非凸稀疏约束的多快拍压缩波束形成

丁飞龙 迟 骋 李 宇* 黄海宁

①(中国科学院声学研究所 北京 100190)

②(中国科学院先进水下信息技术重点实验室 北京 100190)

③(中国科学院大学 北京 100049)

1 引言

基于压缩感知(Compressive Sensing, CS)理论的波达方向(Direction Of Arrival, DOA)估计方法，在近十年里相当流行，该方法最早由Malioutov等人[1]提出。相对于离散化的方位角数目来说，感兴趣的信源数目是少量的。基于这个事实，DOA估计被描述成了一个具有稀疏约束的欠定线性系统，称为压缩波束形成(CompreSsive BeamForming, CSBF)[2]。与传统的常规波束形成(Conventional BeamForming, CBF)相比，CSBF即使在单快拍下也具有稳健的高分辨精度。因此，CSBF被广泛应用于地震波反演、声学、雷达以及无线通信等领域。

CSBF的经典策略是施加l1范数的稀疏约束[3]，因为在稀疏信号处理中l1范数具有特殊的意义，它是l0范数的凸松弛近似，并且凸问题的可靠求解相对容易[4]。然而，自然的稀疏度量仍是l0范数，使用l1范数近似，会导致由于稀疏性不足，使得CSBF的性能下降[5]。使用非凸的惩罚函数约束，具有比l1范数更强的稀疏性，可以提高算法的性能[6,7]。但是，非凸的惩罚函数在求解过程中需要解决一系列的平滑问题，不能直接最小化惩罚函数，可能出现局部最小化问题[8]。为了增强稀疏性且同时避免局部最小化问题，Selesnick[9]提出一种极小极大凹惩罚(Minimax Concave Penalty, MCP)函数，在趋近l0范数稀疏性的同时保持了整体惩罚函数的凸性质。Yang等人[10]将MCP函数应用到CSBF中，并证明了其优于l1范数约束方法的强大性能。

然而在低信噪比下，文献[10]的算法DOA估计性能不佳，多快拍联合估计可以提高低信噪比下的DOA估计结果。传统多快拍方法，如最小方差无失真方法(Minimum Variance Distortion-less Response, MVDR)[11]和多重信号分类方法(MUltiple SIgnal Classification, MUSIC)[12]等，对快拍的数量有着最低限制，且在低信噪比下性能不佳。基于l1范数的多快拍压缩波束形成(Multiple Snapshot Compressive BeamForming based onl1norm,l1-MCSBF)[13]虽然对快拍数没有要求，但在低信噪比下，由于稀疏性不足，会导致伪源的产生。

基于MCP约束的多快拍压缩波束形成(Multiple Snapshot Compressive BeamForming based on MCP, MCP-MCSBF)可以提供比l1-MCSBF的更好的性能。但是，求解MCP-MCSBF的困难在于需要证明MCP-MCSBF具备整体凸性质的前提条件，因为MCP函数本身是非凸的，只有满足整体凸性质，才能收敛到全局最小值，这也是其与其他非凸稀疏约束相比的优势所在。另外，类似文献[11]的常规多快拍压缩波束形成求解方法，是对每一个快拍单独处理并将结果求均值，其计算成本随着快拍数目的增大而增大。

因此对于上述问题，本文的贡献在于证明了MCP-MCSBF的整体凸性质条件，提出了一种低计算成本的MCP-MCSBF求解方法，实现了增强稀疏性的同时，在低信噪比情况下获得更稳定的DOA估计结果。本文提出的MCP-MCSBF首先对阵列接收的观测矩阵数据进行SVD分解，并将其投影到信号子空间上；然后再根据Boyd等人[14]的凸优化理论，将投影后的观测矩阵所有列加权叠加成一个新的向量；最后，再将这个新的向量代入计算，得出精确的DOA估计结果。

2 单快拍 DOA估计

2.1 信号模型

2.2 非凸稀疏约束的压缩波束形成

3 多快拍DOA估计

表1 基于MCP函数约束的压缩波束形成算法步骤

显然，可以参考2.2节的单快拍算法，将式(24)看成两个交替求解的多快拍稀疏约束问题求解。但问题在于传统求解多快拍稀疏约束的算法，如多快拍交替方向法(Multiple snapshots Alternate Direction Method, M-ADM)[23]等，本质上只是对每一个快拍单独运算并求和平均。这样的做法存在两个问题：(1)本质上仍未脱离单快拍运算的范畴，只能一定程度上减少估计结果的误差，对于高噪声环境下导致的稀疏约束能力不足，从而产生的估计偏差，并没有得到真正的解决；(2)计算成本与Kˆ成正比。

本文提出MCP-MCSBF算法将降维后的观测矩阵YKˆ通过加权求和，进一步表示成M×1维向量yKˆ，然后将其代入单快拍求解算法中求解。且可以通过定理2证明，当权数wˆ1+wˆ2+...+wˆKˆ=1，ΣTΣ ≤1/εAHA时，目标函数仍具备整体凸性质。

本文所提MCP-MCSBF算法如表2所示。本文算法的收敛性证明可见文献[10,24]，因此这里不再重复说明。

表2 MCP-MCSBF算法步骤

4 仿真结果

本节主要探讨基于MCP约束的多快拍压缩波束形成的DOA估计性能。考虑了一个传感器数量M=24且半波长分离的均匀线性阵列，源信号为载波频率3000 Hz的窄带信号，噪声为服从高斯分布点的白噪声信号。传感矩阵A定义在一个间隔为1o，从-90°～90°的角度网格中，并使用均方根误差(Root Mean Squared Error, RMSE)量化DOA估计的性能。

4.1 本文算法的性能

其次，比较MCP约束的传统多快拍与提出多快拍压缩感知算法的性能。这里的传统多快拍压缩感知算法指的是，通过对每一个快拍单独处理，然后将结果求和平均的方法，见文献[11,23]。仿真设置与上文相同，仿真结果如图2所示。图2(a)展示了传统多快拍压缩感知算法的估计性能。由于该算法只是对每个快拍分别计算然后求和平均，没有根本上解决强噪声背景下，稀疏性不足的问题，因此可以看到图2(a)中尽管估计出了准确的方位角度，但是存在两个较强的伪源，干扰了目标判断。图2(b)为提出多快拍算法的估计结果，展示了稳健而精确的方位估计性能。

图1 信噪比-10 dB下的DOA估计结果

图2 信噪比-10 dB下多快拍的DOA估计结果

4.2 与传统多快拍DOA估计算法的性能对比

为了进一步验证MCP-MCSBF算法的性能。本文将其与CBF, MUSIC以及l1-MCSBF对比。首先，考察SNR为-10 dB下不同的算法的DOA估计结果。令3个能级相同的独立源信号，入射角分别为[-4°, 0°, 20°]，快拍数为50，仿真结果如图3所示。在图3(a)和图3(b)中由于-4°和0°的两个源间隔较小，CBF和MUSIC均无法有效地区分这两个目标源；而图3(c)中l1-MCSBF虽然能够区分这两个目标源，但由于l1-MCSBF的稀疏性不足，所以出现了许多的伪峰。MCP-MCSBF具有比l1-MCSBF更强的稀疏性，因此在图3(d)中，不仅能区分间隔较近的两个目标源，且除了估计的目标源外，不存在别的伪峰。

图3 -10 dB下不同算法的DOA估计结果对比

其次，分别考虑独立源和相干源情况。SNR从-10 dB变化到10 dB，其余设置与上文相同，每次均进行400次蒙特卡罗仿真模拟，得到的RMSE结果如图4所示。图4(a)表示独立源情况下RMSE随SNR变化的情况。可以看出，随着SNR的增大，这4种算法的DOA估计精度都逐渐提高。因为CBF波束宽度近似为1 02°/M=4.25°，大于- 4°和0°的两个源的角度间隔，所以CBF的估计精度要明显低于另外3种算法。MUSIC估计精度在高信噪比下较好，但在低信噪比下估计精度较差。l1-MCSBF和MCP-MCSBF估计精度相似，但在低信噪比下MCP-MCSBF具备的估计精度更高。图4(b)表示相干源情况下RMSE随SNR变化的情况。由于MUSIC算法在估计DOA过程中，涉及接收信号协方差求逆，因此相干源会导致DOA估计精度大大降低。CBF，l1-MCSBF以及MCP-MCSBF则不受相干源影响，仍具备很高的DOA估计精度。

然后，比较信噪比-10 dB，快拍数从1～100变化下的DOA估计结果，如图4(c)所示。这里考虑到阵元个数为24，因此MUSIC算法的快拍起点为30快拍。图中所有算法的RMSE都随着快拍数增多而下降，但是可以清楚地看到本文提出的MCPMCSBF在任何快拍下都要优于CBF，MUSIC以及l1-MCSBF。认为成功区分了两个独立源，将成功分辨的次数比上蒙特卡罗仿真次数，得到成功分辨概率，可以用来表示算法的性能。

图4 不同算法的性能比较

5 实测数据结果

上文已经在仿真中验证了算法的性能，但是数值的模拟并不能代表真实的水下环境。本节展示算法在水下实测数据中的优良性能。采用湖试数据作为本文提出的MCP-MCSBF算法的实测数据。湖面声速为1500 m/s，由UUV平台搭载的舷侧均匀水平线阵接收数据，UUV航行深度在水下6 m，阵元数目为24个，阵元之间的距离为0.1875 m。此次试验中存在两个声源信号，一个是位于水下6 m处的静止声源信号，发射频率为1～4 kHz宽带噪声信号，另一个为水面运动的小艇发出的辐射声源，且小艇与静止声源之间存在交叉。将每秒的数据分为50快拍，使用全频带的信息进行DOA估计。

图6表示CBF, MUSIC以及l1-MCSBF与MCPMCSBF算法的时间方位历程图。图6(a)表示CBF的方位历程图，可以看出当两个声源逐渐接近时，由于CBF较宽的主瓣，将两个声源合并成了一个声源，且存在自噪声和干扰噪声的影响，导致目标声源不够突出；图6(b)表示已知精确的信号源个数这一先验信息下的MUSIC的方位历程图，MUSIC算法相对于CBF来说主瓣更窄，对自噪声和干扰噪声有了很好的抑制，因此目标声源更加突出，但是对背景噪声的抑制力不强，最低能量为-10 dB；图6(c)表示l1- MCSBF的方位历程图，显然l1-MCSBF相对于CBF以及MUSIC来说，在抑制自噪声和干扰噪声的同时，大大减弱了背景噪声，此时最低能量为-100 dB，增强了目标声源。但是由于稀疏性不足，所以方位历程图中存在较多的噪点；图6(d)表示MCP-MCSBF的方位历程图，与l1-MCSBF相比，由于本文提出算法增强了稀疏性，因此图中存在的噪点很少。且与传统CBF和MUSIC算法相比，目标声源更加清晰，对背景噪声的抑制也更强，此时最低能量为-150 dB。

图5 成功分辨率随SNR和角度间隔的变化

图6 方位历程图

通过湖试数据可以看出，本文方法在噪声背景下保持着稳健的DOA估计性能，抑制了旁瓣的产生；同时由于较窄的主瓣宽度，也提高了目标声源的分辨率，在目标声源角度间隔较近时，展现了良好的性能。

6 结论

本文提出一种基于MCP约束的多快拍压缩波束形成算法，本方法通过非凸函数MCP提高了传统压缩波束形成算法的稀疏性，且由于MCP的整体凸性质，不存在局部最小值问题，保证了DOA估计的可靠性；同时利用多个快拍的数据联合估计，提高了DOA估计的稳定性。仿真分析证明了本文算法与CBF, MUSIC以及l1-MCSBF算法相比，具有更优的精确性和更高的角度分辨率，湖试结果也再一次证明了本文算法的有效性。