圆形或扇形薄板的横向振动问题(一) 圆心处的边界条件

吴崇试

(北京大学 物理学院，北京 100871)

《大学物理》等刊物上发表的一系列文章(见文献[1-5])，讨论了各种形状薄板的横振动固有频率问题.大约3年前，针对扇形薄板的问题，笔者曾经提出了质疑[6]，基本观点有两个方面：第一方面是关于边界条件，在扇形的情况下周期条件不适用，同时圆心处的边界条件似乎也存在问题.前者应该是基本的共识，无需进一步阐述，本文将对后者作比较仔细的分析，并提出圆心处边界条件的正确提法.第二方面是四阶偏微分方程的分离变量问题，这方面的内容，留待下一篇文章阐述.

1 圆形薄板圆心处原有边界条件的分析

本文之所以选择圆形薄板加以讨论，原因是这时可以应用周期条件，而且，为了简单起见，本文还只讨论边界固定情形下的圆形薄板横向振动问题，这样，我们可以专注于圆心处边界条件的正确选取.

在上述条件下，对于薄板的固有振动模式，本征值问题就是[7]:

(Δ2-k4)w=0

(1)

周期条件w(r,θ)=w(r,θ+2π)

(2)

w(r,θ)在圆心r=0处的(自然)边界条件

w(r,θ)在圆周r=a上的边界条件

因为圆周固定，w(r,θ)在圆周r=a上边界条件的表述形式就是[7]

w|r=a=0

(3)

(4)

对于圆心处的边界条件，笔者搜索过相关文章，发现大体有两种形式，一种是像文献[7]那样，没有明确列出，实际上只是要求

w|r=0有界

(5)

还有像文章[1-5]中那样，除了上式之外，还要求

(6)

但这两种情况下都没有给出严格的推导，下面我们将严格论证，这样的边界条件，并不能得出文章[1-5]或文章[7]中的结论.

考虑到周期条件(2)的要求，振动模式应该是

w(r,θ)=Rm(r)cosmθ

(7)

或

w(r,θ)=Rm(r)sinmθ

(8)

于是R(r)所满足的方程就是

(9)

如果采用边界条件(3)—(6)，它们也可以分离变量，从而得到

R(0)有界

(10)

R′(0)有界

(11)

R(a)=0

(12)

R′(a)=0

(13)

当k≠0时，式(9)的通解是

Rm(r)=AmJm(kr)+BmNm(kr)+CmIm(kr)+DmKm(kr)

(14)

代入边界条件，原则上就应当可以求出k，从而进一步定出固有振动频率.

现在仔细地分析一下解式(14)在r=0处的行为.因为Jm(kr)和Im(kr)在全平面解析，所以只需讨论一下Nm(kr)和Km(kr)在r=0处的行为.

1) 当m=0时，这两个函数的表达式是

因此，将它们适当组合起来，有

由于在r=0附近，

R0(r)=A0J0(kr)+B0V0(kr)+C0I0(kr)

(15)

而且边界条件(11)自然成立.再进一步利用边界条件(12)和(13)，我们就得到

A0J0(ka)+B0V0(ka)+C0I0(ka)=0，

给定任意k，通过这两个方程，总可以求得非零解A0，B0，C0.换言之，此方程组对任意k均成立.这意味着，当m=0时为连续谱！甚至还可以是复数！

2) 当m=1时，可以类似地将N1(kr)和K1(kr)作适当的线性组合，从而得到

显然，在r=0附近，有

我们看到，当m=1时，只要求满足边界条件(10)或是要求同时满足条件(10)、(11)，会导致截然不同的结果：如果只是要求满足边界条件(10)，则式(14)中的D=2B/π，而B任意，因此会得到与m=0时相同的结论；如果再加上式(11)的要求，则有B=D=0，再利用边界条件(12)和(13)，我们就得到

AJ1(ka)+CI1(ka)=0

此方程组有非零解的充分必要条件是

由此即可定出本征值k1i,i=1,2,3,…,相应的非零解(固有振动模式)为

R1(r)=I1(k1ia)J1(k1ir)-J1(k1ia)I1(k1ir)

3) 当m=2时，同样可以将N2(kr)和K2(kr)作线性组合：

因为在r=0附近：

A2J2(ka)+B2V2(ka)+C2N2(ka)=0,

定出本征值为连续谱！

4) 当m≥3时，可以作类似的分析.这时，无论将Nm(kr)与Km(kr)作何种组合，均不可能满足边界条件(10)[即R(0)有界]的要求，必须有B=D=0，因此式(14)变为

Rm(r)=AJm(kr)+CIm(kr),m=3,4,5,…

(16)

的正零点，相应的固有振动模式为

Rm(r)=Im(kmia)Jm(kmir)-Jm(kmia)Im(kmir)

综上所述，在承认本征值问题(1)—(5)或(1)—(6)的前提条件下，可以得出下列结论：

1) 单独的Nm(kr)、Km(kr)在r=0的确无界，但是它们的线性组合仍然可能有界.

2) 当m=0，2时，只要求R(0)有界，则自动导出R′(0)有界.因此定出的k为连续谱，甚至可以是任意复数值.此结果令人费解，而且可能与实验事实不符！

3) 当m=1时，要求R(0)有界或是要求R(0)、R′(0)均有界，将得到不同结果.前者可以得到离散谱，后者则是连续谱.

4) 当m≥3时又出现另外一种现象，即只要R(0)有界一个条件就足以定出B=D=0，R′(0)有界或R″(0)有界都变成是多余的？

2 圆心处边界条件的正确提法

基于上面的分析，笔者认为，根本原因是上面的本征值问题中r=0处边界条件(6)不正确！

不妨回忆一下在圆形区域内二维拉普拉斯方程的本征值问题中，也是采用平面极坐标系，并且将坐标原点置于圆心，这时在圆心r=0处，应该加上有界条件u|r=0有界.受这一事实的启发，如果把方程(1)改写为方程组：

自然会得想到在r=0处，取代原有的边界条件(6)，正确的边界条件应该是要求

u|r=0有界

即

(17)

这样，Rm(r)所满足的本征值问题就是

(18)

Rm(0)有界

(19)

(20)

Rm(a)=0

(21)

(22)

而且k≠0(证明从略).式(18)的通解仍为式(14).因为Jm(kr)及Im(kr)在全平面解析，这两个函数以及它们的任意阶导数在r=0均有界，所以在讨论解式(14)在r=0点是否满足边界条件(19)、(20)时，就只需考虑函数Nm(kr)和Km(kr)，注意有

所以，将解式(14)代入边界条件(19)、(20)时，就得到

[BmNm(kr)+DmKm(kr)]r=0有界，

[BmNm(kr)-DmKm(kr)]r=0有界

这样就导致

从而定出Bm=Dm=0.因此就只需要将

Rm(r)=AmJm(kr)+CmIm(kr)

代入边界条件(21)、(22)，给出

AmJm(ka)+CmIm(ka)=0,

此方程组有非零解的充分必要条件是

Rm(r)=Im(kmia)Jm(kmir)-Jm(kmia)Im(kmir)

以下从略.

3 讨论

上面分析了圆形薄板横振动的固有振动频率问题，发现圆心r=0处边界条件的现有提法，会导致固有振动频率为连续谱，甚至固有振动频率还可以取复数值.这和既有实验事实不相符合.笔者之所以给出了比较详细的计算，无非是因为现有文献中对此问题并未曾作认真而仔细的分析，甚至以为只要R(0)有界一个条件就足以排除掉Nm(kr)和Km(kr)两个特解.

针对圆形薄板横振动问题中有关圆心处边界条件提法的欠缺，笔者提出了在圆心r=0处边界条件的新提法，即式(5)和式(17).这样的边界条件，比较完满地解决了求解圆形薄板横振动固有振动频率的问题.当然，这一提法是否正确，还有待实验事实的检验.但是，至少从理论上说，这一新提法，也可以从变分计算的角度得到支持.因为决定固有频率的本征值问题，从变分法的角度来看，它来自势能项在给定边界条件以及约束条件(本征函数可归一化)下的条件极值问题，即[7]

其中D0是薄板的抗弯刚度，ρ和h则是薄板的密度和厚度，而由拉格朗日乘子ω2即可定出固有振动频率ω.根据上式，经过简单的计算，就能导出偏微分方程:

以及相应的边界条件.计算中需要用到格林公式，如果采用平面极坐标系，还应该额外增加一项在原点处的边界条件：

因此，最简单的情形，便应当要求在原点处

和

表面上看来，似乎可以组成4种不同的边界条件.但第2节的分析表明

是不正确的组合，应当排除.而正确的边界条件可能只有两种，即

或

本文之所以讨论圆形薄板，原因是在这种情形下，可以应用周期条件，在圆周上的边界条件给定的情况下，本征值问题是否有合乎物理预期的解，就只取决于圆心处边界条件的提法是否正确.在扇形情况下，就还涉及θ=常数的两条半径上的边界条件.下一篇文章将讨论这种情形.我们将看到，它还与4阶偏微分方程的分离变量问题密切相关.

最后，需要说明，笔者只是从事物理专业的教学和科研工作，对于弹性力学的知识欠缺.以上有关圆心处边界条件的提法，纯粹是从数理方程的角度进行的，是否合理，这样的边界条件相当于薄板的何种物理状态，还需要从弹性力学专业的角度考察.欢迎批评指正.

致谢：作者感谢与杨孔庆教授、宣本金教授及白在桥教授进行的有益讨论，他们的建议丰富了本文的内容.