一道填空压轴题引发的数学深度学习

袁会娟

压轴题是体现思维的载体.下面以一道填空压轴题的思考和探究过程，展现数学学习的思维过程，促进深度思考，发展学生数学学科核心素养.

题目：已知△ABC与△ABD在同一平面内，点C、D不重合，∠ABC=∠ABD=30°，AB=4，AC=AD= ，则CD的长为.

审题思维展示：首先对于此类没有示意图的问题，我们先进行定性分析，以此来从中寻找分类讨论的切入点，通过对△ABC与△ABD顶点的观察即可知，两三角形存在公共边，而C、D点不重合这一条件则有效规避了两三角形为同一三角形这一无意义情况，接下来便是“定形”条件.即∠ABC=∠ABD=30°，有角的大小，我们可以从中确定一个图形的“框架”，从而准备好背景，但从这一条件开始，也便到了岔路口：同侧角和侧角，基于这一点，我们给出线段AB及两30°角（包含同、异侧情况），紧接着是线段AB=4，作为本题中最基本线段，我们要将其重视，而AC=AD= 是第二分支，由此可将点C、D的位置“化线为点”，由在∠ABC=∠ABD的BC、BD边上两不定点化为到定点A距离相等的点，这样，我们不妨把30°与AC=AD= “叠放”，寻找“交点”，看看它们给予了我们怎样的“允诺”.对于“到定点距离等于定长”，刻画到定点距离相等的点的集合，自然联想到运用圆这一几何模型.那么，我们作以 为半径、A为圆心的圆与两30°角之交点即为C、D所有符合题意的结果。

做完透彻的思考，便可以依据题意进行分类讨论了。再次审视题目：求CD的长.先不要急于确定四点中哪些为C，哪些为D，这一点很重要.题目所求为线段CD的长，即点C、D之间的距离，距离是两点的相对位置关系，也就是说是两点共同作用的结果，而非一点的单打独斗，是两变量在条件允许的范围内，自由运动的几种可能.所以，纠结于，具体的点C、D是哪个并不重要.我们从较为宏观的视角，以线段为分类标准讨论。

易知线段CD有4种情况：①C、D在A、B的异侧，被线段AB垂直平分。△BCD为等边三角形②C、D在A、B的同侧，可知△ACD为等腰直角三角形。③C、D在A、B的异侧，被射线BA垂直平分，△BCD为等边三角形。④C、D在A、B的异侧，分别连接两组C、D，形成两个等腰直角三角形。具体分析如下：

由角平分线的对称性可知①③情况时线段CD垂直于线段AB所在直线。

①连接A、C，设AE=m，所以BE=4-m，易得 ，解的 .所以，  .

②过点A作AM⟂BD，连接AD、AC，在Rt△ABM中，∠ABD=30°，因为AB=4，所以AM=2.在Rt△ACM中，AM=2，AC= .所以，AM=MC=2，同理可得DM=AM=2，所以CD=4.此处，∠ADC=∠ACD=∠MAC=∠DAM=45°

③ ，易知BC=BD，∠CBD=2×30°=60°，所以△BCD是等边三角形， 。

④由②知，△AGC是等腰直角三角形，∠CAG=90°，在⊙A中， 45°，同理得， 45°所以△PCF、△PGD是等腰直角三角形，因为 综上所述：  。

题后反思：①我们再来审视一下该题，分类讨论产生的根源便是由于∠ABC、∠ABD是锐角（教材“木棒”图）使得在BC、BD边上分别有两种满足长度为 的情况。②从角平分线的视角看，①③情况实则是以过点A向角两边作垂线，左右对称的情况，AM实质是CE的中垂线，BM= ，一左一右分别为  一加一減，内在统一，而同侧的情况则为①③的差值，这也是解题的精妙所在.③从圆的角度来看，△ACF、△ACE组合图实质是圆的垂径定理（对称性），而情况④中∠CDG、∠FGD等实质是圆周角定理的应用，若将两三角形的组合图结合起来则为圆的旋转不变性中弧、弦、圆心角、弦心距的关系.

化角平分线上的点到角两边的距离、圆中垂径定理弦心距为一线，结等边三角形、30°直角三角形、角平分线的垂线于一图，充分调动学生的知识储备，提升学生审辨思维能力.