数学建模课程体系优化与实践探索

夏志乐，虞梦巧，周淑娴，李韶伟

（台州学院 电子与信息工程学院，浙江 临海 317000）

0 引言

当前，科技迅速发展，数学的应用领域更加广泛。国家对应用型、创新型人才培养的需求加大［1］，促使越来越多的高校对数学建模课程进行了一系列改革［2-7］。数学建模是一门培养应用型人才的重要课程，是数学理论与实际应用间的桥梁，受到了国内外越来越多师生的重视。2021年，全国有14万多大学生报名参加了全国大学生数学建模竞赛（Contemporary Undergraduate Mathematical Contest in Modeling，CUMCM），参赛队伍分别来自中国、马来西亚及美国等国家［8］。基于近10年的参赛队伍数据统计结果，如图1所示，每年的参赛队伍都呈稳定增长趋势，更加体现了数学建模的重要性。

图1 CUMCM历年参赛队伍变化趋势

通过开设数学建模课程，可以使学生掌握数学建模理论、方法及意义，增强用数学知识和计算机工具解决实际问题的能力，提高创新型、应用型人才培养的质量。通过参加全国大学生数学建模竞赛、MathorCup高校数学建模挑战赛、美国大学生数学建模竞赛、“泰迪杯”数据挖掘挑战赛、“深圳杯”数学建模挑战赛、五一数学建模竞赛、华中地区大学生数学建模邀请赛、华东杯数学建模邀请赛、“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛、亚太地区大学生数学建模竞赛（APMCM）等实践类活动，可以增强学生的自学能力和团队意识。多年来，李大潜院士等［9-12］数学教育家都曾提倡在数学类课程教学过程中融入数学建模的方法和思想。但是，普通高等学校如何整合资源、优化数学建模课程体系，在课程设置、课程内容、教学模式、教学资源库以及育人价值等诸多方面仍存在一系列问题需要解决。本文针对这些问题进行了深入剖析并提出了改革方案。

1 问题描述

1.1 课程开设问题

数学建模作为一门通识选修课程，学生容量非常有限，与当前开设的高等数学、概率统计、线性代数等课程相比，数学建模课程的受益学生人数非常少，这不利于高校的人才培养。如果不改变课程开设现状，会导致很多学生根本不知道数学建模是一门什么样的课程，更不知道有什么应用。部分高校把数学建模这门课作为专业必修课，就需要开设与之关联的数学实验课程。在数学实验课上，学生掌握了必备的编程能力，将有助于学生更好地学习数学建模课程。我们必须要想办法扩大数学建模课程学生受益人数，想办法整合资源，优化数学建模课程体系。开设数学建模课程，可以使学生用掌握的数学知识和方法去分析和解决实际问题，而增强学生解决实际问题的能力是地方高校向应用型大学转型的一个重要环节。因此，高校应将数学模型课程作为一门通识必修课程，分层分类设置数学建模课程体系，让绝大多数学生受益。

1.2 课程内容问题

数学建模课程涉及的知识面非常广泛，综合性交叉性很强，是一门对学生应用能力要求很高的课程。例如，近几年全国大学生数学建模竞赛本科组的赛题包括：有轨穿梭小车RGV（Rail Guided Vehicle）的生产调度问题、隔热服的生产设计问题、高压油管的压力控制、“同心协力”的策略研究、机场的出租车问题、炉温曲线控制问题、穿越沙漠策略问题、中小微企业的信贷决策、500 m口径“FAST”反射面形状调节、乙醇制备C4烯烃、大型原材料订购问题等等。由此可见，数学建模对学生和教师的各方面能力要求都非常高。尤其是对学生而言，如果不经过数学建模课程的学习或培训，很大一部分人不知道如何将数学知识转化为实际应用。这就像手里有食材，但不一定能做好菜。此外，在数学建模课堂教学、讲座以及暑期集训过程中，发现学生的数学基础差别比较大，参差不齐。例如，有的学生除了掌握微积分、线性代数和概率统计等基础课程外，还了解了数学建模的一些常用的算法；有的学生能非常熟练地运用一种甚至多种数学软件；而有的学生却没有接触过任何数学软件，或根本不熟练，不能利用编程解决实际问题。在数学建模课程学习前，学生首先应该了解或掌握一些数学建模常用的基本软件，如综合类软件Matlab、Maple、Mathematica等；优化类软件 Lingo（Linear Interactive and General Optimizer）；统计类软件 SAS（Statistical Analysis System）、SPSS（Statistical Product and Service Solutions）、R 语言等；还有 C、C++、Java等。在众多计算机语言中，Python语言近年来得到了长足的发展。它的优点很多，首先是开源和免费的；其次，它有一个可供学生建模时选择使用的相对完整的函数库和丰富的数据处理功能。比如：数值计算模块Numpy可以实现高效的矩阵运算；模块Scipy含有诸如积分、优化、统计、插值、信号处理、线性代数、快速傅里叶变换等众多功能，可用于数学建模的数据处理，可实现网络爬虫功能；与Matlab类似，模块matplotlib能提供多种高质量的绘图。因此，Python语言非常适合学习数学建模课程的学生使用［13-16］。为了培养应用型人才，一方面学生在学习数学理论的同时增加实践的应用；另一方面，开展数学建模活动周、建模协会等活动，也是一种很好的途径。还可以实行导师制，开展汇报讨论等。总之，数学建模是一门与实际结合密切且应用性很强的课程，它的教学内容应该与时俱进，随社会经济的发展而作实时地调整，及早落实学生掌握数学建模必备知识和必备技能。

1.3 教学模式问题

传统的课堂教学模式很重要，但不能完全满足学生自主学习的需求。在“互联网+”时代，网络资源相当丰富，教师应及时引导学生吸收好的资源，拓展第二课堂，如在线微课程的学习、建设，在线答疑，在线互动等。随着移动网络和诸如手机、平板电脑等移动设备的发展，学生可以随时随地根据自己的实际情况选择性地学习自己需要的内容。同时，数学建模课程应建设一定数量的应用案例，并把相关内容制作成微课视频，上传到网络平台，供需要的学生使用。综上，应充分利用网络资源和交流平台，全方位地为学生服务，实现课内课外双结合的教学模式。

1.4 课程思政问题

数学是自然科学与社会科学的基础，数学思想和数学家故事等都含有丰富的思政育人元素。高等数学、线性代数和概率统计等课程覆盖面广，几乎覆盖大学各个专业。然而，目前大部分老师上课以传授专业知识为主，对课程所蕴含的育人价值和实践价值知之甚少，很少进行深入探索。当前，国家要求门门课程有思政，但又要杜绝“两张皮”问题。这就要求数学教师在课程的教学过程中要有效地融入思政育人元素。数学建模是数学类课程融入思政育人元素的纽带。对于数学建模课程的育人价值，已有一些有意义的研究成果，如许少欣等［17］提出数学建模可以锻炼一个人的毅力，且数学家的故事对人生道路的前进方向也有正确的引导作用。李大潜院士［18-19］充分阐述了数学建模在推动社会发展及培养创新型、应用型人才方面的重要性。王美娜［20］研究了通过数学建模如何培养学生的探究精神、科学精神，以及如何增强学生的学习自信。郑子苹［21］给出了数学建模可以培养学生解决实际问题的能力。但这些文献的研究结果篇幅较短，阐述得不够具体。如何将数学建模课程的育人元素有机融入其他数学类课程的教学过程中，是当前要解决的重要问题。

2 课程内容优化、方案实施及实践

针对上述问题，普通高等学校提出以下改革内容及实施方案。

2.1 内容优化

数学建模是一项系统工程，涉及的知识面不仅广，而且还具有一定的深度，仅仅靠一两个老师无法完成。首先，要对内容进行改革，按模块分类，再安排各模块对应的老师，主要包括以下几方面措施。

（1）大力整合和建设数学建模课程常用的数据处理方法。整合机器学习、蒙特卡罗方法、统计分析、参数估计、线性或非线性拟合、插值、规划、回溯搜索法、图论、分支定界算法及数值分析算法等各种数据处理方法。

（2）开设相关线上或线下课程。帮助学生了解并掌握Python和Matlab语言的使用入门、数据处理、画图，建设与内容（1）相对应的程序资源库。

（3）建立相应的教学课件、教学案例资源库。充分利用网络资源，将部分内容制作成微课，有步骤、有计划、分层分类地实施有针对性的数学建模课程教学改革，使更多学生从中受益。

（4）深入挖掘数学建模课程育人元素。数学建模从问题分析与假设开始，到模型构建与求解，再到模型检验与改进，最后到论文写作、实际应用等，都渗透着丰富的育人元素。如：建模案例新冠肺炎病毒传播机制的研究［22］，可以激发学生珍爱生命、尊重科学、热爱祖国的热情；通过具体问题的分析可以培养学生深入理解现象与本质的关系，培养学生抓住问题的本质（主要变量）进行研究的能力；论文的写作过程可以引导学生形成实事求是、尊重科学、遵守学术道德的科研态度；模型的应用与检验可以培养学生理解理论与实践关系的能力；小组竞赛可以培养学生的沟通能力和合作意识。经过这样一个学习过程，学生解决实际问题的能力得到了加强，同时也培养了学生勇于探索、不畏艰难的精神，与国家和教育部关于“课程思政”的相关精神完全契合。

2.2 实施方案

有效的改革需要具体的实施方案，主要从以下四方面进行。

（1）根据不同的专业，由浅入深地建立数学建模课程体系。任课教师和竞赛团队成员需要搜集大量资料，阅读大量文献，筛选并整合网络资源，系统化整理多年来在数学建模教学与一系列教学改革中所积累的大量素材，让数学实验和数学建模课程、讲座、培训、辅导等形成体系，做到内容循序渐进且不重复。参与数学建模课程改革和数模竞赛培训的老师，定期参加一次数学建模交流或培训会议，及时将获取的前沿新动态和交流心得引入教学中。

（2）继续第一阶段的工作，重点完成资源库建设。形成学生项目，让学生参与相应的程序编写工作，使学生从中受益，以战促进步。数学建模课程先修课程是数学分析、高等代数以及数学实验，最好也学习一些概率论与数理统计知识。因此，教师教学中需及时将数学建模课程相关的一些基础知识建立相应教学资源库，供学生使用。

（3）在以上实施的基础上，重点转入数学建模案例库建设。案例的选取要有代表性、实用性，还要考虑学生的实际学情。鼓励学生以小组为单位开展案例讨论，部分优秀案例可以制作成微课程，并发布在网络教学平台上，供其他学生学习与借鉴。依托在线网络平台和信息技术，将理论与实践分层分类，边建设边开展数学建模讲座、全校通识平台课和数学建模专业必修、选修课，真正做到以学生的“学”为中心，拓宽学生的视野，增长学生的知识面。

（4）最后，在整个改革实施过程中有机融入思政育人元素。针对章节内容，深入挖掘与内容相呼应的思政育人元素；结合案例，培养学生的探索精神，训练学生的系统思维能力，从根本上激发学生学习数学知识的情怀。

2.3 实践成效

指导思想需要在实践中学习，就好比在游泳中学会游泳。数学建模课程刚开始时，教师主要介绍建模的方法、论文的写作，以及Lingo、Matlab对数据、规划的应用，鼓励学生参加“泰迪杯”数据挖掘挑战赛、“深圳杯”数学建模挑战赛、五一数学建模竞赛以及校赛等。在这些比赛中，学生都是全身心投入，边做边学，知识、能力在一次次实战中得到极大的提高。这些参赛项目都将计入课程平时考核分数，学生能够积极参与，过程中也能深刻体会学与用的区别，更能激发学习的兴趣和求知欲等。在实践中，学生发现自己的不足，找出短板，再开始学习、充电，迎接下一次挑战。这样几轮下来，在论文的写作、建模的认识上学生都上了一个台阶。再经过假期严格、系统的训练，学生会热情饱满地参加全国大学生数学建模竞赛。台州学院数学建模经过了多年的实践，效果显著，如图2～3所示，自2019年以后的报名参赛队伍均稳定在25支以上，且2019年是教学改革措施实施的第一年，参赛成绩就达到了历史最高。2020年受疫情影响，将线下集训改为线上集训，导致教学成效大大降低，2021年依旧成绩斐然，参赛获奖率也高达50%。除此之外，2019年国赛奖项中包含国家二等奖，省赛奖项含省级一等奖；2020年国赛奖项中包含国家二等奖，美赛奖项突破H奖；2021年美赛奖项突破两个H奖。奖项质量大大提高，由此可见，教学改革措施实施效果显著，值得推广。

图2 台州学院参赛队伍变化趋势

图3 台州学院获奖率变化趋势

3 结语

在地方高校向应用型转型的背景下，本文针对数学建模课程教学改革中所面临的问题，探究了改革内容并提出了相应的解决方案。借助当前互联网和信息技术，结合传统教学模式（数学专业数学建模必修课、校通识平台课程、暑期集训、讲座、公共类课程教学中融入数学建模思想等）和线上（将教学资源上传到互联网教学平台，学生可以根据自己的实际情况与需要选择性自主学习，还可以在线提问，老师在线答疑等）线下共享模式，采取多种方法多种途径扩大学生的受益面。因此，继续深入开展数学建模课程教学改革，并在课程中有效融入思政育人元素对于培养应用型复合人才有重要的实际意义。