螺栓法兰结构双连接面耦合振动分析

孙伟程， 关振群， 潘嘉诚， 曾 岩

(大连理工大学 工程力学系/工业装备结构分析国家重点实验室，大连 116024)

广泛应用于机械、航空航天等领域的螺栓法兰连接结构，是航空航天箭体结构舱段间的主要连接形式。由于螺栓法兰对接面的存在令舱段结构间丧失了连续性，导致整体结构动力学特性复杂[1-2]，因此需要开展不同动力学载荷工况下螺栓法兰连接结构的非线性振动分析，以便获得更精确的整体结构动力学特征。

当前，对螺栓法兰连接结构的动力学研究多集中在建模方面，以数值仿真分析其非线性响应特性。Luan等[3]将拉压双线性刚度弹簧引入到螺栓法兰连接结构模型中，将复杂的模型简化为两自由度弹簧-质量系统，发现螺栓法兰连接结构横纵耦合振动关系，并由此阐释纵向和横向运动耦合的机理。在此基础上，Lu等[4-5]引入横向自由度研究弯扭剪耦合作用下含剪力销的螺栓法兰连接结构振动特性，研究不同锥角和装配间隙对螺栓最大拉力的影响，指出剪力销的最佳角度设计区间及装配间隙。蒋国庆等[6-7]分析了不同几何参数、模型网格及接触参数对螺栓法兰整体连接结构仿真精度及计算效率的影响，采用力状态映射法对简化动力学模型进行参数辨识，获取较高的模拟精度。Tian等[8-11]对冲击载荷下螺栓法兰连接结构失效过程进行研究，分析螺栓法兰连接结构失效形式，发现螺栓组呈现序列失效模式，而单个螺栓呈“拉弯耦合”的失效形式。Li等[12]建立薄壁圆柱壳连接结构的半解析模型，考虑螺栓法兰连接摩擦特性及界面状态，分析结构频率特性。潘嘉诚等[13]建立考虑局部接触分离的螺栓法兰连接结构模型，研究螺栓法兰连接结构分离阶段的刚度非线性特征。聂肇坤等[14-15]提出可表征箭体舱段连接结构非线性特征的模型，由此基于静力分析或静载试验识别参数，建立火箭结构总体的横纵耦合动力学分析模型。上述研究主要针对单一连接面非线性特征对动力学响应的影响进行分析，而实际结构如三级运载火箭等常采用至少两个连接面的螺栓法兰结构构成整体结构动力学分析模型，因此，有必要开展多连接面非线性的螺栓法兰连接结构非线性动力学研究。

本文基于螺栓法兰连接结构的拉压双线性弹簧模型，建立双连接面结构的四自由度弹簧—质量系统等效模型，研究双连接面非线性特征对结构横纵耦合振动的影响。在忽略接触面相对滑动且假设刚性接触的条件下，分析系统非线性动力学特性，研究两个连接面具有不同非线性参数时，不同载荷下系统各位移响应之间的相互影响，并讨论两连接面之间不同刚度比、质量比等参数条件对位移响应幅值的影响。

1 螺栓法兰连接结构模型

为研究如图1所示典型双连接面的螺栓法兰连接结构在一端固支时的非线性动力学响应特性，假设弹性小变形阶段的螺栓法兰连接结构刚度具有拉压不同的双线性特征(如图2)，相对于连接结构部分，被连接柱壳刚度足够大而可以近似为刚体。因此，两个连接面上都采用拉压双线性刚度的弹簧单元表征连接刚度，并忽略接触面相对滑动。设连接面处于纵向拉伸状态时，此弹簧形变δ大于0、刚度为kt；而连接面处于压缩状态时，此弹簧形变δ小于0、刚度为kc，可见第i个连接面处的第j个弹簧刚度kij可表示为

(1)

图1 典型螺栓法兰结构及其建模Fig.1 Typical bolted flange structure and the model

图2 非线性刚度Fig.2 Bi-linear stiffness

由此，得到双连接面的螺栓法兰连接结构四自由度简化动力学模型(如图3)。其中，下层弹簧下端为固支边界条件，下层弹簧另一端与部段相连，上层弹簧两端均与部段相连，并引用如下假设：弹簧变形始终为弹性小变形；部段近似为刚体，连接面为刚性面；部段形心与质心重合于图3所示连接面中心点，且连接面中心仅有纵向位移。各部段刚体质量为M1、M2，转动惯量为J1、J2；第1个连接面为下连接面，两个弹簧刚度为k11、k12；第2个连接面为上连接面，两个弹簧刚度为k21、k22；各连接面上弹簧间距为b；下连接面中心点O1纵向位移为u1、相对中心点O1的下连接面转角为θ1，上连接面中心点O2纵向位移为u2、相对中心点O2的上连接面转角为θ2。因弹簧刚度非线性，结构在横向冲击下，两侧弹簧形变不同会引起刚体转动。

图3 四自由度质量-弹簧系统Fig.3 4-DOF mass-spring system

已知系统动能和势能可表示为

(2)

(3)

(4)

基于拉格朗日方程，根据动能公式(2)与势能公式(3)可推导出如下的四自由度动力学控制方程：

(5)

式中：y=[u1,u2,θ1,θ2]T，F=[F1,F2,F3,F4]T；假设系统阻尼项为阻尼系数ζ的线性模态阻尼，且第i阶自由度主频为ωi，则有

(6)

(7)

(8)

(9)

由上述公式可知，质量阵(6)有多个质量耦合项，且刚度阵(8)各元素需要通过式(1)、(4)和(9)计算，其非线性特征源于式(1)的弹簧刚度，且与多个位移响应耦合(如式(4)所示)。

2 动力学响应分析

本节以龙格-库塔法研究式(5)系统在冲击或谐波载荷下的非线性响应(冲击载荷通过指定初速度施加)，时间步长为0.000 1 s；为开展定性研究，模型参数和加载工况参数如表1所示。

表1 模型参数Tab.1 Model parameters

2.1 给定初始角速度的无阻尼自由振动响应

(a) u1(实线)和u2(虚线)

(b) θ1(实线)和θ2(虚线)图4 无阻尼自由振动位移响应Fig.4 Displacement responses of free vibration without

(a) u1(实线)和u2(虚线)

(b) θ1(实线)和θ2(虚线)图5 无阻尼自由振动频率响应Fig.5 Frequency responses of free vibration without

2.2 给定初始纵向速度的无阻尼自由振动响应

(a) 位移响应

(b) 频率响应图6 系统纵向响应(u1, 实线; u2, 虚线;Fig.6 Vertical response of the system (u1, solid line; u2,

可见，系统对横向载荷或转角激励更敏感，考虑到弯剪破坏是更常见的螺栓法兰连接柱壳结构失效形式，后文只讨论施于系统角位移上的谐波激励问题。

2.3 谐波激励下的阻尼系统响应

基于工程经验及振动能量耗散效率的综合考虑，取初始阻尼系数ζ=0.25，设F=[0, 0,F3, 0]T，系统方程(5)施加定频谐波激励：

F3=sin(2πft)kN·m

(10)

设式(10)中的频率f=8 Hz且初位移及初速度皆为0时，由图7可知计算到5 s后，自由振动衰减完毕，系统进入稳定的强迫振动状态。将稳态响应进行傅里叶变换得到图8的频响曲线，由此发现在8 Hz谐波激励下，系统纵向运动产生16 Hz和32 Hz的频响峰值，且16 Hz频率上幅值最大，倍频的产生显示系统发生超谐波共振。上下两部段的响应频率在当前激励下几乎一致，均发生超谐波共振；而上层纵向响应幅值被一定程度放大，这与无阻尼自由振动结果类似。由图9相图可知，位移响应均为准周期运动，与图8频响结果一致，响应中含多个频率成分。

图7 位移u1时程响应Fig.7 Time history response of displacement u1

(a) 位移响应(u1)

(b) 转角响应(θ1)

(c) 位移响应(u2)

(d) 转角响应(θ2)图8 谐波激励下的系统频率响应(f=8 Hz，ζ=0.25)Fig.8 Frequency response of system under harmonic excitation (f=8 Hz，ζ=0.25)

图9 系统响应相图(f=8 Hz，ζ=0.25)Fig.9 Phase diagram of system response(f=8 Hz，ζ=0.25)

若式(9)中的频率f=16 Hz，所得频率响应结果见图10所示：下层部段纵向位移响应能量集中在主频10.658 Hz上，转角位移响应能量则集中在主频5.329 Hz上，产生亚谐波共振；上层部段转角响应幅频特性与下层部段类似，但是纵向位移响应的幅频特征较复杂，呈多峰值形态，多频叠加现象明显。在图11给出的相图中，能发现各自由度响应仍为准周期振动，但在不同周期间切换，呈现出混沌吸引子形态。

(a) 位移响应(u1)

(b) 转角响应(θ1)

(c) 位移响应(u2)

(d) 转角响应(θ2)图10 谐波激励下的系统频率响应(f=16 Hz，ζ=0.25)Fig.10 Frequency response of system under harmonic excitation (f=16 Hz，ζ=0.25)

图11 系统响应相图(f=16 Hz，ζ=0.25)Fig.11 Phase diagram of system response(f=16 Hz，ζ=0.25)

将阻尼系数ζ增大到0.8，并令谐波激励频率f=8 Hz且初始位移及初速度皆为0。可以看出系统快速进入强迫振动阶段，上下两个部段的纵向位移响应之间及二者转角位移响应之间都存在π/2的相位差(如图12所示)，下部段的能量传至上层，交替产生峰值。由图13的频响结果中，在8 Hz的谐波激励下，产生转角响应8 Hz、纵向位移响应16 Hz和32 Hz的超谐波共振。在图14的相图中也能发现稳态响应有一定的周期性。

(a) u1(实线)和u2(虚线)

(b) θ1(实线)和θ2(虚线)图12 谐波激励下的系统位移响应(f=8 Hz, ζ=0.8)Fig.12 Displacement response of system under harmonic excitation (f=8 Hz，ζ=0.8)

(a) 位移响应(u1)

(b) 转角响应(θ1)

(c) 位移响应(u2)

(d) 转角响应(θ2)图13 谐波激励下的系统频率响应(f=8 Hz，ζ=0.8)Fig.13 Frequency response of system under harmonic excitation (f=8 Hz，ζ=0.8)

图14 系统响应相图(f=8 Hz，ζ=0.8)Fig.14 Phase diagram of system response(f=8 Hz, ζ=0.8)

其他初始条件不变，在阻尼系数ζ=0.8且谐波激励频率f=16 Hz时，由图15和图16可知，系统纵向位移响应同时存在10.658 Hz和21.317 Hz的亚谐波和超谐波共振，而转角位移响应则出现5.329 Hz的亚谐波共振。由图17可知，上下两部段的转角位移响应相图均为双吸引子的倍周期运动，且为对称结构。

(a) u1(实线)和u2(虚线)

(b) θ1(实线)和θ2(虚线)图15 谐波激励下的系统位移响应(f=16Hz, ζ=0.8)Fig.15 Displacement response of system under harmonic excitation(f=16Hz，ζ=0.8)

(a) 位移响应(u1)

(b) 转角响应(θ1)

(c) 位移响应(u2)

(d) 转角响应(θ2)图16 谐波激励下的系统频率响应(f=16 Hz，ζ=0.8)Fig.16 Frequency response of system under harmonic excitation(f=16 Hz，ζ=0.8)

由此可知，谐波激励下的双连接面非线性系统响应对于载荷频率和阻尼大小十分敏感，在特定载荷条件下存在变周期的现象，因此在多连接面的螺栓法兰连接结构建模分析中，除了要考虑载荷频率特性之外，还需要额外关注实际工况下结构阻尼的影响。

3 各部段参数对系统的影响

3.1 刚度比对系统响应的影响

设上下两个连接面上弹簧压缩模量kc1和kc2相同，改变二者拉伸模量的比值kt2/kt1的大小可得到如图18所示的系统响应幅值变化图，而改变二者拉伸模量的比值kt1/kt2的大小则得到如图19所示的系统响应幅值变化图。图18中，当刚度kt2/kt1减小时，上层的纵向和转角位移幅值总体呈增大的趋势，但在特定比例区间会明显减小，比如在刚度比kt2/kt1=1/2时，系统纵向位移幅值最大，在刚度比kt2/kt1=1/5时，系统转角位移幅值最大，而刚度比kt2/kt1的变化对下层纵向和转角位移幅值影响不大。图19中，当刚度比kt1/kt2减小时，下部段纵向和转角位移幅值逐渐升高，而上部段纵向位移幅值逐渐降低，上部段转角位移幅值总体逐渐降低，但在刚度比kt1/kt2介于1/5至2/5之间时，上部段的转角位移幅值会放大；刚度比kt1/kt2=7/10时，上下部段的纵向位移幅值和转角位移幅值均相等。

(b) θ1(实线)和θ2(虚线)图18 不同刚度比kt2/kt1下的系统最大位移及转角Fig.18 Displacement amplitude of the system with different stiffness ratio kt2/kt1

(a) u1(实线)和u2(虚线)

(b) θ1(实线)和θ2(虚线)图19 不同刚度比kt1/kt2下的系统位移幅值Fig.19 Displacement amplitude of the system with different stiffness ratio kt1/kt2

因此，系统上下部段的刚度比会显著影响系统位移幅值，进而影响等效弹簧最大拉力值。整体上弹簧拉力与刚度比并非严格单调关系，而是特定比例会增大拉力值，这在整体连接结构设计中不应忽视，这一点亦可成为减振和提高安全裕度的新手段。

3.2 质量比对系统响应的影响

如图20所示，当上部端质量增大而下部段质量不变时，令部段质量比m2/m1增加时，两部段纵向位移幅值都逐渐增大，而转角位移幅值倾向于减小；在m2/m1=1/2时，上部段转角位移幅值最小，而质量比m2/m1=7/20时，上部段转角位移幅值最大。在图21中，当下部端质量增大而上部段质量不变时，令部段质量比m1/m2增加，发现下部段纵向和转角位移幅值变化较小，而上部段纵向位移幅值随之减小；上部段转角位移幅值先增后减，且在质量比m1/m2=9/20时达到最高。

(a) u1(实线)和u2(虚线)

(b) θ1(实线)和θ2(虚线)图20 不同质量比m2/m1下的系统位移幅值Fig.20 Displacement amplitude of the system with different mass ratio m2/m1

(a) u1(实线)和u2(虚线)

(b) θ1(实线)和θ2(虚线)图21 不同质量比m1/m2下的系统位移幅值Fig.21 Displacement amplitude of the system with different mass ratio m1/m2

由此可见，多连接面的螺栓法兰连接结构中，不同位置的刚度特性与质量特性共同影响了响应幅值的变化趋势，在此类结构设计及动力学分析校核工作中，不能仅考虑某一方面的参数影响，而需充分讨论所有因素可能引发的响应放大现象。

4 结 论

本文基于双线性弹簧模型和四自由度简化动力学模型，对双连接面的螺栓法兰连接结构进行了动力学响应分析，研究不同载荷作用下的非线性动力学响应特征，可以为后续试验设计提供了设计基础和理论支持。本文研究的主要结论如下：

(1) 在各连接面非线性刚度的影响下，不但连接面自身的纵向位移与转角位移相互影响，而且两个连接面之间的位移响应也相互耦合。下部结构受横向激励时，上部结构出现与下部结构相比更大的纵向位移响应。可见，多连接面非线性的螺栓法兰结构设计时不能仅考虑载荷作用处的响应，其远端结构的响应放大效应也必须考虑。

(2) 双连接面的螺栓法兰连接结构的谐波激励位移响应受激励频率的影响，特定谐波激励频率下结构响应会产生超谐波及亚谐波共振，发生变周期现象。

(3) 两个连接面间的刚度比及两部段之间的质量比都会显著影响系统位移响应幅值，虽然对于不同类型位移响应的影响较为复杂，但在多连接面的螺栓法兰结构设计中加以考虑时，仍可通过调整刚度比和质量比来降低位移响应幅值。