旋转盘面上静摩擦力变化问题的讨论

孙林源

习题讲评教学是高考复习过程中最为常见的课型之一，习题讲评的效果优劣直接影响课堂教学的效果，在高三教学听课调研活动中，常看到教师就题论题，蜻蜓点水，对试题讲不清、讲不透：学生看似听着明白，但试题一换包装，学生照样不会.究其原因还是课堂过多关注知识与技能训练，对学生能力的培养做的不够，在习题讲评中立足试题，关注变式，追根究底，揭示本质，突显高阶思维能力的培养;善于运用分析、综合、评价、反思的教学手段改进课堂教学，助力核心素养的培育.

静摩擦力是高中物理比较难的知识点之一，因其产生的原因是由于物体间具有相对运动的趋势，而又未发生相对运动，因而在判断起来难度较大.通常解决问题的做法是假设法，假设两个物体之间的接触面光滑，进而判断出物体之间相对运动的方向，以此来判断静摩擦力的方向;而其大小则是根据平衡条件或者牛顿第二定律列式子进行求解.但是遇到与圆周运动结合的题目，处理起来又比较麻烦，尤其是静摩擦力大小方向均会随着圆周转动而发生变化的題目，学生更加迷茫，理解起来也比较难，本文就水平转动转盘上静摩擦力变化问题进行重点讨论，试着总结解决此类问题的方法，如有不当之处，敬请批评指正.

例题如图l所示，一水平圆形转盘上放置有两木块A、B，质量都为m，距圆心O的距离分别为2r和r.两木块与转盘之间的动摩擦因数均为μ，两木块之间用一根不可伸长的轻绳连接，开始时轻绳处于水平状态但无拉力.现转盘绕圆心开始缓慢加速（在任意时刻均可近似认为是匀速转动），设木块与圆盘之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，轻绳可承受的拉力足够大，重力加速度为g.

（1）为使两木块与转盘始终保持相对静止，试求转盘角速度的最大值ωm;

分析 开始时转盘缓慢转动，转盘对木块A、B的静摩擦力都可以提供木块A、B做圆周运动的向心力，A、B之间的轻绳处于水平但无拉力，此时木块A、B的静摩擦力不相等，A在外侧，所需要的向心力较大，A所受的静摩擦力较大，这时是不是随着转盘角速度的增大，一定是木块A先达到最大静摩擦力？（你确定吗？）

假设木块A先达到最大静摩擦力，此时转盘的角速度为ω1

由此可见，当角速度ω>ω1，时，随着角速度的逐渐增大，木块B所受的静摩擦力FB将逐渐减小，（注意此时木块A所受的静摩擦力达到了最大静摩擦力）

会不会木块B所受的静摩擦力保持不变，木块A所受的静摩擦力随转盘角速度的逐渐增大而逐渐增大呢？显然不会！（因为此时木块，4所受的静摩擦力达到了最大静摩擦力，不可能再随着转盘角速度的逐渐增大而再增大了.）

故木块A在这两个时刻所受到的静摩擦力大小之比为1：2.

点评本题关键之处在于判断木块A、B所受静摩擦力谁先达到最大，随轻绳被拉紧后，谁的静摩擦力会发生变化以及如何变化的问题，需要认真讨论，可采用假设法进行推理;经过上述过程分析之后，题目解答就清晰明了.

变式1如果题干不变，请计算木块B在这两个时刻所受到的静摩擦力大小之比为多少？

思考 你认为难点是什么？木块B所受静摩擦力的方向如何？变化了没有？大小怎么计算？请思考一下.

解析显然，题目变形后，本质没变.只是问法变化，难点就是木块B所受静摩擦力会随着转盘角速度的增大而发生变化，其大小会先增大，再减小，再反向增大;方向是先指向圆心，后变为背离圆心，

点评 木块B所受静摩擦力的方向变化，是解决这道题必须要思考的问题.由于不知道角速度为多少时，木块B的静摩擦力会发生变化，因此求解时，要采用假设法进行分析;如果结果算出静摩擦力为正值，说明假设成立;如果算出来为负值，必须进行说明静摩擦力的方向与假设的方向相反，同时，会关注到木块A的静摩擦力不变的事实，这为精确计算做好了铺垫.（当然，根据上面的分析是可以求出木块B静摩擦力为零时转盘的角速度的具体值的，你可以试试看.）

是不是觉得这类题目的分析，你一定掌握了吧！真的吗？试试下面的改编题，

由于分析此类试题关键问题在于题干分析与讨论，对所设问的问题回答不算难事，因此下面的题目改编，就重点关注题干的改编上.

改编如图4所示，一水平圆形转盘上放置有两木块A、B，A的质量为m，B的质量为3m;距圆心O的距离分别为2r和r.两木块与转盘之间的动摩擦因数均为肛，两木块之间用一根不可伸长的轻绳连接，开始时轻绳处于水平状态但无拉力，现转盘绕圆心开始缓慢加速（在任意时刻均可近似认为是匀速转动），设木块与圆盘之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，轻绳可承受的拉力足够大，重力加速度为g.

试分析两木块与转盘始终保持相对静止的运动过程，并求出转盘角速度的范围.

分析开始时转盘缓慢转动，转盘对木块A、B的静摩擦力都可以提供木块A、B做圆周运动的向心力，A、B之间的轻绳处于水平但无拉力，此时木块A、B的静摩擦力不相等，A在外侧，所需要的向心力较大.A所受的静摩擦力较大.

不妨换一下研究对象进行分析，

假设木块B先达到最大静摩擦力，此时转盘的角速度为ω1，

是不是这样分析：当角速度ω>ω1时，随着角速度的逐渐增大，木块B所受的静摩擦力Fa将逐渐增大.（因为此时木块，4所受的静摩擦力达到了最大静摩擦力）直到木块B的静摩擦力也达到了最大，随后平衡系统被打破，

请问情况真的是这样吗？请画出此时的木块A.B的状态示意图，仔细想一想木块A、B以后将会如何运动呢？

疑惑如图5所示为此时木块A、B的状态图，

木块A、木块B同时都达到了最大静摩擦力，其最大静摩擦力方向都指向圆心，那么转盘加速度再增大时，不就是木块A、木块B都有背离圆心向外运动的趋势吗？轻绳会不断拉紧，只要轻绳没有被拉断，木块A、B系统永远不会有滑动！系统永远会保持相对静止！这是真的吗？

这个问题可以通過实验去检验.经过真实的实验操作，会看到，只要转盘的角速度增大到某一数值时，木块A、B系统的相对平衡就会被打破.并不会按照上述的分析，转盘的角速度可以无限大时，系统还会保持相对平衡.

那么，问题出现在哪里呢？你是不是也觉得分析无懈可击呢？

解惑 审视一下解题过程，应该会找到问题出现的地方可能是：

仍按照前面分析思路进行这样的假设，假设木块A所受静摩擦力不变（因为此时木块A静摩擦力恰好达到了最大，所以认为是不变！）.物块B所受静摩擦力会随着转盘角速度的增大而继续增大！那么，会不会存在这个可能呢？木块B的静摩擦力保持不变！随着转盘角速度的逐渐增大，木块A的静摩擦力逐渐减少呢？

点评 通过例题和改编题的分析不难看到，这类试题分析的难度较大，由于静摩擦力会随着转盘角速度的变化而变化，并且题目条件发生改变时，对于哪个木块的静摩擦力会发生变化，那个木块的静摩擦力不会变换，判断起来有很大的难度，迷惑性太大了！

怎么办？总不能就题论题吧？是不是总感觉有某种规律性的东西在呢？

归因对比例题和改编题，不难发现它们的不同之处在于：木块所受的向心力不一样：

例题中：mArAω22>mBrBω2且A在外，B在内.整个系统随着转盘角速度的增大，所需要的向心力也在增大，系统提供的静摩擦力也随之增大;从供需关系上看，首先是木块B先满足需求，后是木块A满足需求，当两者都满足需求时静摩擦力也恰好达到最大，系统相对平衡就会打破，系统将会沿着BA方向移动.

改编题中：mArAω2

可不可以大胆地这样推测：当mArAω2=mBrBω2时，系统将保持相对平衡，不会移动;直至轻绳被拉断为止.

这是不是可以作为一个结论去应用呢？

验证观察图7的几幅图片，直观的运用上面结论去判断，然后再深入分析一下，检验结论是否正确，判断结果图7a满足mArAω2< mBrBω2，所以系统必然最后沿AB连线方向移动，系统相对平衡被打破;其过程是随着转盘角速度的增大，木块静摩擦力都增大，一定是最外面的木块A先达到最大静摩擦力;随后转盘角速度的增大，轻绳产生拉力，木块B静摩擦力保持不变，木块A的静摩擦力方向不变先逐渐减小到零，后静摩擦力方向反向，大小逐渐增大，增大到最大静摩擦力;后随转盘角速度再增大，木块B的静摩擦力接着逐渐增大，直到达到最大静摩擦力，随后系统相对平衡打破，系统将沿AB方向移动，

图7b满足mArAω2< mBrBω2，所以系统必然最后沿AB连线方向移动，系统相对平衡被打破：其过程是随着转盘角速度的增大，木块静摩擦力都增大，一定是最外面的木块B先达到最大静摩擦力：随后转盘角速度的增大，轻绳产生拉力，木块B静摩擦力保持不变，木块A的静摩擦力方向不变先逐渐减小到零，后静摩擦力方向反向，大小逐渐增大，增大到最大静摩擦力;随后系统相对平衡打破，系统将沿AB方向移动，

图7c满足mArAω2>mBrBω2所以系统必然最后沿BA连线方向移动，系统相对平衡被打破：其过程是随着转盘角速度的增大，木块静摩擦力都增大，一定是最外面的木块B先达到最大静摩擦力;随后转盘角速度的增大，轻绳产生拉力，木块A静摩擦力保持不变，木块B的静摩擦力方向不变先逐渐减小到零，后静摩擦力方向反向，大小逐渐增大，增大到最大静摩擦力;后随转盘角速度再增大，木块A的静摩擦力接着逐渐增大，直到达到最大静摩擦力，随后系统相对平衡打破，系统沿BA方向移动.

通过以上讨论，希望能给大家带来一定的启发.当然，也可能有一些不太准确的说法，敬请提出批评.