无砟轨道刚度计算方法研究

郭 杰，赵坪锐

(1.西南交通大学 高速铁路线路工程教育部重点实验室，四川 成都 610031；2.西南交通大学 土木工程学院，四川 成都 610031)

铁路作为一种长寿命设施是未来重要的运输方式，随着铁路向高速和重载方向发展，人们越来越重视轨道状态评估和维修以确保铁路运营安全、舒适和经济等[1-3]。轨道刚度包括整体刚度和部件刚度，一般所说的轨道刚度是指整体刚度。轨道刚度是轨道结构设计、施工和维修的重要参数，合理的轨道刚度对车辆运行安全性和轨道结构部件受力和使用寿命有重要影响[4-5]。

针对轨道刚度的问题，国内外学者进行了大量的研究工作，但主要是有砟轨道刚度计算和优化方法[6-10]，而针对无砟轨道刚度尤其是计算方法的研究较少。Cox等[11]认为可通过降低轨道整体刚度来降低隧道内噪声水平，具体方法为减小扣件刚度或增大扣件间距以降低整体刚度。德国[7]无砟轨道采用弹性基板以提高乘坐舒适性和减少维修量，轨道变形要求不大于1.5 mm，轨道刚度为68 kN/mm。崔国庆[12]采用准静态和动力学相结合的分析方法，研究了不同速度和扣件刚度下双块式无砟轨道结构和车辆静动力特性，从满足钢轨应力和位移、降低轨道和车辆振动的角度考虑，给出车速分别为250、350 km/h的客运专线双块式无砟轨道扣件刚度建议值。张娅敏[13]分析了路基上板式无砟轨道各部件刚度的计算方法，建立车辆-轨道-路基耦合动力学模型，研究了在焊接凹接头不平顺激励下扣件刚度和阻尼、CA砂浆面支承刚度和阻尼、路基刚度对车辆和轨道系统动力特性的影响，并给出了各部件刚度合理取值范围。周游等[14]参考移动式线路动态加载试验车双弦测试的轨道刚度，建立车辆-CRTSⅠ型板式无砟轨道-路基动力学模型，研究不同车速和不同轨道刚度对车辆和轨道动力特性的影响，从满足安全性和提高舒适性的角度给出了车速分别为300 km/h和小于300 km/h时轨道刚度建议值。

以上研究基本是有关无砟轨道静刚度的，针对轨道动刚度，研究人员也开展了初步研究。方宜等[15]研究了0～2 000 Hz范围内简谐荷载激励下的路基上双块式无砟轨道动刚度，并详细分析了材料参数对动刚度影响。亓伟等[16]进一步验证了低频段(<50 Hz)时轨道动刚度与静刚度较为接近，轨道动刚度随激振频率的增大而快速增大，并远大于静刚度。冯青松等[17]采用波数有限元法分析了无砟轨道动刚度特性及影响因素。伍曾等[18]则进一步分析了不同车速下的无砟轨道动刚度影响因素。

目前，无砟轨道刚度的研究多是基于静、动力学计算结果，从满足轨道结构受力与变形要求、保证行车安全性和乘坐舒适性的角度给出部件刚度和整体刚度的建议值，尚缺乏无砟轨道刚度具体计算方法的研究。文献[13]未对无砟轨道整体刚度构成及相关参数的合理取值进行详细分析，且未对不同轨下基础的无砟轨道刚度进行研究。本文采用理论分析和有限元计算相结合的方法，先对无砟轨道整体刚度构成进行分析，给出不同轨下基础无砟轨道整体刚度计算方法，再分析扣件刚度对无砟轨道钢轨支座刚度贡献率的影响，相关研究结论可为无砟轨道设计与优化提供一定的理论指导。

1 有限元模型和计算参数

本文研究对象为CRTSⅠ型板式无砟轨道、CRTSⅡ型板式无砟轨道、CRTS Ⅲ型板式无砟轨道和双块式无砟轨道，线下基础包括路基、桥梁和隧道，建立不同线下基础的无砟轨道有限元模型。无砟轨道主要计算参数见表1。

表1 无砟轨道主要计算参数

有限元模型中，钢轨用梁单元模拟，扣件和基础用线性弹簧单元模拟，中间各结构层采用实体单元模拟。模型长度取三块轨道板或相当长度，以中间轨道板或相当范围为研究对象，限于篇幅，本文只给出所建立的路基上双块式无砟轨道有限元模型，见图1。

图1 路基上双块式无砟轨道有限元模型

已有研究表明，静力学(准静态法)和动力学计算的轨道刚度相差不大，吻合良好[13]，故本文采用静力学方法研究无砟轨道刚度。轴重取150 kN，轮轨力大小取1.5倍静轮载[12]，则轮轨力大小可取为115 kN，轮轨力施加在模型中间扣件正上方。

2 无砟轨道刚度计算方法

2.1 无砟轨道整体刚度构成分析

无砟轨道是由多种材料特性各异的材料构成的结构物，以混凝土结构为主，但由于混凝土刚度太大，在整体刚度计算时不予考虑。已有文献在计算无砟轨道整体刚度时，所考虑的部件刚度包括钢轨抗弯刚度、扣件刚度(指扣件节点综合刚度)、CA砂浆刚度和基础刚度[13]，无砟轨道整体刚度计算模型见图2(以CRTS Ⅰ型板式无砟轨道为例)。

图2 无砟轨道整体刚度计算模型

对于钢轨抗弯刚度EI，其值只与钢轨弹性模量和截面惯性矩有关，钢轨弹性模量E为206 GPa，无砟轨道钢轨类型为60 kg/m，I为3 217 cm4，故钢轨抗弯刚度为6.627 02×1012N·mm2。

对于无砟轨道扣件，一般采用双层弹性垫板，扣件刚度Kz包括扣压件刚度Kc、轨下垫板刚度Kp和铁垫板下垫板刚度Kt，扣压件刚度较小而一般不考虑[13]。无砟轨道扣件刚度组合见图3，将轨下垫板刚度Kp和铁垫板下垫板刚度Kt视为两个串联弹簧，则扣件刚度计算公式为

(1)

CA砂浆刚度KCA的计算式为

(2)

式中：ECA为CA砂浆弹性模量；ACA为CA砂浆层受力接触面积；h为CA砂浆层厚度。

图3 无砟轨道扣件刚度组合

对于式(2)中的CA砂浆受力接触面积，其计算方法参考有砟轨道路基刚度中的有效受力接触面积计算方法，则ACA的计算式为

ACA=lCA·wCA

(3)

式中：lCA为CA砂浆有效支承长度，其值取CA砂浆宽度的一半；wCA为CA砂浆有效支承宽度，可取铁垫板宽度200 mm。

有砟轨道路基(基础)刚度Kf计算方法采用地基系数k30与路基受力有效接触面积乘积，即

Kf=k30·Af

(4)

式中：Af为路基受力有效接触面积。

由于地基系数受荷载板大小影响较大，当荷载板直径≥76 cm时，荷载板直径大小对地基系数影响较小，而无砟轨道底座板和支承层与路基接触面积远大于荷载板面积，故无砟轨道基础刚度应采用地基系数k76，即

Kf=k76·Af

(5)

对于基础受力接触面积Af，其值为底座板和支承层(隧道内为道床板)与基础的接触面积，则Af的计算式为

Af=lf·wf

(6)

式中：lf为基础有效支承长度，其值取底座板和支承层宽度的一半；wf为基础有效支承宽度。

对于基础有效支承宽度wf，由于不同轨下基础刚度不同，从而对荷载扩散效应影响不同。在列车荷载作用下，无砟轨道与基础接触层垂向应力分布云图见图4(以双块式无砟轨道为例)。

图4 双块式无砟轨道与基础接触层垂向应力分布云图

由图4可知，不同轨下基础无砟轨道底座板和支承层垂向应力分布差异较大，由于路基刚度较小，与基础接触层垂向应力分布较为均匀，分布范围大，而由于桥隧刚度较大，与基础接触层垂向应力分布较为集中，基本不扩散，主要分布在铁垫板宽度范围内。结合不同轨下无砟轨道与基础接触层垂向应力分布特征，路基区段基础有效支承宽度wf可取为500 mm，桥隧区段基础有效支承宽度wf可取铁垫板宽度为200 mm。

无砟轨道各部件刚度视为串联弹簧，则无砟轨道钢轨支座刚度D计算式为

(7)

而钢轨基础弹性模量u为

(8)

式中：a为扣件间距。

将钢轨视为连续弹性基础上的无限长梁，则在荷载作用点处，钢轨位移为

(9)

式中：k为钢轨基础与钢轨的刚比系数，其计算式为

(10)

无砟轨道整体刚度是指作用在钢轨上的荷载与最大位移之比，即

(11)

由式(9)～式(11)可得无砟轨道整体刚度为

(12)

对于CRTSⅠ型和CRTSⅡ型板式无砟轨道，分别计算两种工况下的整体刚度，即考虑CA砂浆刚度和不考虑CA砂浆刚度对整体刚度的贡献，无砟轨道整体刚度理论解计算结果见表2(括号中的数值为不考虑CA砂浆刚度和考虑CA砂浆刚度时整体刚度的误差)。

表2 无砟轨道整体刚度理论解 kN/mm

由表1可知，考虑CA砂浆刚度与否对CRTSⅠ型和CRTSⅡ型板式无砟轨道整体刚度影响均较小，可不考虑CA砂浆刚度对整体刚度的贡献，故无砟轨道整体刚度可只考虑以下部件刚度，即钢轨抗弯刚度、扣件刚度和基础刚度，则钢轨支座刚度计算方法变为

(13)

本文建立不同线下基础的四种无砟轨道整体刚度有限元计算模型，无砟轨道整体刚度理论解和有限元解对比见表3(括号中的数值为有限元解与理论解的误差)。

表3 无砟轨道整体刚度理论解和有限元解对比 kN/mm

由表3可知，无砟轨道整体刚度理论解与有限元解较为吻合，验证了本文所提出的无砟轨道整体刚度计算方法的合理性和可靠性。相同线下基础不同类型无砟轨道的整体刚度相差不大，路基区段无砟轨道整体刚度为75～80 kN/mm，桥隧区段无砟轨道整体刚度为100～110 kN/mm。

为进一步验证本文所提出的无砟轨道整体刚度计算方法的合理性和可靠性，以桥上双块式无砟轨道为研究对象，扣件刚度取25 kN/mm时，桥隧双块式无砟轨道整体刚度理论解为65.73 kN/mm，有限元解为64.61 kN/mm，文献[16]计算结果为65 kN/mm，计算结果较为一致，从而再次验证了本文所提出的无砟轨道整体刚度计算方法的合理性和可靠性。

将本文计算结果与室内实尺试验结果进行比较[19]，轨道结构为CRTSⅠ型板式无砟轨道，轨道结构置于牢固的混凝土地面上，可近似认为与桥隧区段的基础类似，在扣件支点处施加约6.5 kN大小的垂向力，此时钢轨与轨道板垂向相对位移约为0.1 mm，有限元计算的钢轨垂向位移为0.132 mm，轨道板垂向位移为0.024 7 mm，见图5，两者垂向相对位移为0.107 3 mm，有限元解与室内实尺试验结果吻合。

2.2 无砟轨道钢轨支座刚度贡献率分析

式(13)给出了钢轨支座刚度与扣件刚度和基础刚度的关系，由式(13)可得

(14)

定义部件刚度对钢轨支座刚度的贡献率为各部件刚度的倒数与钢轨支座刚度倒数之比，即式(14)中右端两项分别与左端一项的比值，则由定义可得，扣件刚度对钢轨支座刚度的贡献率γz为

(15)

基础刚度对钢轨支座刚度的贡献率γf为

(16)

无砟轨道部件刚度对钢轨支座刚度的贡献率见表4。

表4 无砟轨道部件刚度对钢轨支座刚度的贡献率 %

由表4可知，相同线下基础不同类型无砟轨道部件刚度对钢轨支座刚度的贡献率相差不大，其中，路基区段扣件刚度和基础刚度对钢轨支座刚度的贡献率分别为53%～56%、44%～47%，即路基区段扣件刚度和基础刚度对钢轨支座刚度的贡献率相差不大。桥梁区段扣件刚度和基础刚度对钢轨支座刚度的贡献率分别为85%和15%，隧道区段扣件刚度和基础刚度对钢轨支座刚度的贡献率分别为87%～89%、11%～13%，即桥隧区段扣件刚度和基础刚度对钢轨支座刚度的贡献率相差较大。路基区段和桥隧区段扣件刚度和基础刚度对钢轨支座刚度贡献率表现不同的主要原因是基础刚度相差较大造成的，对于路基区段无砟轨道，路基刚度约为60 kN/mm，与扣件刚度基本相当，而桥隧区段基础刚度为300～400 kN/mm，远大于扣件刚度，从而导致基础刚度对钢轨支座刚度的贡献率远小于扣件刚度大。

保持基础刚度不变，扣件刚度取值范围为20～60 kN/mm，部件刚度对钢轨支座刚度的贡献率见图6。由于四种无砟轨道钢轨支座刚度贡献率相差不大，限于篇幅，本文只给出双块式无砟轨道钢轨支座刚度贡献率变化。

图6 双块式无砟轨道钢轨支座刚度贡献率

由图6可知，扣件刚度由20 kN/mm增大到60 kN/mm时，扣件刚度对钢轨支座刚度的贡献率呈减小趋势，而基础刚度对钢轨支座刚度的贡献率则呈增大趋势。路基区段扣件刚度对钢轨支座刚度的贡献率由76.4%减小到51.8%，减小25%，而基础刚度对钢轨支座刚度的贡献率则由23.6%增大到48.2%，增大了25%，即扣件刚度为60 kN/mm时，扣件刚度和基础刚度对钢轨支座刚度的贡献率基本相等。桥隧区段扣件刚度对钢轨支座刚度的贡献率由93.3%～94.4%减小到82.4%～84.8%，减小了10%～11%，而基础刚度对钢轨支座刚度的贡献率则由5.6%～6.7%增大到15.2%～17.6%，增大了10%～11%。以上计算结果表明，扣件刚度的变化对路基区段钢轨支座刚度贡献率的影响大于桥隧区段。

3 结论

本文详细分析无砟轨道刚度计算方法，建立四种不同线下基础的无砟轨道有限元模型，将理论解与有限元解作比较，并将本文计算结果与已有文献计算结果作比较，验证了本文所提出的无砟轨道刚度计算方法的合理性和可靠性。同时，分析了扣件刚度对无砟轨道钢轨支座刚度贡献率的影响，得出以下结论。

(1)无砟轨道整体刚度可只考虑钢轨抗弯刚度、扣件刚度和基础刚度，忽略CA砂浆对整体刚度的贡献。考虑到无砟轨道结构特点，在计算基础刚度时，应采用地基系数k76而不是k30。

(2)采用准静态法计算时的荷载大小可取115 kN，路基区段和桥隧区段无砟轨道整体刚度分别为75～80 kN/mm和100～110 kN/mm。

(3)路基区段扣件刚度和基础刚度对钢轨支座刚度的贡献率分别为53%～56%和44%～47%，相差不大，而桥隧区段扣件刚度和基础刚度对钢轨支座刚度的贡献率分别为85%～89%和11%～15%，相差较大。

(4)扣件刚度由20 kN/mm增大到60 kN/mm时，路基区段和桥隧区段扣件刚度和基础刚度对钢轨支座刚度的贡献率分别呈减小趋势和增大趋势，且对路基区段钢轨支座刚度贡献率的影响大于桥隧区段。