深化数学理解的四个立足点

摘 要 深度学习是一种理解性学习。为此，促进学生数学理解是深度学习的应然诉求。在教学中教师可以立足数学本质，在知识的生发点找出核心概念;立足儿童困惑，在认知的薄弱点辩明生本问题;立足知识体系，在概念的联系点引发深度思考;立足数学运用，在方法的应用点升华数学理解。因此，促进学生深化数学理解，发展数学素养。

关  键  词 数学理解 数学本质 知识体系 数学运用

引用格式 高飞.深化数学理解的四个立足点[J].教学与管理，2022（17）：44-46.

什么是数学理解？《义务教育数学课程标准（2022年版）》解释说，学生能够“描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象的区别和联系”[1]。哈佛大学教授柏金斯提出：“数学理解是一种综合能力，它不仅能够对概念构建清晰的心智表象，还能利用概念进行解释、证实、推断、联系，以及以一种超越知识和常规技能的方式进行应用。”由此可见，数学理解不仅要实现学生对所学知识“知其然，又知其所以然”的通透认识，而且要沟通所学知识与相关知识之间的联系，能应用所学知识分析数学现象、解决数学问题等。那么，教学中，如何找准教学立足点，深化学生数学理解呢？笔者从四个方面谈谈自己的做法。

一、立足数学本质，在知识的生发点找出核心概念

教师作为学生数学学习的组织者、引导者和合作者，能否深入认识教学内容的数学本质，影响着学生数学理解的深浅程度及其高低水平，其重要性不言而喻。为此，在解读教材阶段，教师应从所教学内容的核心是什么，所教学知识怎样用，与其他相关知识有怎样联系等方面，整体把握和理解教学内容的数学本质，这不仅是实施深度教学的基础，更是促进学生深度理解数学知识和方法的不二选择。

如苏教版《数学》三年级下册认识“一个整体的几分之一”[2]。在本质上，分数与“倍”都是表示两个数量之间的倍比关系。即当两个数量之间的倍比关系大于或等于1时，通常用“倍”表示;当两个数量之间的倍比关系小于1时，一般用分数表示。可见，不管是“倍”，还是分数，都与两个数量之间的“份数关系”直接相关。基于以上认识，在教学一个整体的几分之一时，可以先让学生“比一比，图1中绿带子和红带子的长度有什么关系？”接着，引导学生“比一比，图2中第二行桃子个数分别是第一行的几倍？你是怎样想的？”同时，辨别与解释“第一行每份桃子的个数不同，为什么第二行桃子个数都是第一行的2倍？”由此，通过复习“倍”入手，引导学生经历“无数量到有数量”，思辨两个数量之间的份数关系，促使学生跳出具体数量的思维窠臼，为接下来从份数关系出发思辨与认识一个整体的几分之一，激活学生原有认知结构中的固着点作准备。在此基础上，引导学生从份数关系的视角观察、比较、分析和交流，理解和掌握一个整体的几分之一的意义。比如，引导学生认识1/2的意义：“把6个桃子平均分成2份，每份桃子是总数的几分之几？”通过画图分一分、涂一涂。交流时，学生能够主动从份数关系的角度，辨析与阐明“每份桃子是总数的1/2”，并在此基础上，学生继续认识4个桃子的1/2和8个桃子的1/2，并进一步引导学生质疑、比较和分析“每份桃子的个数不同，为什么都能用  表示？”从而促进学生体会分数表示两个数量之间份数关系的本质，深刻理解1/2的意义。

二、立足儿童困惑，在认知的薄弱点辨明生本问题

奥苏伯尔指出：“假如让我把全部教育心理学仅仅归结为一条原理的话，那么我将一言以蔽之曰：影响学习的唯一最重要的因素，就是学习者已经知道了什么。要探明这一点，并据此而教。”任何数学概念、原理和公式等知识都是有相关经验背景的，所以学生既有的知识和经验是新知识学习的固着点。当然，对新知学习而言，学生已有的知识和经验可能具有促进作用，也可能产生负迁移影响。然而，不管是发挥正面经验的促进作用，还是引导学生经历负面经验的辨别、调整、改造和修正的思考过程，都可以促进学生的数学理解，达成深度教学目标。

如苏教版《数学》五年级上册“小数加减法”的笔算教学。对于小数加减法的笔算学习来说，学生已有的整数加减法、一位小数加减法的计算知识和经验是认知基础。然而，无论是整数加减法，还是一位小数加减法，计算时都可以做到末位对齐相加减。而学生首次学习笔算小数加减法，直接面对如“2.45+3.4”这样的不同数位的小数相加减，既有的计算知识和经验，势必会对不同数位的小数加减法的笔算学习产生无法回避的负迁移。为此，在准确诊断学生已有经验的基础上，教师直面学生可能出现的错误：末尾对齐计算（如图3左）。在板演学生交流原始思考方法的基础上，充分发挥学习共同体的作用，引导学生深入比较、分析、辨别和交流“这两种算法，哪种算法是正确的，为什么？”结果，无论学生从“元角分”的视角分析，认为“左边算法沒有做到相同单位对齐计算”，还是从计数单位的视角分析，认为“左边算法没有做到相同计数单位对齐相加”，都指向小数加减法“相同计数单位的数相加减”的计算本质。在此基础上，再通过比较“计算小数加减法和整数加减法有什么相同点”，沟通整数、小数加减法之间的联系，促进学生理解和掌握小数加减法的笔算方法，建构良好的认知结构，提升学生运算能力。

三、立足知识体系，在概念的联系点引发深度思考

数学知识体系是系统的、整体的和一致的。传统教学认为，系统是局部的和。而系统中各部分之间的联系，只有在理解各个部分知识的基础上才可以顺利实现。在这种观念影响下，一个完整的知识体系被分解为一个个独立的教学目标，离散的目标教学取代了整体领悟，从而制约了学生对数学知识与方法的整体建构和深度理解。由此，在教学中教师要从大概念统整的教学视角出发，把所教内容放置于整个知识体系中，从知识的整体性与一致性的角度考量和分析，引导学生通过结构化学习，突显所学内容的本质，沟通数学知识和方法之间的联系，促进学生达成数学理解的目标。

从表面上看，整数、小数和分数的四则运算“各不相同”，但是，如果从度量的视角统整与分析，就不难发现整数、小数和分数的四则运算之间联系密切。众所周知，整数、小数和分数加、减法的算理，都是相同计数单位的数相加减;整数、小数和分数乘法的算理，都可以看作计数单位的逐步累加;整数、小数和分数除法的算理，都可以认为是计数单位的逐步细分。由此可见，不管是整数四则运算，还是小数和分数四则运算，其实质都是“算一算，有多少个计数单位”。为此，在“数的运算”总复习时，可以从度量的角度出发，引导学生初步体验四则运算算理的统一性的特征，从而促使学生透过运算符号表象，触摸四则运算的共同本质。教学中，可以结合整数、小数和分数四则运算的具体算例，引导学生通过解构、比较、辨析和交流等活动，由点到面、由浅入深地探索与归纳“从计数单位的角度分析，整数、小数和分数加、减法的算理有什么关系？乘法、除法呢？”“整数、小数和分数四则运算的算理有什么联系？你发现了什么？”等问题。通过沟通整数、小数和分数四则运算算理之间的联系，促使学生领悟“整数、小数和分数四则运算，要么是计数单位的‘累加’（加与乘），要么是计数单位的‘细分’（减与除），都是算一算有多少个计数单位”的共同特征，助力学生初步体会计算的度量本质，进一步促进学生深入全面地理解“数的运算”的道理，发展学生的运算能力。

四、立足数学运用，在方法的应用点升华数学理解

格兰特·威斯金等人认为，理解包括能解释、能阐明、能应用、能洞察、能神入和能自知六个侧面。其中，能应用是指在新的、不同的、现实的情境中有效地使用知识。由此可见，一方面，学生能在新的、不同的、现实的情境中有效使用知识分析、判断和解释数学现象，灵活运用知识解决现实问题的先决条件是真正理解所学知识，仅凭记忆和模仿学习得到的知识技能很难具有迁移性;另一方面，这里的应用在两个方面不同于简单的知道和理解：一是不给学生具体的知识性提示，二是给出的问题是非常规性的。为此，学生面对新的问题情境或者解决现实生活中非常规的问题时，需要准确地辨别、筛选、再现和提取与相关情境相匹配的数学知识分析和解决问题。在此过程中，必然会进一步提升学生对相应知识的理解水平。因此，运用数学是巩固和提升学生数学理解的重要途径之一。

如苏教版《数学》三年级上册“周长认识”教学。在学生初步认识周长的意义的基础上，引导学生在应用周长概念分析和解决问题的过程中，巩固和提升对图形周长的意义的理解。

基本练习：算出下面各个图形的周长是多少。

通过练习和反思，让学生在计算体验和相互交流活动中，进一步明确图形一周边线的长即周长，就是指围成平面图形的所有边长的总和。

提升练习：你能用不同的方法算出下面各个图形的周长吗？

通过练习和比较，让学生在变与不变中体验基于图形的特征，虽然各种图形周长的计算方法是形式多样、变化多端的，但是求图形的所有边长的总和的实质是不变的，从而促使学生深刻认识周长的本质。

变式练习：王大爷用篱笆靠墙围成一个长方形的菜地，长是15米，宽是8米。求篱笆的长可能是多少米？

虽说“求篱笆的长可能是多少米”仍旧是与长方形周长相关的问题，但是学生要具体问题具体分析，基于对周长意义的实质性理解，合理、灵活地运用长方形周长的意义及其算法分析和解决问题，从而进一步提升学生对周长意义的理解水平。

綜上，学生分别经历了基本练习、提升练习和变式练习，在基于周长概念进行分析和解决问题的过程中，通过计算、比较、分析和交流等活动，不断深化对周长的认识，体验周长学习的价值。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育阶段数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022：181.

[2] 高飞.立足分数关系理解分数含义[J].小学数学教育，2022（04）：36-38.

[责任编辑：陈国庆]

*该文为江苏省教育科学“十三五”规划立项课题“基于深度学习的小学数学课堂教学案例研究”（D/2020/02/293）的研究成果