高三复习课中的模型再认识——以圆锥摆模型为例

曹鑫辉

(浙江省湖州长兴中学 313100)

1 问题来源

例题拨浪鼓最早出现在战国时期，宋代时小型拨浪鼓已成为儿童玩具.四个拨浪鼓上分别系有长度不等的两根细绳，绳一端系着小球，另一端固定在关于手柄对称的鼓沿上.现使鼓绕竖直放置的手柄匀速转动，两小球在水平面内做周期相同的圆周运动.图1中两球的位置关系可能正确的是(图1中细绳与竖直方向的夹角α<θ<β)( ).

图1

本题是《2020年6月江苏省七市高三第三次调研考试物理试卷》第5题，在一轮复习后的一次综合测试中将该题作为测试题之一，目的是测试圆锥摆模型掌握情况.测试的结果发现：35%的学生不知道如何从实际问题中提取构建模型，所以没有从圆锥摆模型方向去思考；40%的学生能够考虑到圆锥摆模型，但是不知道如何建构模型；20%的学生构建好模型之后由于题目涉及的物理量太多，短时间内找不到处理问题的办法.分析原因：由于对圆锥摆模型结构特点不熟悉，无法迅速判断模型来源和建构基础模型；由于没有掌握圆锥摆动力学特点而无法明确分析方向；没有深入分析过圆锥摆模型的变化特点，无法找到最后解题的突破口.这也是学生普遍存在的各类模型问题.鉴于以上分析，高三一轮复习后开展了物理模型微专题复习，从模型提炼(模型特点分析)，模型过渡(模型迁移)，实际生活中复杂背景下的模型建构三方面来强化学生的模型构建能力.本文以圆锥摆为例.

2 圆锥摆模型特点提炼

圆锥摆是一种理想模型，理想研究对象，理想条件，理想过程，是运用比较理想且纯粹的方式所创造的、能再现原型的本质联系与内在特征的一类简化模型.现将圆锥摆的特点分为三步：

2.1 可视性结构特点

典型的圆锥摆如图2具有以下几个可视性的结构要素：悬点O、摆长l、摆角θ、圆周运动轨道平面及轨迹圆心.

图2 图3 图4

可视性结果有时也会约束学生的模型建构，这时需要进行简单的模型迁移，如图3、4，经过受力分析不难发现小球的运动也是属于圆锥摆模型，弹力方向与轴线的交点即为悬点，悬点与小球间的距离即为摆长，弹力方向与轴线的夹角即为摆角.经过模型迁移，将经典的圆锥摆模型迁移到“无绳”圆锥摆，并将圆锥摆的可视性结构特点进行进一步总结.当物体做圆周运动一周，有一个力始终指向非轨道平面内的一点，即可将该物体的运动模型构建为圆锥摆模型.该模型特点掌握之后便于学生迅速判断出是否是圆锥摆模型.

2.2 动力学特点

如图5.假设绳长为l，小球质量为m，则小球做匀速圆周运动的半径r=lsinθ,根据牛顿第二定律和匀速圆周运动的性质，可以得到竖直和水平方向的方程：FTcosθ=mg

图5 图6

①

②

根据①、②可以解得绳的拉力、向心加速度、线速度、角速度以及周期等物理量.

2.3 变化性特点

(1)摆角θ不变，摆长l与高度差h变化

如图6根据受力分析可得绳子的拉力不变，所以小球做圆周运动所需的向心力也不变，根据②式可得摆长越长，所以vAωB

(2)摆长l不变，摆角θ与高度差h变化

如图7根据受力分析可得，绳子对A球的拉力大于对B球的拉力，小球做圆周运动所需的向心力FnA>FnB,

图7 图8

所以ωA>ωB

(3)高度差h不变，摆角θ与摆长l变化

如图8，如图根据受力分析可得，绳子对A球的拉力大于对B球的拉力，小球做圆周运动所需的向心力FnA>FnB，

所以ωA=ωB.

由v=ωr可得vA>vB

3 过渡模型的模型建构

(1)如图9所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动.则下列说法正确的是( ).

图9 图10

A.球A的线速度必定大于球B的线速度

B.球A的角速度必定小于球B的角速度

C.球A的运动周期必定小于球B的运动周期

D.球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力

经过受力分析，发现属于变化类型的第一种.所以本题选AB.

(2)如图10所示,内壁光滑的半球形碗固定不动,其轴线垂直于水平面,两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在水平面内做匀速圆周运动,则( ).

A.球A的角速度大于球B的角速度

B.球A的线速度大于球B的线速度

C.球A的向心加速度大于球B的向心加速度

D.球A对碗壁的压力与球B对碗壁的压力大小相等

经过受力分析，属于变化类型的第二种.所以本题选ABC.

(3)如图11所示，两根质量不计的轻质弹性杆插在转盘中心，杆上端套有两个质量均为m的小球，现使两小球沿同一水平面做角速度为ω的匀速圆周运动，设重力加速度为g.求：两杆对小球的力的方向与转轴交点之间的距离.

图11 图12

如图12受力分析，属于第三种模型，所以两杆对小球的力的方向与转轴交点之间的距离为零.

以上三个衔接练习均为圆锥摆模型，且为无绳圆锥摆模型，综合以上分析，若一物体所匀速圆周运动，且物体所受力的方向不在圆周运动所在平面内，则可以考虑圆锥摆模型方向. 按照圆锥摆模型找到摆角θ、摆长l与悬点与轨迹圆心高度差h，并进行相关分析.

4 实际情境中模型构建

图13