一类具有瞬时和非瞬时脉冲的p-Laplacian分数阶微分方程解的存在唯一性

王慧贤，王立波，高雨朦

(北华大学数学与统计学院，吉林 吉林 132013)

0 引 言

本文研究如下具有瞬时和非瞬时脉冲的p-Laplacian分数阶微分方程边值问题

(1)

分数阶微分方程是整数阶微分方程的推广，在反映物体某些性质时比整数阶模型更加精确.分数阶微分方程在粘弹性力学与流体力学、随机过程、混沌与湍流、控制系统等领域有着广泛的应用.瞬时脉冲条件是刻画事物状态瞬时变化的有效手段，能更精确反映事物的瞬时变化规律.非瞬时脉冲模型在糖尿病患者注射胰岛素、尿毒症患者进行血液透析等方面的研究有着重要的应用.具有瞬时及非瞬时脉冲效应的p-Laplacian分数阶微分方程是目前的一个研究热点，受到了诸多学者的广泛关注.2018年，Khaliq等[1]利用Lax-Milgram定理获得了具有非瞬时脉冲的分数阶微分方程

解的存在唯一性结果.2020年，周建文等[2]用变分直接方法研究具有瞬时和非瞬时脉冲的p-Laplacian分数阶微分方程

(2)

获得了问题(2)解的存在性结果.

受上述文献的启发，本文应用Browder定理，在具有瞬时和非瞬时脉冲效应及p-Laplace算子的情形下，获得了问题(1)解的存在唯一性结果.

1 预备知识

定义1令α∈(1/p，1]，p∈(1，+∞).定义空间

范数为

命题2[4]令α∈(0，1]，u∈AC[a，b]，则对任意的t∈[a，b]有

命题3[5]令α∈(0，1]，u、v∈Lp(a，b)，则

定义2[6]设u为区间[a，b]上的函数，α>0，则u的α阶左Riemann-Liouville导数为

u的α阶右Riemann-Liouville导数为

定义3[7]设Ω为N中开集.称函数f：Ω×→具有Carathéodory性质(简记为f∈CAR(Ω×))，如果：

(M)∀y∈，函数xf(x，y)在Ω上可测；

(C)对a.a.x∈Ω，函数yf(x，y)在上连续.

命题6[7]设Ω为N中开集.

(ⅰ)如果f：Ω×→在Ω×上连续，则f∈CAR(Ω×)；

(ⅱ)如果f∈CAR(Ω×)，φ：Ω→在Ω上勒贝格可测，则

F(φ)：xf(x，φ(x))，x∈Ω

为Ω上的可测函数.

命题7[7]令f∈CAR(Ω×)，φ：Ω→在Ω上勒贝格可测，F(φ)：xf(x，φ(x))，x∈Ω，p、r∈[1，∞).若存在g∈Lr(Ω)及c∈，使得

则

(ⅰ)对任意的φ∈Lp(Ω)有F(φ)∈Lp(Ω)；

(ⅱ)F：Lp(Ω)→Lr(Ω)为连续映射；

(ⅲ)F映Lp(Ω)中有界集为Lr(Ω)中有界集.

定理1[7](Browder定理) 令X为实的自反Banach空间.若算子K：X→X*满足如下条件：

(ⅰ)K有界；

(ⅱ)K半连续，即若在X中un收敛于u，则在X*中K(un)弱收敛于K(u)；

(ⅲ)K强制，即

(ⅳ)K是X中的单调算子，即

〈K(u)-K(v)，u-v〉≥0，

(3)

则方程

K(u)=f*

(4)

至少有一个解.此外，若∀u、v∈X，u≠v，式(3)不等号是严格的，则∀f*∈X*，式(4)有且仅有唯一解u∈X.

定义4若函数

满足问题(1)的方程和边界条件u(0)=u(T)=0，则称u为问题(1)的古典解.

(5)

则称u为问题(1)的弱解.

(6)

由u满足问题(1)的方程及边界条件，则有

(7)

由式(6)、 (7)可知u满足式(5).即若u为问题(1)的古典解，则u为问题(1)的弱解.

即泛函φ的临界点为问题(1)的弱解.

2 主要结果

证明：若u是问题(1)的古典解，则其显然是问题(1)的弱解.

(8)

由命题2～3可知

(9)

由式(8)、 (9)可得

这意味着

(10)

此外，由u∈Lp(si，ti+1]，有

因此

故

由式(5)、(10)有

从而有

(11)

(12)

由式(11)、(12)有

因此

(13)

由式(12)、 (13)可得

综上所述，u是问题(1)的古典解.证毕.

.

(14)

由Hölder不等式及命题5有

(15)

其中M1=max{g(t)|h(u(t))|：t∈(si，ti+1]，i=0，1，，n}.

由命题5有

(16)

其中M2=max{|Ii(u(ti))|：i=1，2，，n}.

由Hölder不等式及命题5有

K=J+G+H，

(17)

等价于算子方程

K(u)=f*

.

(18)

由引理1和式 (17)、 (18)知，问题(1)的古典解等价于(18)的解.

故算子J连续，因此算子J半连续.

又

故算子G连续，因此算子G半连续.

再由

及Ii(u)为连续函数，则有

故算子H连续，即算子H半连续.综上，算子K半连续.

下面证明K是单调算子.由h(u)、Ii(u)为连续的单调增函数，g∈C([0，T]，[0，+∞))有

由s在(0，+∞)上严格递增，有

特别地，当u≠v时，〈K(u)-K(v)，u-v〉>0.从而K是单调算子.

再证算子K强制.事实上，

从而有

3 例 子

(19)

显然问题(19)满足定理2的所有条件，故问题(19)有唯一解.