《立体几何》的学法指导

鲍亚杰

立体几何是高中数学中的重要内容，这个模块中的大部分知识点都与三维空间有关.要学好立体几何，就需建立立体观念，重视培养逻辑推理能力和空间想象能力.本文就如何学好立体几何这部分知识，与同学们进行一些交流和探讨.

一、建立空间观念，培养空间想象能力

立体几何主要是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的，因此在学习立体几何时，同学们可通过以下方式来建立空间观念，培养空间想象能力.

1.用硬卡纸或木质材料制作空间几何体模型，通过这种方法去认识正方体、三棱锥、三棱柱、四棱台、圆柱、圆锥等简单的空间几何体，以及空间点、直线、平面的位置关系.经历制作模型和画图的过程，同学们就会对几何体的组成元素以及简单几何体的结构特征了然于心，这对培养同学们的空间想象能力和直观想象能力很有帮助.

2.多角度观察身边的事物，建立空间观念.可将我们的教室看作一个长方体;将黑板可以看作一个平面;将天花板上的灯管看作一些直线，仔细观察，可发现它们都是平行的.当门绕着门轴旋转时，所在的平面始终垂直于地面.这样就能很直观地研究直线和平面的位置关系，也有利于培养空间想象能力.

二、理解并熟记立体几何中的定义，定理、公理等

立体几何中的公理、定理和定义是解题的重要依据，因此理解和熟记这些基础知识是很有必要的.立体几何中的公理、定理和定义通常可用图形语言、文字语言和符号语言来表示.在学习的过程中，可将三者进行相互转化，这样有利于理解并熟记立体几何中的定义、定理、公理等.

例如在学习平面与平面平行的判定定理和性质定理时，可将该定理分别用图形语言、文字语言和符号语言来表示，如下表所示.

其次，重视定理、公理的推导过程，研究定义、定理、公理的内涵和外延，以明确定义、定理、公理的使用方法与范围，提高应用能力.

三、归纳解题的方法

1.转化法

有些立体几何问题较为复杂，此时可运用转化法，将空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识来解题.可通过平移直线，将异面直线所成的角转化为平面角，将二面角的大小转化为平面角，空间距离转化为点到点或点到线的距离.

我们根据相似三角形的性质把空间中另一个平面β内的两条线段的长度比，转化为平面a内的两条线段的比，然后通过解三角形和利用函数的性质求得最值.

例2.如图2所示，已知正三棱柱ABC-AiBlCI的底面边长为1，高为8，一质点从A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路径的长为_____

将几何体展开，便可将立体几何问题转化为平面几何问题.采用转化法解题，能达到化难为易、化繁为简的效果.

2.构造辅助圖形法

在解答立体几何问题时，可根据题目的特点，将几何体特殊化，构造一个特殊的几何模型，将复杂问题简化，将陌生的问题变为熟悉的问题.

例3.四棱锥P -ABCD的五个顶点都在一个球面上，底面ABCD是边长为1的正方形，若PA上平面ABCD，PA=√2，则该球的体积为_____.

结合四棱锥的结构特征构造辅助长方体，然后根据长方体的性质及其与外接球的关系求得球的半径和体积.

3.添加辅助线

在解答立体几何问题时，我们经常会遇到阻碍，此时可根据图形的结构特征，合理添加辅助线，如平行线、垂线、中位线、对角线等，这样便能运用相关的定理、公式、定义等来解题.

通过作辅助线PM、PD，便可利用平行四边形的性质：平行四边形的对边平行以及线面平行的判定定理来证明结论.

除了上述方法，解答立体几何问题的方法还有割补法、空间向量法、等体积法等.同学们在学习过程中要不断积累各种解题方法与技巧，并将其灵活地应用与解答题当中.

总之，要学好立体几何知识，不仅要培养空间想象能力，还需熟练掌握立体几何的基础知识.立体几何并没有想象中的那么难，同学们只要树立学好立体几何知识的自信心，结合生活实际和平面几何知识，就能学好立体几何知识.

（作者单位：江苏省南京市江宁高级中学）