对称群S4 的特征标表的两种构造方法

晋 珺

（晋中学院数学系，山西 晋中 030619）

有限群的特征标理论为有限群的研究提供了强有力的工具，其中特征标表是学习有限群的特征标理论的重要工具.从特征标表上可以得到许多信息，例如从特征标表可以得到群的所有正规子群，可以确定该群是否为单群，是否可解，还可以计算商群的不可约特征标［1］，在特征标的π-理论［2］中可以判断群是否是π-可分的等. 本文分别通过子群上不可约特征标在大群上的诱导和置换特征标两种方法得到S4的特征标表.本文只考虑有限群上的复特征标，特征标理论的相关概念、基本性质以及符号可参考Isaacs 的专著［1］，矩阵和群论的基础知识可参考相关文献［3～5］.

1 预备知识

本文用到的一些概念和主要结果如下：

2 主要结论

由引理1 易知，S4有5 个不可约特征标，另外三个非线性特征标的次数分别为2，3，3，将唯一的一个次数为2 的不可约特征标记为x3，两个3 次的不可约特征标分别记为x4、x5，接下来通过两种方法计算S4的这三个非线性不可约特征标.

方法一：通过其子群S3上不可约特征标诱导到S4上来计算.

将S3的主特征标φ1（见表2）诱导到S4上，我们直接利用引理5 的公式，即可得到其在S4各个共轭类代表元上的值，其结果（按照表1 中共轭类代表元顺序排列）如下：

表1 S4 的共轭类以及线性特征标表

表2 S3 的特征标表

表3 S4 的所有不可约特征标表