基于Drucker-Prager 准则的含瓦斯水合物煤体强度准则研究

高 霞，孟 伟，张保勇

（1.黑龙江科技大学 建筑工程学院，黑龙江 哈尔滨 150022；2.商丘工学院 土木工程学院，河南 商丘 476000；3.黑龙江科技大学 安全工程学院，黑龙江 哈尔滨 150022）

煤与瓦斯突出机制表明，煤与瓦斯突出是地应力、瓦斯压力及煤体自身力学性质三者综合作用的结果[1]。Wu 等[2]和高霞[3]提出利用瓦斯水合固化技术防治煤与瓦斯突出并通过试验初步证实瓦斯水合物的生成降低了瓦斯压力，提高了煤体的强度，有利于煤与瓦斯突出的防治。利用水合物技术预防煤与瓦斯突出的关键之一在于深入了解含瓦斯水合物煤体的力学性质。然而，煤矿开采处于复杂应力条件中，且围压对于压缩强度影响显著，煤体某处的应力状态超过强度准则确定的临界应力状态，此时煤体将发生破坏。Drucker-Prager（D-P）破坏准则[4]很好地反应了一些岩土材料压力敏感的破坏特性，这一破坏准则为基础研究岩土材料的软化提供思路[5]。目前，基于D-P 准则的含瓦斯水合物煤体强度尚未有报道，国内外部分学者对基于D-P 准则的岩石强度进行了研究，证明了M-C 准则和D-P 准则中强度参数换算公式有很多种[6-8]，按不同换算公式计算求极限载荷甚至相差4～5 倍[9]，考虑不同程度中间主应力的影响，与M-C 准则相比，并结合软件数值模拟，确定了D-P 准则更能保证工程实践的安全性[5,10-14]。鉴于此，对高饱和度含瓦斯水合物煤体变形破坏过程中的强度变化规律深入研究，初步根据其试验结果研究D-P 准则中压力相关系数变化，同时，分析常用的M-C 准则和D-P 准则对于常规三轴压缩下含瓦斯水合物煤体强度的适用性，为利用瓦斯水合固化原理预防煤与瓦斯突出提供理论依据。

1 试验概况

采用含瓦斯水合物煤体原位生成与力学性质测定一体化装置[3]，装置由水合固化反应釜、三轴压缩系统、恒温控制箱、气体增压系统、数据采集系统组成。含瓦斯水合物煤体力学性质原位测试装置如图1。

图1 含瓦斯水合物煤体力学性质原位测试装置Fig.1 In-situ test device for the physical properties measurement of gas hydrate-coal mixture

煤样选自桃山矿，型煤直径50 mm，高100 mm；试验所用气体为纯度99.99%的CH4，由哈尔滨黎明气体有限公司提供；试验所用水为自制蒸馏水。试验主要包括饱和度为50%、60%、70%、80%的煤样分别在围压为4、5、6 MPa 下进行常规三轴压缩试验。设备参数、试样制备与具体试验步骤详见文献［3］。

2 试验结果

通过常规三轴压缩试验获得饱和度分别为50%、60%、70%、80%，围压分别为4、5、6 MPa 时含瓦斯水合物煤体的应力-应变特征曲线。由于篇幅所限，不同饱和度相同围压下的应力-应变曲线的变化规律相似，因此，只展开对含瓦斯水合物煤体在饱和度为80%围压分别为4、5、6 MPa 时常规三轴压缩破坏过程中的应力-应变曲线进行详细分析，含瓦斯水合物煤体应力-应变曲线关系如图2。

图2 含瓦斯水合物煤体应力-应变曲线关系Fig.2 Stress-strain curves relationship of gas hydrate-coal mixture

从图2 可以看出，高饱和度下含瓦斯水合物煤体试验过程中应力-应变曲线呈应变软化型，可大致分为3 个阶段：①应力-应变曲线近似线性关系的弹性阶段，应变几乎均在2%内的变形阶段；②应力-应变曲线开始向下弯曲，偏离直线阶段的屈服阶段；③应力超过峰值后的破坏阶段，随着应变的增加，轴向应力在不断减小，最终应力随着应变的增加趋于平缓。含瓦斯水合物煤体三轴力学试验强度参数见表1。

从表1 可以看出，饱和度和围压对含瓦斯水合物煤体的峰值强度影响较大，高饱和度下含瓦斯水合物煤体峰值强度随着围压的增大不断增加。由于篇幅所限，选取饱和度为50%和80%进行详尽分析。在饱和度为50%，围压分别在4、5、6 MPa 时，煤样的峰值强度增量分别为2.07、1.47 MPa，增幅分别为35.03%、18.42%；在饱和度为80%，围压分别为4、5、6 MPa 时，煤样的峰值强度增量分别为3.25、4.69 MPa，增幅分别为37.27%、39.18%。分析可知，在同一饱和度下，随着围压的增加含瓦斯水合物煤体的峰值强度不断增加。此外，在围压分别为4、5、6 MPa 下，饱和度越高，含瓦斯水合物煤体的峰值强度越大且其增量越大，可见在饱和度为80%、围压从4 MPa 升至6 MPa 时，峰值强度从8.72 MPa 升到16.66 MPa，增量为7.94 MPa，增幅为91.06%。分析可得，饱和度越高，即水合物生成越多，含瓦斯水合物煤体承受破坏能力越强。

表1 含瓦斯水合物煤体三轴力学试验强度参数Table 1 Strength parameters of gas hydrate-coal mixture in triaxial mechanical test

通过同时考虑围压和饱和度2 种因素发现，含瓦斯水合物煤体的峰值强度随着围压和饱和度的增大而增大，因此，为了明确饱和度和围压对峰值强度的耦合关系，预测峰值强度随饱和度和围压的变化趋势，建立饱和度和围压与峰值强度的多元方程。

式中：σy为峰值强度，MPa；z0为常数；a、b、d、g、l为回归系数；σ3为围压，MPa；Sh为饱和度，%。

不同围压和饱和度下含瓦斯水合物煤体峰值强度的多元方程拟合结果如图3。

基于图3 中的相关数据，利用多元回归方程分析方法，可确定多元回归方程的回归系数。

图3 不同围压和饱和度下含瓦斯水合物煤体峰值强度的多元方程拟合结果Fig.3 Results of peak strength of gas hydrate-coal mixture under different pressures and saturation

对多元回归方程进行检验，得到R2为0.989 4，说明回归方程与试验数据拟合度较好，能表达围压、饱和度与峰值强度之间的关系。分析认为，围压和饱和度对含瓦斯水合物煤体强度影响较大，即围压对煤样具有压密作用[15]，围压越大，压密作用越明显，煤样内部微裂隙闭合程度和颗粒之间的作用越紧密，围压越大，峰值强度越大。已有对含水合物沉积物的研究发现，水合物生成对其赋存介质的黏聚力有明显的提升作用，水合物的生成对煤样黏聚力具有提升作用[16]，因此，随着围压和饱和度的增加，即水合物不断生成，同时在围压不断增大的情况下，含瓦斯水合物煤体的峰值强度整体上呈上升趋势。

3 煤岩变形破坏过程中强度准则

3.1 Mohr-Coulomb 准则

利用Mohr-Coulomb 强度理论（简称M－C 准则），含瓦斯水合物煤体的强度准则可以写成主应力形式：

式中：σ1为第1 主应力，MPa；σc为单轴压缩下的抗压强度，MPa；m 为围压σ3对轴向承载力的影响系数，无量纲。

根据三轴压缩极限应力圆可用黏聚力和内摩擦角表示[17]：

式中：c 为黏聚力，MPa；φ 为内摩擦角，（°）。

因此，由式（2）可得黏聚力与内摩擦角：

3.2 Drucker-Prager 准则

Drucker-Prager 准则[4]是Mises 准则在主应力空间中的推广，体现了静水压力和中间主应力的作用。

式中：f 为强度准则判断条件，当f=0 时煤体处于临界状态；K1、K2为材料常数，仅与内摩擦角和黏聚力有关；I1为应力第1 不变量，MPa；J2为应力偏量第2 不变量，MPa2。

式中：σ2为第2 主应力，MPa。

K1、K2可以由内摩擦角和黏聚力确定：

4 强度准则的适用性

4.1 Mohr-Coulomb 准则

分别针对12 组含瓦斯水合物煤体的试验数据进行拟合，将采用有效围压数值σe，见式（8）。

式中：σe为有效围压，MPa；p 为气压，取3.7 MPa。

将含瓦斯水合物煤体在饱和度分别为50%、60%、70%、80%和有效围压分别为0.3、1.3、2.3 MPa下的三轴压缩试验数据代入式（8），得到式（9）中第1 主应力σ1与有效围压σe之间的拟合关系。

M-C 准则下含瓦斯水合物煤体强度拟合关系如图4。

图4 M-C 准则下含瓦斯水合物煤体强度拟合关系Fig.4 Fitting curves of gas hydrate-coal mixture strength under M-C criterion

为预测第1 主应力σ1随有效围压σe的变化趋势，基于M-C 准则建立了不同饱和度下第1 主应力与有效围压之间的线性回归方程：

基于图4 相关数据，得到当Sh=50%，R2=0.992 6；Sh=60%，R2=0.994 5；Sh=70%，R2=0.991 2；Sh=80%，R2=0.986 0，可见相关系数拟合很好，说明拟合公式较为合理。根据拟合所得数据，将其代入式（3），得到含瓦斯水合物煤体强度特征参数，不同强度准则下含瓦斯水合物煤体强度参数见表2。

表2 不同强度准则下含瓦斯水合物煤体强度参数Table 2 Characteristic parameters of the gas hydrate-coal mixture under different criteria

4.2 Drucker-Prager 准则

将含瓦斯水合物煤体在不同高饱和度和有效围压下获得的常规三轴压缩试验数据代入式（10）得到基于D-P 准则下之间的拟合关系，由此得到的D-P 准则下含瓦斯水合物煤体强度拟合关系如图5。

图5 D-P 准则下含瓦斯水合物煤体强度拟合关系Fig.5 Fitting curves of gas hydrate-coal mixture strength under D-P criterion

基于图5 中的相关数据，得到当Sh=50%，R2=0.986 6；Sh=60%，R2=0.996 8；Sh=70%，R2=0.996 4；Sh=80%，R2=0.993 4，可见相关系数拟合很好，说明拟合公式较为合理。

分析表2 可知，在饱和度为50%、60%、70%、80%，有效围压为0.3、1.3、2.3 MPa 下，M-C 准则和D-P 准则下的黏聚力、内摩擦角值相差不大，且随着饱和度的增加内摩擦角呈线性增大；拟合度R2均在0.98 以上，可见采用M-C 准则与D-P 准则下的相关系数拟合很好，说明拟合公式较为合理，可以进行预测常规三轴压缩下含瓦斯水合物煤体在围压和高饱和度耦合作用下的强度变化规律。

4.3 M-C 与D-P 准则对比

采用经典M-C 与D-P 准则，分别对12 组含瓦斯水合物煤体的试验数据进行拟合。为验证计算所得三轴抗压强度的准确性，将模型计算结果与实测三轴压缩强度进行对比。因此，采用强度绝对误差，见式（11）：

式中：σT为强度计算值，MPa。

含瓦斯水合物煤体破坏试验值与不同准则理论值见表3。

表3 含瓦斯水合物煤体破坏试验值与不同准则理论值Table 3 Test values and theoretical values of different criteria of gas hydrate-coal mixture

从表3 可知，M-C 强度理论进行计算与实测下含瓦斯水合物煤体常规三轴压缩强度具体数值接近，绝对误差的平均值为2.33%，其理论值与试验值绝对误差均小于10%，最大绝对误差为6.77%，最小相对误差为0.81%。对D-P 准则而言，所得高饱和度下含瓦斯水合物煤体常规三轴压缩强度下绝对误差的平均值为2.23%，其理论值与试验值的绝对误差均小于5%，最大绝对误差为3.66%，最小绝对误差为0.92%，说明采用D-P 准则中压缩锥求理论值相对稳定，所得理论值与试验值相差更小，较为适用高饱和度下含瓦斯水合物煤体压缩强度预测。

5 结 论

1）不同饱和度、围压下含瓦斯水合物煤体的应力-应变曲线均呈应变软化型。含瓦斯水合物煤体的峰值强度在围压和饱和度的耦合作用下，随着围压和饱和度的增加而增加，建立饱和度和围压与峰值强度的多元方程，较好地预测了峰值强度随饱和度和围压的变化趋势。

2）针对高饱和度下含瓦斯水合物煤体，且与MC 强度准则进行对比，得到黏聚力、内摩擦角值差距较小；相对而言，D-P 强度准则下的峰值强度与试验值强度绝对误差比M-C 准则下的要小，说明D-P准则在高饱和度下含瓦斯水合物煤体中更为适用。