高中数学函数与方程思想方法探究

黄福恒

摘要：数学思想方法是我们对数学知识的内涵和方法的基本理解，它包含在具体的教学内容和教学方法中，通过提炼和归纳，形成学生的理性认知，从而影响着我们的高中数学学习。掌握数学的基本原理，运用解题方法，解决具体问题，都是数学思想方法的具体体现和运用。这是一种只能理解和运用的思维方式，用于理解、处理和解决数学问题，用于解决高中生的问题，是解决问题的一种重要思路。

关键词：高中数学;函数与方程思想;应用

一、数学函数及思想方法探究

在高中数学中，数学函数思维是比较实际的思维方式，例如一些方程题目、不等式题目可以转化成函数思维，有些函数的解题思路可以作为解决问题的依据。数学解题思路是解决问题的标准，它具有易于掌握的特点，可以为数学教学提供支撑，而解决问题的思路是数学的中心，但必须以数学方式来体现它的本质。

（一）函数模型的一般呈现模型

高中数学的函数模型是多种多样的，最常用的是“对钩函数”“二次函数”“分段函数”等。函数方程的实际操作可以逐步进行：函数方程的求解、参数方程的求解、求解方程的探究、构造方程的求解。

（二）数学方程的一般解题思想

在求解一个数学问题时，利用方程式的性质来考虑问题，解题的方法就是利用公式思维。方程的思路是把它的运动逻辑关系转化成一种表达式。但是，它的本质是把方程与函数联系起来，把它们有机地结合起来，以求解一个真实的数学问题。数学函数和方程在解决问题时往往是相互联系、相互贯通的，如果能找到联系，学会使用，就能大大提升解题的效率。方程和函数的组合应用通常是对一个函数问题进行分析，并将其联系起来，从而得到一个方程，这个问题就会得到解决。

二、函数与方程思想的意义

函数思想是对思想概念的基本理解，即运用思想知识（视角）观察问题，分析问题并解決问题。在初中数学中，函数的概念有两个：一是利用初等函数的单一调性，解（证）不等式的解（证）以及参数的取值范围的探讨;二是通过建立几个函数的解析式，或构造一个中间函数，把所研究的问题化归化为函数的相关属性，使问题变得容易。

而方程式的思维，则是从根本上理解方程式的概念，即以方程式（组）的观点来观察、处理。

很多关于函数的问题都可以用公式来求解，反过来，很多关于方程的问题也可以用它来求解。可以将求解方程式 f （x）= g（x）或求出的根数视为两个函数 Y= f （x）和 y= g （x）相交的横轴或相交;参数方程和包含参数的方程 f （x， y， t）=0，不仅包含一个函数因子，而且它还是一个随着参数变化的动力学方程。正是这种关系使得函数和方程式在解决问题时相互转化、交换，从而极大地丰富了数学问题的思维宝库。

在高中数学教学中，探索数学思想与方法的相关问题，其终极目标在于培养学生的思维品质、解决问题的能力和个人综合素质。要达到这一目标，必须在教学中运用数学思想和方法，重视函数、方程式等概念，以激发学生对数学的兴趣，强化对知识本质的认识，增强解题能力，促进逻辑思考。

三、函数与方程思想的运用

（一）函数与不等式之间的转换，如果函数 y= f （x）， y>0，则表示不等式 f （x）>0，学生可以通过函数的图形和特性来求解这个问题。

（二）数列的通项公式或第一个 n项和公式都是由自变量与自然数的关系，用函数的角度来解决数列问题，这是我们在解决数列问题时，必须把问题变成一个未解的问题，然后再用方程式（组）来解决。

（三）解析几何中的很多问题，比如二次曲线和二次曲线之间的关系，都是关于二次函数的相关理论，这些问题都是由学生来求解的。

（四）关于直线段的立体几何;角度;在计算面积和体积时，往往要用列方程或函数表示法来求解，学生在学习了空间直角坐标系后，就会发现它们之间的联系变得更为紧密。

（五）一次函数和一次方程，用一次函数图象求解二元一次方程的一般方法是：①把二元一次方程组的两个等式转换成一次函数;②将两个一次函数在相同的坐标系统中得到图像;③两个图象（两条线）的交叉点是该方程组的解法。在此基础上，学生根据函数图形上的点坐标，采用待定系数方法求出函数的解析表达式，并将两个函数的关系式联立为一个求解方程。

（六）二次函数和一元二次方程的图象和x轴的交叉点，是由方程ax2十bx十c=0得到的结果。函数图象与x轴相交及方程解的情形，其规则是：（1）若函数 y=ax2+ bx+ c的图象不与x轴相交，则等式ax2+ bx+ c=0的无实数根;（2）若函数 y=ax2+ bx+ c=0的图像与x轴有交点，则在方程式ax2+ bx+c=0中，存在两个等效的实数根;（3）若函数 y=ax2+ bx+ c的图像与x轴有两个交点，则在ax2+ bx+ c=0存在两个非等实数根。

结束语

总之，函数和方程的概念是高中数学中最基础的运算方式，数学本身就是这样，只不过这种方法并不局限于数学的范畴，它还包括了对空间的逻辑、对问题的认知能力、对一个例子的多重应用。

在高中数学中，函数和方程式的概念占据了很大的比重，成为了高考的重要内容。在数学教学中，教师应该将多种方法引入到思想教学中，使学生能够更好地理解函数、公式的具体运用，并组织同学们进行讨论，交流解题思路，一起解决问题。此外，还应培养学生的自主思维，增强他们的解题能力，增强他们的应用能力，提高他们的解题效率和准确性。

参考文献：

[1]蔡玉凤.高中数学中函数与方程思想应用的研究[D].苏州：苏州大学，2014.

[2]崔锦.高中数列教学及解题研究[D].昆明：云南师范大学，2017.EF971067-C086-4D8A-8AE0-9F55387244FD