五法解一道课本习题

李勇中学高级教师，县级优秀班主任，县级优秀教师，市级骨干教师。在贵州省教育科学院、贵州省教育学会组织的教育教学科研论文、教学设计评选中荣获过叁、贰、壹等奖;曾多次在《数理天地》上发表过文章。

题目 已知：如图1所示，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E，F分别在边BC和CD上.求证：∠CEF=∠CFE.

证明1 因为四边形ABCD是正方形，

所以AB=AD，∠ABE=∠ADF=90°，

又因为三角形AEF是等边三角形，

所以AE=AF，

所以Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）.

所以BE=DF，

因为四边形ABCD是正方形，

所以BC=DC，

所以CE=CF，

所以∠CEF=∠CFE（等边对等角）.

证明2 因为四边形ABCD是正方形，

所以AB=AD，

∠ABE=∠ADF=90°，

所以BE2=AE2-AB2，

DF2=AF2-AD2=AF2-AB2，

又因为三角形AEF是等边三角形，

所以AE=AF，

所以DF2=AF2-AB2=AE2-AB2.

所以BE2=DF2，

即BE=DF.

因为四边形ABCD是正方形，

所以BC=DC，

所以CE=CF，

所以∠CEF=∠CFE（等边对等角）.

证明3 因为四边形ABCD是正方形，

所以AB=AD，

∠ABE=∠ADF=90°，

又因為三角形AEF是等边三角形，

所以AE=AF，

∠AEF=∠AFE=60°，

所以Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）.

所以∠BEA=∠DFA，

又因为∠CEF=180°-∠BEA-∠AEF，

∠CFE=180°-∠DFA-∠AFE，

所以∠CEF=∠CFE（等量代换）.

证明4 连接AC.

因为四边形ABCD是正方形，

所以AB=AD，

∠ABE=∠ADF=90°，

又因为三角形AEF是等边三角形，

所以AE=AF，

所以Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），

所以∠BAE=∠DAF，

因为四边形ABCD是正方形，

所以∠BAC=∠DAC=45°，

又因为∠CAE=∠BAC-∠BAE，

∠CAF=∠DAC-∠DAE，

所以∠CAE=∠CAF（等量代换）.

又因为三角形AEF是等边三角形，

所以AE=AF，

又AC=AC，

所以△AEC≌△AFC（SAS）.

所以CE=CF，

所以 ∠CEF=∠CFE（等边对等角）.

证明5 连接AC.

因为四边形ABCD是正方形，

所以AB=AD，

∠ABE=∠ADF=90°，

又因为三角形AEF是等边三角形，

所以AE=AF，

所以Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），

所以∠BAE=∠DAF，

因为四边形ABCD是正方形，

所以∠BAC=∠DAC=45°，

又因为∠CAE=∠BAC-∠BAE，

∠CAF=∠DAC-∠DAE，

所以∠CAE=∠CAF（等量代换）.

又因为三角形AEF是等边三角形，

所以AE=AF，

又AC=AC，

所以△AEC≌△AFC（SAS），

所以∠AEC=∠AFC，

又因为三角形AEF是等边三角形，

所以∠AEF=∠AFE=60°，

又因为∠CEF=∠AEC-∠AEF，

∠CFE=∠AFC-∠AFE，

所以∠CEF=∠CFE（等量代换）.