基于能量守恒修正的混凝土损伤本构模型

秦毅

摘要：为了改进传统的混凝土损伤本构模型，采用TAW-2000试验系统对养护3 d和28 d的混凝土试样进行了三轴力学特性试验，并通过混凝土加载过程中的能量计算方法，确定了混凝土变形过程中的总能量、弹性能和耗散能，根据能量守恒原理建立了可描述混凝土应力-应变关系的修正本构模型。通过模型曲线的对比验证了所建立本构模型的合理性和优越性，并明确了模型参数的物理意义。结果表明：以往本构模型曲线在混凝土应力-应变曲线峰后阶段具有较大的偏离度，而修正的本构模型曲线在应力-应变曲线峰后段的吻合度要更优。模型参数γ可较好地反映混凝土的脆性和延性特征，模型参数n可较好地反映混凝土的强度特征。

关 键 词：混凝土损伤本构模型; 能量守恒原理; 敏感性; 脆性; 延性; 强度特征

中图法分类号： TD712

文献标志码： A

DOI：10.16232/j.cnki.1001-4179.2022.05.029

0 引 言

基于经典力学理论构建的本构模型无法很好地描述岩土类材料的应力-应变关系。在20世纪初期，学者们在描述金属材料变形特性时引入了损伤的概念，在后续的发展中将损伤理论与经典力学理论相结合，进而形成了较为完善的损伤力学体系，这为研究岩土类和混凝土材料的力学性质奠定了一个良好的基础[1-3]。混凝土作为一个由固体骨架和内部空隙等组成的介质，其应力-应变关系和变形破坏机理较为复杂。要描述混凝土的力学规律，需要选取一个合适的损伤内变量，此变量应能反映混凝土内部性质的变化规律，而且其确定方法要简单可行，进而所构建出的损伤演化模型才可以描述混凝土的损伤演化规律以及变形特性。同时，根据热力学定律[4-5]，混凝土在加载过程中，变形始终伴随着能量的释放与积聚，且通过能量耗散理论来解决材料损伤问题的研究成果也越来越多，故采用能量守恒原理建立的损伤本构模型可以较好地反映岩土体的损伤破坏机制。

国内外学者对于统计损伤模型的研究，主要是通过通过弹塑性理论、连续性损伤理论等建立损伤本构模型。例如，徐卫亚等[6]通过对岩石进行三轴压缩试验，分析岩石在应力作用下的弹塑性应变变化规律以及岩石内部缺陷发育引起的损伤演化规律，并基于概率论和损伤力学建立关于弹塑性应变的统计损伤本构模型。Lai等[7]在研究岩石峰后应变软化试验结果的基础上，通过引入损伤阈值的概念来建立考虑岩石峰后应变软化特性的损伤本构模型。Li等[8]认为现有屈服准则不能较好地描述多相冻土的强度特性，采用能量守恒原理对Mohr-Coulomb准则进行改进，进而建立了一种新型的冻土损伤本构模型。曹文贵等[9]认为岩石内部空隙对其变形特性具有重大影响，故通过微光手段分析了空隙对混凝土体变形破坏机理的影响，进而建立了考虑空隙变形的损伤本构模型。王苏生等[10]为了研究混凝土孔隙与损伤之间的关系，构建了一种以孔隙体积变化量为内变量的损伤变量模型，进而建立了考虑孔隙体积变化新型损伤模型。

上述研究成果只是基于传统理论建立损伤本构模型，未真正地考虑到混凝土在加载过程中能量变形破坏机理且无法真正揭示混凝土变形的本质。由于混凝土的加载破坏与损伤主要是由于内部储存的应变能达到混凝土单元的表面能时，储存在混凝土内部的应变能开始大量释放，最终导致混凝土单元发生破坏，同时，能量的释放与积聚也会影响混凝土的变形破坏。因此，本文基于能量守恒定律对传统混凝土损伤模型进行修正，可以使修正后的模型应力-应变关系更加接近于实际状况，可更好地反映混凝土加载过程中的损伤演化规律。

1 混凝土统计损伤本构模型建立

1.1 模型的建立

由能量守恒原理可知[11]，混凝土压缩过程中的能量守恒方程为

W=We+Wd（1）

式中：We为弹性能，MJ/m3;Wd为耗散能，MJ/m3。

本文试验应力满足以下关系：σ1>σ2=σ3，由广义胡克定律得出

ε1=1Eσ1-2μσ3（2）

式中：ε1為应变，%;E为弹性模量，GPa;μ为泊松比，无量纲;σ1，σ3为分别第一、第三主应力，MPa。

将式（2）进行变换得：

σ1=Eε1+2μσ3（3）

由于混凝土结构具有非均匀性，可将混凝土材料分为弹性变形部分和损伤变形部分。在损伤演化过程中通过引入连续性因子δ来表示弹性变形部分的等效应力[12]，则混凝土总应力为

σ1=σ′1+σD=Eδε1+2μσ3+σD（4）

式中：σ′1为等效弹性应力，MPa;σD为损伤体应力（残余应力），该值为残余阶段的应力-应变曲线对应的残余应力值，MPa;δ为连续性因子，无量纲。

而损伤变量D与连续性因子δ之间存在以下关系[13]：

D=1-δn（5）

式中：D为损伤变量;n为材料常数。

在三轴压缩条件下，外界对混凝土系统做功产生的能量W为

dW=dW1+dW3=σ1dε1+2σ3dε3（6）

式中：W1为轴向应变能，MJ/m3;W3为径向应变能，MJ/m3。

将式（4）代入式（6）中得到混凝土从外界吸收总能量W为

dW=Eδε1+2μσ3+σDdε1+2σ3dε3（7）

由文献[14-15]可知，弹性能的计算一般采用图1所示方法，即混凝土的弹性应变能为弹性部分的等效应力与相应应变所围成面积。

弹性应变能为

dWe=（Eδε1+2μσ3）dε1+2σ3dε3+12Eε21dδ（8）

在加载过程中消耗的耗散能Wd为

dWd=γdD+σDdε1（9）

式中：γ为耗能率，MJ/m3。

联立式（5）和式（9）得到耗散能与连续性因子之间关系为

dWd=-n（1-δ）n-1γdδ+σDdε1（10）

将式（7）～（10）代入式（6）中化简得到轴向应变与连续性因子之间关系：

E2ε21+2μσ3ε1=n（1-δ）n-1γ（11）

根据能量守恒原理将式（11）与式（3）和（5）联立化简，得出修正后的应力-应变关系为

σ1=Eε12+nγε11-δn-1（12）

参数δ是与应力和应变有关的变量，根据式（4）可得：

δ=σ1-2μσ3-σDEε1（13）

将式（13）代入式（12）中，得到：

σ1=Eε12+nγε11-σ1-2μσ3-σDEε1n-1（14）

1.2 模型参数确定

由图2中应力-应变曲线示意图可知[16-18]：混凝土在加载变形至峰值点时，存在以下几何关系① ε1=ε1c时，有σ1=σ1c;② ε1=ε1c时，有σ/ε=0。其中，ε1c为峰值点应变，σ1c为峰值点应力。

由条件（1）可知，在峰值点处存在以下关系：

σ1c=Eε1c2+nγε1c1-σ1c-2μσ3-σDEε1cn-1（15）

可以将式（15）简化，即：

σ1c=Eε1c2+nγε1can-1（16）

参数a可以表示为

a=1-σ1c-2μσ3-σDEε1c（17）

由条件（2）可知，在峰值点处存在以下关系：

dσdεε=ε1c=0（18）

将式（18）展开后，得到：

dσ1cdε1c=E2-nγan-1ε21c+σ1c-2μσ3-σDnγan-2Eε31c=0（19）

由式（19）可得：

γ=2nEε1c-2σ1c-2μσ3-σDE2ε31c=2nb（20）

其中参数b可以表示为

b=Eε1c-2σ1c-2μσ3-σDE2ε31c（21）

将an进行泰勒展开，得到：

an=1+nlna+on2（22）

将式（22）代入到式（16）中，得到：

2n2b（1+nlna）=aε1cσ1c-Eε1c2（23）

式（23）为关于未知参数n的一元三次方程。可通过方程求解确定出参数n值，再将参数n值代入到式（20）中得到参数γ值。

2 混凝土三轴室内试验

本文混凝土试样制备采用的配合比为水∶水泥∶砂∶石子=0.51∶1∶1.81∶3.68，制备出标号为C20混凝土。水泥采用P.O.32.5普通硅酸盐水泥，碎石采用取自鞍山矿区的煤矸石，将煤矸石破碎成粒径5～15 mm碎石，砂为普通河砂（中砂，粒径在5～15 mm），水为丹东自来水厂的普通自来水。按照上述配合比将混凝土制作成高为100 mm，直径为50 mm的圆柱体，在温度20 ℃和相对湿度90%的环境下进行养护，分别养护3 d和28 d。三轴压缩试验方案大致如下：① 将以50 N/s的加载速率把围压加载到预定值（围压分别选取0，0.5，1.0，1.5 MPa），必须在整个试验过程中维持围压不变;② 以50 N/s的加载速率增加轴压，直至混凝土试样应力达到峰值;③ 此时围压依然保持不变，持续施加轴向应变加载速率，直至混凝土变形进入残余变形阶段为止;④ 将围压和轴压进行卸载，取出混凝土试样后进行标记;⑤ 从数据采集系统中将试验数据导出、保存。

以养护3 d为例，三轴压缩试验结果如表1所列。

绘制出养护3 d和28 d混凝土的应力-应变曲线如图3所示。

由图3可知：混凝土在不同围压下的应力-应变关系曲线走向基本一致，但是养护3 d、围压为0 MPa时，混凝土的应力-应变曲线在峰值应力值为4.513 MPa，其他围压作用下混凝土的应力-应变曲线未出现这种情况，这可能是由于没有围压的束缚、试件养护时间过短且混凝土内部结构孔隙过大，使得混凝土在峰后承载力快速下降。混凝土的应力-应变曲线变形特性为：① 压密变形阶段，此时混凝土内部原有孔隙在外荷载作用下，开始逐渐闭合，使得应变变化不大，曲线基本重合，没有明显的偏离;② 弹性变形阶段，围压的增大使得应变受到束缚的程度加剧，导致随着偏应力的增大，轴向应变虽然继续增大，但是曲线开始出现明显的偏离;③ 塑性变形阶段，随着围压继续增大曲线偏离程度越大，且混凝土峰值点所对应的应力也越大;④ 峰后应变软化阶段，随着应变的逐步增大，应力开始迅速下降逐渐趋于平稳。

根据试验结果计算出本文所采用混凝土的强度参数值，采用Mohr-Coulomb准则来对第一主应力和第三主应力之间的关系进行拟合，得到第一主应力和第三主应力试样数据和拟合曲线的对比如图4所示。

由图4可知拟合直线与峰值强度轴的截距为5.427，拟合直线的斜率为4.757。根据莫尔应力可确定出混凝土的黏聚力c=5.918 MPa，内摩擦角φ=40.737°，且Mohr-Coulomb準则与试验数据具有较好的拟合度，拟合曲线和试验数据的相关性系数为0.992，残差平方和为0.202，说明本文选用此破坏准则描述混凝土强度特性是合理可行的。

3 混凝土损伤模型参数确定及模型验证

根据试验数据确定出该损伤本构模型中参数值见表2[8，19]，以养护3 d为例。

将表2中的参数值代入到修正后的损伤本构模型，绘制出该模型不同围压下的应力-应变曲线如图5所示。

从图5可知：模型曲线与试验数据拟合程度较高，且其相关性系数较大（均在0.90以上）;混凝土在不同围压作用下，模型曲线和试验曲线的对比规律基本一致，在峰前阶段曲线几乎重合，很好地描述了混凝土的线弹性阶段，对峰后阶段的应力-应变关系也有较好的描述。这表明该模型更加接近围岩实际的损伤破坏演化规律，可以较好地反映混凝土应力-应变变化关系。

为了体现出本文模型的优越性，采用文献[18]中的模型与本文模型进行对比，绘制出不同围压作用下模型对比曲线如图6所示。

由图6可知：文献[18]中的模型曲线与试验曲线也有良好的吻合度，但文献模型曲线对混凝土应力-应变曲线峰后阶段具有较大的偏离度，而本文建立的模型曲线与混凝土峰后应力-应变曲线的吻合度要高于文献的，且本文建立的模型可较好地反映混凝土在不同围压作用下应力-应变曲线的变化趋势。

为了使参数的物理含义较为明确，对文中引入的参数进行敏感性分析。以养护3 d、围压0.5 MPa试样为例。通过控制参数n，分析参数γ对应力-应变曲线的影响;通过控制参数γ，分析参数n对应力-应变曲线的影响，绘制出不同参数作用下混凝土的应力-应变曲线如图7所示。

由图7可知：随着参数γ的增大，在同一应变作用下混凝土的应力都是随着参数γ的增大而增大，且混凝土的应力-应变曲线的峰后特性越来越不明显，即随着参数γ的增大，混凝土的应力-应变曲线由应变软化逐渐向硬化转变，这说明参数γ反映了混凝土的脆性和延性特征。随着参数n的增大，混凝土应力-应变曲线变化有所区别，参数n越小混凝土的峰值强度越大，说明了参数n越小，混凝土抵抗变形破坏能力越强，即参数n反映了混凝土的强度特征。

4 结 论

（1） 针对现有混凝土损伤力学模型的局限性，根据混凝土加载过程中满足能量守恒定律的特点，对混凝土应力-应变关系进行改进，并考虑到损伤的本质就是能量积聚与耗散，以此建立了一种新型的混凝土损伤本构模型，使其应用范围更广。

（2） 模型曲线与试验数据拟合程度较高，说明该模型可以较好地反映混凝土应力-应变变化关系，更加接近混凝土的变形破坏规律。在峰前阶段曲线几乎重合，很好地描述了混凝土的线弹性阶段，对后期的塑性特性的非线性变化也具有较好的模拟效果。

（3） 混凝土的应力-应变曲线在围压为零时峰值应力值为4.513 MPa，其他围压作用下混凝土的应力-应变曲线未出现这种情况，这可能是由于没有围压的束缚、试件养护时间过短且混凝土内部结构孔隙过大，使得混凝土在峰后承载力快速下降。

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（编辑：郑 毅）

Concrete damage constitutive model based on energy conservation

QIN Yi

（Department of Civil Engineering，Eastern Liaoning University，Dandong 118003，China）

Abstract：

In order to study the deformation characteristics of concrete under different confining pressures and different curing cycles，the TAW-2000 test system was used to conduct triaxial mechanical property tests on concrete samples cured for 3d and 28d.The total energy，elastic energy and dissipated energy in the concrete deformation process were determined by the energy calculation method during the concrete loading process.According to the energy conservation principle，a constitutive model that can describe the stress-strain relationship of concrete was obtained.The comparison of model curves proves the rationality and superiority of the established constitutive model.The physical meaning of new model parameters is clarified.The results show that the previous models’ curves have a large deviation at the post-peak stage of the concrete stress-strain curve.However，the degree of fitting of the new model curve at the post-peak stage is higher.The model parameter γ can better reflect the brittleness and ductility characteristics of concrete.The model parameter n can better reflect the strength characteristics of concrete.

Key words：

concrete damage constitutive model;energy conservation principle;sensitivity;brittleness;ductility;strength characteristics