几个-预不变凸函数的分数阶积分不等式及在数值积分中的应用

孙文兵，谢文平

（邵阳学院 理学院，湖南 邵阳 422000）

孙文兵，谢文平

（邵阳学院 理学院，湖南 邵阳 422000）

构造了一个带参数的Riemann-Liouville分数阶积分恒等式，得到几个关于-预不变凸函数的带参数的分数阶积分不等式。当参数取特殊值时，分别得到了“中点型”“梯形型”和“Simpson型”积分不等式。利用构建的不等式得到了几个经典数值积分的误差估计式。

-预不变凸函数；Hermite-Hadamard 型不等式；Simpson型不等式；Riemann-Liouville分数阶积分；误差估计

0 引言

具有某种凸性的函数往往具备一些良好的性质，因此凸函数在工程、经济等领域应用广泛。不少著名不等式的建立或改进也与函数凸性有关，如Hermite-Hadamard积分不等式、Simpson积分不等式等。

定理1（Hermite-Hadamard积分不等式） 设为凸函数，若且，则有

长期以来，学者对Hermite-Hadamard和Simpson积分不等式进行了不断推广和改进，一是从函数凸性角度，因为实际问题中函数难以满足经典凸性的条件，但可满足某种广义凸性，因此通过推广凸函数的定义对不等式进行改进具有一定实际意义，如文献［1-6］；二是从引入参数角度，通过改变参数调整不等式，使不等式具有更广的适用性，如文献［7］。近年来，这几类不等式被推广至分数阶积分领域，如Riemann-Liouville分数阶［8］、共形分数阶［9-10］、局部分数阶［11-13］等。笔者基于上述不等式改进思想，对具有-预不变凸性［14］的函数构建了几个带参数的Riemann-Liouville分数阶积分不等式。当参数取特殊值时，可得到“中点型”“梯形型”和“Simpson型”等特殊形式的积分不等式，利用构建的不等式还得到了几个经典数值积分的误差估计式。

1 预备知识

2 主要结果及证明

证明 对等式右边部分分别进行分部积分，得到

同理

式（2）加式（3），可得式（1）。

证明 由引理1及模的性质，可得

由式（5）和式（6），计算可得式（4）。

定理3得证。

其中，

定理4得证。

证明 对引理1的不等式两边取模，利用Hölder不等式以及为-预不变凸函数，可得

定理5得证。

3 在数值积分中的应用

所以

命题1得证。

所以

命题2得证。

所以

命题3得证。

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Some fractional integrals inequalities for-preinvex functions and applications to numerical integration

SUN Wenbing, XIE Wenping

（School of Science，Shaoyang University，Shaoyang422000，Hunan Province，China）

An identity with parameters is constructed via Riemann-Liouville fractional integrals. With that, we derive some fractional integrals inequalities with parameters for-preinvex functions. The quot;midpoint typequot;, quot;trapezoidal typequot; and quot;Simpson typequot; integral inequalities are obtained respectively when the parameters are given special values. Finally, the error estimates of numerical integration are proposed to illustrate the applications of the results.

-preinvex functions; Hermite-Hadamard type inequalities; Simpson type inequalities; Riemann-Liouville fractional integrals; error estimation

O 178

A

1008⁃9497（2022）03⁃308⁃08

10.3785/j.issn.1008-9497.2022.03.007

2021⁃03⁃22.

湖南省教育厅重点项目（21A0472）；湖南省自然科学基金资助项目（2020JJ4554）；湖南省普通高等学校教学改革研究项目（湘教通〔2019〕291号（787））.

孙文兵（1978—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0002-5673-4519，男，硕士，副教授，主要从事解析不等式研究，E-mail：swb0520@163.com.