例谈转化思想在解答不等式证明问题中的应用

李振文 李丹

证明不等式问题经常出现在各类试题中，此类问题的综合性较强，有时仅运用不等式知识很难使问题得解，需运用转化思想，将问题进行合理的转化，如将其转化为方程问题、几何问题、函数最值问题等，然后运用方程、几何、函数知识等来求解.下面结合实例来谈一谈如何巧妙运用转化思想证明不等式.

一、将问题转化为方程问题

在证明不等式受阻时，可将问题转化为方程问题来求解.需将不等式中的变量看作方程中的未知数，根据目标不等式的特点和已知关系式构造方程，再通过解方程或利用方程的性质证明不等式.通常会根据解题需求构造一元二次方程，以便利用一元二次方程根的判别式、根与系数的关系来解题.

由f（x），f（α），f（y）成等差数列得：2f（α）=f（x）+f（y），

又∵g（x），g（β），g（y）成等差数列，

∴2g（β）=g（x）+g（y）

∴2（1-sinβ）=（1-sinx）+（1-siny）②，

设a=1-sinx，b=1-siny，

由③④得：a+b=2（1-sinβ），ab=（1-sinα）（1-sinβ）

将a，b看作一元二次方程t-2（1-sinβ）+（1-sinα）（1-sinβ）=0的两个实数根，

由△>0可得：1-sinα<1-sinβ，

∴sinα>sinβ，

∴α>β.

解答本题，需先将已知条件进行转化，得到关于1-sinx，1-siny的关系式，然后将其看作一元二次方程的两根，根据韦达定理构造出一元二次方程，便可根据判别式△>0，建立关于α、β的关系式，从而证明α>β.解答本题的关键是，根据一元二次方程的两根与系数之间的关系构造一元二次方程，将问题转化为一元二次方程问题来求解.运用转化思想，能巧妙地转换解题的思路.

二、将问题转化为几何问题

有些不等式证明题中含有绝对值、根式、平方式、高次幂等，此类不等式很难化简，此时可深入挖掘这些代数式的几何意义，画出相应的图形，将问题转化为几何问题，借助图形来进行分析，根据点、线、面之间的位置关系建立关系式，从而证明不等式.

三、将问题转化为函数最值问题

有些不等式证明问题较为复杂，此时我们可根据不等式的结构特点，将不等式进行适当的变形，构造出函数模型，将问题转化为函数最值问题.如将f（x）≥a轉化为f（x）≥a;将f（x）≤a转化为f（x）≤a;将f（x）>g（x）转化为f（x）>g（x）;将f（x）max