案例库构建逻辑，本门课程所建立的案例库如图5所示。该案例库在课程目标上涵盖了力学模型抽取、有限元模型构建、有限元求解策略、分析结果评定和工程问题求解等五个主题。每个主题均包含多个案例，每个案例突出解决在该课程中的关键知识点。同时，该案例库还充分考虑了本校研究生的研究领域，以提升研究生采用本门课程知识点解决具体科研问题的能力。

4  结束语

在以提升研究生科研能力为教学目标的背景下，对于弹性力学与有限元课程，传统教学模式的弊端愈发明显，采用案例教学模式可以为该门课程的教学提供新的思路。通过具体的工程案例，不仅能够激发学生的学习热情，更能够实现对于相关知识点的灵活应用，符合研究生的培养目标。当前，弹性力学与有限元课程案例教学模式还处于探索阶段，继续丰富和挖掘该门课程案例教学的课程体系，是持续提升课程教学质量的重要途径。

参考文献

[1] 郭晓菊.基于课程论文的弹性力学课程教学方法探究[J].教育教学论坛，2021（12）：145-148.

[2] 吴忠铁，王晓琴，杨永恒，等.可视化教学和参与式教学在弹性力学教学改革中的实践[J].高教学刊，2020（2）：120-122.

[3] 张琼，杜永峰，程选生.弹性力学可视化教学的探讨：以孔边应力集中为例[J].高教学刊，2019（18）：61-63.

[4] 贺国庆.西方大学教学方法变革考[J].教育研究，2014，35（8）：125-134.

[5] 王梅，康美玲，张可佳，等.案例教学研究现状综述[J].科教导刊，2021（34）：9-11.

[6] 王青梅，赵革.国内外案例教学法研究综述[J].宁波大学学报（教育科学版），2009，31（3）：7-11.

[7] 王洪生.案例教学在专业学位研究生培养中的应用与实践[J].山东教育，2021（39）：57-59.

[8] 王家忠，弋景刚，王泽河.案例教学在专业硕士研究生课程中的应用与实践[J].教育教学论坛，2021（25）：100-103.

[9] 魏昕蓉.专业学位研究生案例教学模式研究[D].沈阳：沈阳师范大学，2021.

[10] 教育部关于加强专业学位研究生案例教学和联合培养基地建设的意见[A/OL].（2015-05-07）[2019-5-22].http：//www.moe.gov.cn/srcsite/A22/moe_826/201505/t20150511_189480.html.

*基金项目：河南理工大学2020年度研究生案例库课程建设项目“《弹性力学与有限元技术》案例库”（2020YAL06）。

作者：范俊锴，河南理工大学机械与动力工程学院，讲师，博士，研究方向为金属氢脆及数值模拟技术；原永亮，通信作者，河南理工大学机械与动力工程学院，讲师，博士，研究方向为多学科协同优化及数据驱动的预测技术（454000）。