数形结合法在初中数学中考动点问题中的应用研究

郭逢博

(甘肃省临夏市第一中学 甘肃 临夏 731100)

数学学科的实践性和应用性很强,因此在教学中要培养学生分析问题、解决问题的能力。而数学学科本身也有很大的挑战,要想学好数学,高效解决数学问题,就必须要有高效的解题方法,要有完善的思维基础,教师在日常数学课堂的教学过程中,要对学生进行一系列的合理的数学思维的培养,还有面对数学问题时高效合理的数学思想的教育,教师要想尽办法在完善学生思维能力的同时还要让学生有正确良好的数学学习习惯。因此行之有效的数学解题思维是非常重要的,此时数形结合的优势便显现了出来。

1.动点问题的意义

动点问题,就是在题设图形中存在一个或多个在线段、直线上运动的点的一类开放性题目,因为涉及到动点问题灵活度也比较高,因此,解决这类问题主要是要将一切动点问题全部静点化。以不动应万变是最理想的境界，可以自如的灵活的运用数学知识来将这些数学问题解决。初中动点问题一直以来都是学生们的噩梦，是难中之难的数学问题，以至于大部分学生看到动点问题都会下意识的产生放弃的心里，怀疑自我认为自己不行，认为自己肯定解不出来答案。所以说动点问题对于初中生而言是重要的考题但也是难题所在，因此对于动点问题的解答应该采用更高效易懂的数学方法。[1]因为动点问题一方面考查了图形变换中的知识点,另一方面又包括了三角函数等知识,覆盖题型范围大，所以很多学生都不能成功解决这类考题。因此也要求教师结合学生的实际学习情况,进行针对性的教学，排除学生解答过程中出现的问题,帮助学生在掌握相关知识的同时,锻炼学生解题能力。教师在课堂上应当为学生制定与其学习水平及理解能力相适应的指导,帮助学生攻克这一难关。

2.数形结合的含义

2.1 数形结合的概念。数形结合所利用的是数与形之间存在一种对应关系,这种关系可以让数和形彼此转化,这样在解决数学难题的过程中,很多问题可以借助这一原理得到更加便捷的解决方式,同时很多知识抽象而难以理解,若是进行数与形的转化,理解起来就会更加简单,是初中数学课上至关重要的思想方法。运用这种思想,实际上就是考察结论和条件的联系。将这种联系用数轴或者图形进行表达,这样可以将几何以及代数问题解决,解题效率更高,同时结果会更加准确。数形结合就是既要将其代数意义分析透彻,也要将其中的几何意义挖掘出来,这样数量与空间就能结合在一起,让解题思路更加清晰。[2]

2.2 数形结合的意义和作用

2.2.1 数形结合是数学领域中一个非常重要的概念，在解决数学问题中起着不可替代的作用。可以是很多高度抽象的问题的视觉表达形式。这样，初中生就可以更方便地理解数学问题的本质，有效地降低了解决问题的难度。灵活运用这一思路，很多非常复杂的问题会变得非常简单，解决问题的思路会更加多样化，初中生的数学能力会得到显著提高。

2.2.2 数形结合有利于培养学生的思维方式。在清楚地理解什么是“数与形的结合”之前，我们首先应该清楚地知道什么是“数”和“形”。数与形之间存在什么样的联系，在什么情况下，“数”与“形”可以相互转化，等等，我们通常称这种联系和转化为“数形结合”。运用数形结合的概念思考问题，可以使学生头脑中复杂的数学公式和概念直观化，通过图形表达数与数的关系，可以更好地解决学生抽象的问题。这种思维方式，不仅可以应用于数学教学范畴，还可以广泛应用于其他教学领域，这是激发学生思维的好方法，可以让学生以正确的方式思考，面对复杂抽象的问题，用简单的图形简化思维方式，快速得到解决方案。

2.2.3 数与形的结合是数学思想的重要组成部分。目前，有很多数学思想的应用是非常关键的，掌握这些数学思想，可以让学生更容易地解决问题，找到数学学习的方法。常见的数学思想有数形组合思想、等价变换方法、函数与方程思想等。这些数学思想使用不同的条件，但它们代表一种数学思想，一种解决问题的思想。其中，最重要的是数形结合。顾名思义，数形结合的思想是将数性问题与形性问题结合起来。因为数学本身是一门由数字、字母和图形组成的学科，所以在教学中，数字与图形密不可分，图形与数字密不可分。近年来，数形结合在初中数学教学中得到了广泛的应用，并取得了较好的效果。例如，在计算追逐问题和遭遇问题时，仅仅依靠问题中给出的数字是不够的，通过显示信息的意图来解决问题要方便得多。这使得数字和形式的使用与理念相结合。[3]

2.2.4 数学核心素养是包括很多东西的，不是用一两句简单的话语就可以来进行解释的。但是从总体上看，数学核心素养是关于数学知识与基本能力、数学方法与逻辑思维、数学思维与灵活运用的结合。因此，数学核心素养几乎涵盖了数学教学的所有内容，在初中数学教学中具有重要意义。随着新课程改革的深入，数学核心素养的培养变得越来越重要。教师逐步摆脱了传统的教学模式，把“学”与“用”充分结合起来，这是最重要的理念。数与形的结合只是数学核心素养中非常关键的一部分。当很多学生解决问题时，代数问题就是代数问题，几何问题就是几何问题，他们没有意识到把这两个问题放在一起思考，这是非常错误的。作为教师，我们应该培养学生的这种意识，当他们习惯了它，它就成为一种素质，这是数学的核心素质。

2.3 数形结合思想的主要体现。

2.3.1 建立适当的代数模型。有些数学问题往往是复杂的不易懂得，因此我们要借助有效的解题方式去解题数学问题。我们要把数形结合的思维扩展到建立不等式、函数以及方程的模型，这样才利于掌握题型规律,以便更好的解题复杂的数学动点问题。

2.3.2 解决几何问题和函数问题。几何问题以及和函数问题在初中学习中是非常常见且重要的，在中考中压轴的题也是从这两类中出现，是很多学生学习数学的瓶颈。但是数形结合的方式，可以帮助学生通过图形来对几何图形以及函数的一些特点做出直观地分析，利于解决问题。

3.数形结合在初中数学动点问题中应用得好处

3.1 形成完整的数学概念:数学概念是学习数学的基础步骤，也是培养数学思维的重要起点，是学生接触数学问题的第一步，也是学生形成思维的核心步骤，利用数形结合的思想可以帮助学生理解数学概念。

3.2 数形结合有利于培养学生的形象思维和抽象思维：数形结合丰富了表象的储备,而表象的运动过程可促进形象思维发展，除此之外，还结合了代数与几何，但任何的学习迁移都是通过概括这一思维过程来实现的,而数形结合在应用的过程中,常常根据数量关系与图形特征么间的联系和规律,把问题转化迁移到与之相应的数的问题,反之数的问题也能转化迁移到与之相应的形的问题上来。利于培养学生的思维能力。[4]

3.3 数与形的结合有利于培养学生的发散性思维和创造性思维：在教学中，我们可以从数与形两个方面突出我们所知与未知的关系，从而激发学生产生新的想法、新的方法和新的问题。鼓励学生转换现有的思维方式，探索和发现新的思维形式和方法，迸发创造性思维的火花。

4.数形结合应用到初中数学动点问题的可行性策略

4.1 创设问题情境。所有的学科的学习都来源于生活，最后又回到生活。虽然动点问题属于几何问题范畴，但大多数问题仍然可以从生活中选择素材，立足于基础，为学生创造出贴近学生生活的问题情境，从而更好地激发学生的学习兴趣，提高学习效果。要想很好的解决数学学习中的动点问题，就必须要学会分析图形，然后回到主题去读解题要求，理解所要求的问题是什么，要对题干中关于动点问题的描述仔细阅读理解，关注题中给予的图形的特点，在草图上指出信息，绘制一些更深入的问题分析基本图形，尽可能详细地表示条件，特别是固定点，将点的运动方向、速度、时间等表示出来，最后得到运动点的轨迹。

4.2 探究动点内涵。教师在进行动点问题举例时，应自觉关注学生的兴趣点，将动点问题中明显存在的动点与相对的“静态”状态要素有机地联系起来，激发学生的学习兴趣，营造良好和谐的课堂教学氛围。在互动式教学中，教师应指导学生运用扎实的基础工作，在解决问题的过程中尝试建立数学模型，运用映射、演绎等方法确定变量之间的关系，在样本条件相同的情况下是相对不动点问题，在教学过程中引导学生自觉分解问题，并将受试条件归纳为相应的问题解决步骤，对每一步的知识点进行深入分析，以达到解决问题的效果。[5]

4.3 在有理数的教学课程中引入数形结合思想。初中阶段的数学研究对象都在有理数的范围内,有理数的课程在初中数学教学中占有重要地位。刚开始接触有理数时.教师应该让每个学生都清楚的理解有理数的概念和意义。

4.4 在教学中体现数形结合思想,帮助学生建立数学框架。在传统的初中数学模式下,数学教师最擅长灌输式教学和题海战术,让学生在数学课堂上麻木的接受理论知识,在课下时间给学生布置大量的习题。这就导致一些创新能力低、思维不灵活的学生不会正确解答题目,他们不理解理论知识的本质以及探究方式,当题型稍微发生变化,学生就无法应对新的题目。这种教学方法还不利于培养学生对数学的兴趣,打击了学生的数学自信心。在教学过程中运用数形结合进行授课,这不仅能帮助学生去真正理解数学教材中出现的概念和相.关性质,并将学过的知识灵活运用,提高学生分析问题、解决问题的能力,为学生的做题和学习提供新的思路,开阔新的数学眼界。所谓数形结合,就是数学问题与数学图形相结合。在初中数学教学中，为了让数学问题变得更为直观，教师应注重通过“以形助数”教学方式指导学生快速解决数学问题，以更加直观的数学解题方法，提高数学问题解题正确率。比如这道题，A、B是射线0M、ON上两动点,0M⊥ON,∠0AB和∠ABN的角平分线相交于点C.试问:在A、B两点的运动过程中,∠ACB的度数是否发生变化。为什么?在面对此类数学问题时，利用数形结合的解题思维是十分有效的，同学们可以通过画出图形来助力解题，如下图所示如下图所示：

图3

当面对晦涩难懂的题目时，数形结合思想在几何证明中的作用就显现出来了。

总之，数形结合的实质是将抽象数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,在研究图形时,利用代数性质解决几何问题,这样能够启发思维.找到解题之路。长期进行数形结合思维的训练,学生久而久之就能构建起完备的数学知识框架。观察和测量等相关手段,对图形的性质、关系等问题,比如线与线之间的关系,线与角的关系,进行更深程度的探索,定性或者定量的分析问题,提升课堂学习效果。

4.5 以形换数,在教学中运用数形结合思想。数形结合的思想实际上是一种探究式的思想。为了提高教学质量,增强教学效果,教师应该在讲课过程中把数形结合的思想传递给学生,学生在学习数学中以及做数学题中自然而然的应用这种思想,从不同的角度去探索问题,解决问题。学生在课上学习以及课下自学的时候,可以将数学题目用思维导图的方式表达出来,画出图解,更容易理清题意,整理思路。快速解决数学问题，以更加直观的数学解题方法，提高数学问题解题正确率。例如，在《不等式》一课教学时，为了能够帮助学生深入理解不等式解集，教师应遵从“以形助数”原则，运用图解法指导学生解决实际问题，以直观、有效的表达方式向学生呈现数学知识。

教师在指导学生们解决这样一道问题时，可以先通过带领学生们求出不等式集是-1≤x<2,再重点引导学生画出数轴上的不等式解集。如下所示:

在传统数学教学中,教师通常采用长篇大论的文字叙述的方式讲解数学知识,但是这种方式比较无聊,而且推理过程繁多容易出错,学生不具备基本的数学运算能力,很难独立完成推理过程。利用数形结合思维可以帮助学生建立建良好的效李结合思想。

5.结语

总而言之,数形结合的数学思想已经深入初中数学教学中,数学老师可以把数形结合作为一种实用的教学方法,探索更高效.更符合现代学生的数形结合教学方法,把数学中的难点和重点具体化、简单化,从而激发学生的数学思维和对数学的学习兴趣,增强学生的数学自信心,提升初中生分析问题和解决问题的能力,让初中数学的教学质量有质的飞跃。