对系列《奥数教程》7—9年级的例题解题优化

李桂艳

【摘要】“奥数教程”丛书由王元院士担任顾问，数学奥林匹克国家队领队单墫和熊斌教授任主编，由国家集训队教练执笔联合编写.《奥数教程》系列符合相应年级学生的数学认知和智力发展水平，内容安排上从课本知识出发，由浅入深，逐步过渡到竞赛，内容涵盖了竞赛的全部考点和热点.本文通过对系列《奥数教程》7-9年级的例题解题优化详解，阐述数学中的思想和方法.

【关键词】奥数教程;解题优化;初中数学

1 八年级《奥数教程》第七版89页例题5

例5 如图1正方形ABCD被直线OE分成面积相等的两部分，已知线段OD、AD的长都是正整数，CEBE=20.求满足上述条件的正方形ABCD面积的最小值.

分析 根据直线将正方形分成面积相等的两部分，可见OE必过正方形ABCD的中心O′.设BE=a，OD=m，表示出O′的坐标，将坐标代入OE的解析式y=kx，求出m的值，再根据线段OD、AD的长都是整数，求出a的最小值.

解1 OE一定过正方形ABCD的中心O′，不妨设BE=a，OD=m，所以CE=20a，正方形的边长为21a;

则O′（m+10.5a，10.5a），E（m+21a，20a）.

设OE解析式为y=kx，所以k（m+10.5a）=10.5a，k（m+21a）=20a.

即m+10.5am+21a=10.5a20a，化简得m=2119a，因为线段OD、AD的长都是整数，即m、21a都是正整数，所以21a的最小值为19，此时m=1，此时正方形ABCD的最小面积为21a2=192=361.

解2 因为正方形被直线OE分成面积相等的两部分.

所以它必过正方形的中心.

所以BE=DF=a，

则有DFEC=ODOC，

即a20a=mm+21a，

得19m=21a，

因为m、21a为整数且21a最小.

所以m=1，正方形的边长21a=19，面积为（21a）2=192=361.

2 《奥数教程》八年级第六版18页

例题1 ab（a+b）2-（a+b）2+1因式分解.

解 ab（a+b）2-（a+b）2+1

=ab瘙簚a2+2a2b2+ab瘙簚b2-a2-2ab-b2+1

=（ab瘙簚a2-ab）+（a2b2-b2）-（a2-1）+（a2b2+ab瘙簚b2-ab）

=ab（a2-1）+b2（a2-1）-（a2-1）+ab（ab+b2-1）

=（a2-1）（ab+b2-1）+ab（ab+b2-1）

=（ab+b2-1）（a2+ab-1），

，

-a2-ab -ba-b2=-（a+b）2

ab（a+b）2-（a+b）2+1=aa+b-1·ba+b-1=（ab+b2-1）（a2+ab-1）.

3 《奥数教程》八年级第六版54页

例题7 化简

x-y3+2xx+yyxx+yy+3xy-3yx-y，

原解1 设x=a+b，y=a-b，

则 xy=a2-b2，x+y=2a，

x-y=2b，

原式=2b3+2a+b3+a-b3a+b3+（a-b）3

+3a2-b2-3（a-b）24ab

=3a3+3a2b+9b3+9ab22a3+6ab2+6ab-6b24ab

=3a+ba2+3b22aa2+3b2+3a-3b2a

=3a+3b+3a-3b2a=3

解2 设x=a，y=b则

原式=a-b3+2a3+b3a3+b3+3ab-3b2a2-b2=a3-3a2b+3ab2-b3+2a3+b3a3+b3+3b（a-b）a-b（a+b）

=3a3-3a2b+3ab2a3+b3+3ba+b

=3（a+b）a+b=3.

4 《奥数教程》八年级第六版83页

例题5 如图2，y=kx+b的图象过点P（1，4），且与x轴、y轴的正半轴交于A、B，原点为O，问k、b为何值时，△AOB的面积最小？

解1因点P（1，4）在一次函数，y=kx+b的图象上，所以，一次函数可表示为y=kx+（4-k）.

令x=0，

得B（0，4-k）;

令y=0，

得A（k-4k，0）.

连接PO，则S△AOB=S△BOP+S△POA

=121×4-k+12×4×k-4k

=4-12k+16k.

显然，k<0，

令u=-k，

v=-16k，

则u>0，v>0，

且uv=16，

故 S△AOB=4+12u+v

=12[（u-v）2+2uv]

≥4+uv=8，

當且仅当u=v，即k=-u=-4时，取等号，S△AOB取最小值8，此时，b=4-（-4）=8.

解2 S△AOB=12OAOB

=12（4-k）k-4k

=4-12（k+16k）

=4+12（-k+16-k）≥8.