小学数学教学中的数形结合

◎卢 浩 (怀远县唐集镇金轮小学,安徽 蚌埠 233400)

在小学阶段，数学是一门以客观理性思维为要求的学科，因此教师必须在数学课堂上培养学生的数学思维.其中，数形结合思想是少数适合儿童接触的数学思想之一，数形结合是通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种思想方法，数形结合思想也是一种常用的解决问题的思路.在小学数学中充分发挥数形结合思想，可以将数学的抽象部分具体化、形象化，帮助学生建构清晰的直观概念.然而，在实际教学中，数形结合的应用面临诸多问题.下面笔者结合自己的教学实践，谈谈在小学数学教学中如何应用数形结合思想.

一、数形结合的概述

运算能力、空间想象能力、逻辑思维能力是中小学生数学能力的基本内容.运算能力离不开数和数量关系，空间想象能力与图形有关，数与形的对应有利于提升学生的逻辑思维能力.

1.数形结合的内容分类

教材涉及的数形结合内容大致分类如下.(1)数的认识.如：借助数轴、直尺、几何图形、统计图等认识分数、小数，用几何模型表示计数单位等，用百数表理解数的排列规律等.以数轴为例，数轴是数形结合最基本的载体，学生可结合对数的认识体会数轴上的点与数的对应关系.数轴是数形结合思想方法最基础的渗透工具.(2)计算算理.如：有余数除法、笔算乘法、分数的加减乘除计算等.(3)运算定律.如：加法乘法运算律、乘法口诀、完全平方和等.(4)认识图形.如：平面图形、几何体周长面积体积的计算公式，面积单位的转化，多边形内角和的计算等.(5)函数思想.如：用数对表示平面图形中点的位置，初步体会数与点的对应关系；利用正反比例关系绘制图像，理解两个变量的变化规律与趋势等.(6)典型问题.如借助线段图解决问题等，利用图形描述和分析问题、理解数学问题.利用图形描述和分析问题的最直接方式是用线段图或示意图把抽象的数学问题直观的地表示出来，使条件与条件、条件与问题的关系等准确地呈现出来.(7)统计图表.如：条形、折线、扇形统计图等.(8)探寻规律.寻找数与形的变化规律.如：和的奇偶性、探索图形、数与形、等比分数求和等.

2.数形结合的内涵界定

数形结合与几何直观存在怎样的关系？两者之间有重叠、有不同.在涉及的对象方面，几何直观的“形”包含数形结合的“形”.几何直观是借助图形展开的思维活动，直观思维是核心.在应用目标指向上,二者都是分析、解决问题的手段.几何直观指向借助图形展开的思维活动，能使学生理清解决问题的思路.数形结合指向解题结果，有“解题化”倾向.《义务教育数学课程标准(2011年版)》中指出，“几何直观”一词“主要是指利用图形描述和分析问题”.数形结合一般指数学研究的两类对象(数和形)之间的关系，数形结合思想是通过数和形之间的对应关系和二者的相互转化来解决问题的思想方法.人们一般把小学数学里利用图形(几何图形，如线段图、平面图形或独立图形等)来描述和分析问题的方法称为几何直观，把利用数和形之间的关系(如数轴、数对确定位置或正反比例图像)来分析和解决问题的方法称为数形结合.其实，很难说前者不是数形结合，后者不是几何直观.

基于以上认识，我们可以将小学数学数形结合内涵界定如下：(1)从广义层面来说，可将几何直观看作数形结合思想的初级阶段，看作渗透数形结合思想的尝试；(2)数形结合研究的基本对象是数与形，教师要用一定的方法把“数”和“形”统整起来，借助“形”理解“数”，运用“数”或“式”准确表达“形”的特征，从而解决问题；(3)数形结合研究的基本方法是把数学问题中的运算、数量关系等与几何图形结合起来进行思考.

3.数形结合教学的价值取向

教师在小学数学课堂中运用数形结合的思想方法进行教学，可以培养学生的数学思维；通过从不同的角度分析问题，培养学生思维的灵活性和独特性.

二、数形结合思想的应用意义

1.数与形的相互转化

数形结合思想，顾名思义，就是在解决实际数学问题时将数与形有机结合起来，实现数与形之间的相互转化.通过数与形的相互印证、相互补充，学生能更加高效、准确地解决一些数学问题.运用这一思想解决代数问题时，教师要将抽象繁杂的数量关系转换成直观形象的图形呈现给学生，使一些数学问题变得更加生动和具体，从而帮助学生实现高效学习.

数形结合的数学思想不仅可以用于将代数问题中的抽象概念具体化，还可以用于量化几何问题中的空间概念.在解决代数问题时，教师需要有意识地引导学生将数字转化为图形，将题干给出的条件具体化.而在几何问题中，教师应要求学生将图形与数字(或特定的公式)结合起来，将已知的图形条件转化为数字关系.例如，将三角形的周长转化为三条边长度之和，从而量化几何问题中的空间概念，提高解题效率.

2.数学规律形象化

在小学阶段，数学是一门逻辑性较强的学科，因此学生对各种数学规律的熟悉程度在一定程度上就代表了学生对数学这门学科的整体掌握情况.故而数学规律对小学阶段的数学教学而言格外重要.那么，教师该如何在小学数学教学过程中引导学生更好地学习数学规律呢？笔者在此就不得不强调数形结合的重要性.以小学数学中“方向与位置”这一知识点的学习为例，在笔者看来，多数学生并不具备学习这一部分知识所需的方向感及空间想象力，然而这一点并没有引起一些教师足够的重视，他们更多时候只是照本宣科，并不能够使学生准确地理解这部分知识，常常会导致学生一头雾水.然而，数形结合思想能很好地解决这一问题.为了避免教学过程中出现抽象性问题，教师可以引导学生将自己熟悉的建筑物的位置或方位口述出来或把校园及周边的村庄、道路等以平面简图的形式画下来并标出标志性建筑物的名称，口述建筑物的方位(如朝南的大门、西边的操场、东边的教学楼等).如此一来，学生通过绘图、讲述等方式，练习表达建筑物的具体方向与位置，通过数形结合有效掌握“方向与位置”这一数学知识点.

3.降低计算难度

在小学阶段，数学计算可谓重中之重，其也是学生运用所学知识解决实际问题的基础.但是，学生常常感到数学计算是一大拦路虎.在笔者看来，将数形结合思想运用于数学计算中，可以大大降低数学计算的难度，同时有效提升学生解决综合问题的能力.例如，在教学“长方体与正方体”时就可以运用数形结合思想.教师在上课前用硬纸板制作出一个长方体和一个正方体模型并向学生展示，然后将模型展开，利用长方形、正方形的面积公式对它们的每一个面进行计算，从而获得正方体与长方体的面积.这样计算就被简化了，学生能快速、准确地掌握这一知识点.

三、数形结合思想在小学数学教学中的运用举例

在实际的教学过程中，教师可引导学生通过在纸上画图形，简单地还原出题目中的情景，以解决问题.

分析：上述例题是小学阶段典型的“数”问题，即我们常说的代数问题.对于刚结束学前教育、尚未建立系统的数学思维的小学生而言，想通过数字运算来解决此类问题是很难的.但是，如果教师教会学生用将“数”转化为“形”来思考，那么学生就能很容易地解决这一问题.因此，在此类问题的教学中，教师要有意识地培养学生数形结合思想.以上述代数问题为例，在实际的教学过程中，教师可引导学生通过在纸上画图形简单地还原出题目中的情景.画一个正方形表示小红同学，画一个圆代表一位同学，先从左往右画，第一个位置画圆，第二个位置画正方形，再从右往左画圆，直到正方形成为第三个图形.这样便可直观地再现题干中描述的情景，学生能轻易地得出答案.由此可见，数形结合的思想不但有助于将抽象的问题具体化，而且能培养学生的思考能力，帮助学生探索出更多新颖的解题方式.

对于几何图形的计算问题，在实际教学过程中，教师要有意识地将“数”的相关概念引入几何问题中，一步步引导学生将数字与图形结合在一起，即数与形结合.

看这样一道例题：现有一个直角三角形，两条直角边的长分别是 3 cm、4 cm，斜边长是5 cm.请求出该三角形的面积及周长.

分析：事实上，在使用数形结合思想解决数学问题时，不仅可以如前文一样利用图形来具体化数字，还可以用数字量化图形，这也是数形结合在数学问题中的运用方法之一，这种“逆向使用”在几何问题中尤为重要.在上例中，求三角形的周长时还可以用直尺量，但是做所有求面积的题目时只靠眼睛观察或直尺测量是不行的.因此在教学时，教师就要有数形结合的意识，将“数”的相关概念引入几何问题，一步步引导学生将数字与图形结合在一起，让学生知道三角形的周长等于所有边长之和，三角形的面积可通过底和高的乘积再除以2来求得，最后将具体的数字代入公式，即可做到数与形相结合.

四、数形结合要注意的问题

1.提高画图水平

在运用数形结合思想的过程中，教师在短时间内画出特定的图形，这就对教师的绘画水平有一定的要求.一些数学专业素养极高的教师在绘画方面的能力有待提高.随着当今社会科技的快速发展，多媒体逐渐广泛应用于教学活动中，甚至在教学过程中替代一部分板书，但是多媒体不能完全取代教师板书.因此，在运用数形结合思想进行教学的过程中，一些教师的绘画水平较低可以说是现存的问题之一.

2.方法的运用

处于小学阶段的学生对知识点的归纳和总结能力不足，同时缺乏总结意识.这导致学生在遇到可以用数形结合思想解答的题目时，可能一时间无法想到使用该方法.这和学生的做题量较小及数学思维不够系统有关，教师要引导和提醒学生用数形结合解决相关的问题.一些教师不能提醒是数形结合在小学数学教育过程中应用存在的问题之一.

综上所示，高校大学生自我效能感与志愿、基层服务动机呈相关性。自我效能感越高越能激发高校大学生的志愿和基层服务动机，进而将志愿和基层行为付诸实际行动，在个人自信心、荣誉感、自豪感在志愿和基层活动中可获得满足，这种被满足感能够激发和提升了自我效能感，进而产生积极正面的引导和良心循环。自我效能感与志愿、基层动机之间起到相互促进的作用，因而引导高校大学生进行志愿与基层服务时，可以从满足其自信能力、荣誉感等方面入手，从而提高其参与志愿和基层服务的积极性。

3.无相关教材可供参考

一般地，数形结合这一思想在初中阶段才被系统地运用于数学学习.事实上，很多学生早在小学阶段便开始运用数形结合思想.而这种运用更多的是无意识、不自知的.一些小学教师没有系统地向学生讲述过该理论，同时市面上没有系统的有关小学数学中数形结合思想运用的教材，导致一些教师在教学过程没有相应的教材可以参考.这也是在小学数学课堂教学中有效运用数形结合思想的困难之一.

五、数形结合的教学建议

1.教师努力提升数形结合意识及作图能力

在小学教学阶段，教师的教学水平决定课堂教学的质量，高素质的教师对课堂教学重要性不必过多赘述.想要让数形结合思想更好地运用于小学数学教育的过程中，首先必须从源头出发，切实提高教师对数形结合思想的理解和掌握程度，同时提高教师的作图水平.为此，学校相关部门有必要组织教师进行专项培训，以提高教师的相关能力.随着时代的进步与经济的发展，不断更新教育理念也是当代教师的要求之一.

2.引导学生从基础性习题着手

小学阶段的学生在理解题意能力和知识储备上都有限，不能快速总结出有效的题干信息和概括出较为抽象的数学概念.故而，教师在使用数形结合思想引导学生认知和判断数学语言、理解抽象的数学概念时，应该从基础性习题着手.降低例题的难度，将重点放在数形结合思想的应用上.当学生对数形结合思想的运用达到一定的熟练程度时，教师再视情况增加例题的难度，最终提高学生运用这一思想的能力.

3.带领学生动手操作，将数字“实物化”

在引导学生运用数形结合思想解决实际问题时，教师还可以带领学生动手操作，将题干中的有效信息转化为更加直观的实物.以下述题目为例：现有一张长方形纸条，第一次剪去它的1/2.，第二次剪去剩余部分的1/2.，这时，剩下的部分占原纸张的几分之几？显而易见，在此类题目中，学生利用上述方法能更加直观地找出一般性的解题思路，并且能够更加直观地理解分数乘法运算规律.因此，在运用数形结合思想解决实际问题时，在条件允许的情况下，学生可将题干中的有效信息转化为实物，从而更加直观地解决此类问题.

4.促进数形结合有机融合

形是数的直观呈现，数是形的逻辑表达.教师要引导学生将形象思维与逻辑思维有机结合起来，做到数中有形、形中有数，提高辩证思维能力.

如利用面积模型推导计算公式：有一个边长为a的正方形，将它的边长增加b，得到一个边长为(a+b)的正方形.学生自主分割图形，发散思维，通过数与形的对应关系印证结果，感受数学的魅力.因为面积相等，所以可以证明(a+b)2=a2+2ab+b2.教师引导学生利用面积模型来推导完全平方公式，感受用数形结合的直观性与简捷性，提高数学思维能力.数形结合实质是将抽象的数学语言与直观的图形联系起来，使抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，揭示数和形之间的内在联系.

如著名的“鸡兔同笼”问题.鸡兔同笼，共有8个头、26条腿，鸡、兔各多少只？

分析：这道题目可以用两个长方形来表示.如图1，a表示兔的只数，b表示鸡的只数，a与b的和是8，即鸡兔共有8只.右边的2表示每只鸡有2条腿，左边4表示每只兔有4条腿.小长方形表示鸡的腿数,大长方形表示兔的腿数，两个图形的面积之和26表示鸡兔一共有26条腿.

图1

如图2，假设全是兔，腿的总数是4(a+b)，比实际总腿数多2b条，所以4(a+b)=26+2b，即4×8=26+2b，b=3.

图2

同理，如图3，假设全是鸡，腿的总数是2(a+b)，比实际总腿数少2a条，所以2(a+b)=26-2a，即2×8=26-2a，a=5.

图3

当“鸡兔同笼”与数形结合有机融合，思维过程就一目了然了.

六、结 论

数形结合是小学数学教学中的重要数学思想之一，利用数形结合思想解决相关问题可以帮助学生建构具体、形象的数学概念.虽然在此过程中仍然存在一些问题，但是数形结合思想在小学数学教学中的重要性是不言而喻的.随着时代的发展,处于教学一线的教师要不断增加自身的知识储备，以求达到良好的教学效果.