代数几何综合的动点问题探究

2022-05-30 00:22左清明
初中生学习指导·中考版 2022年10期
关键词:关系式动点勾股定理

左清明

代数与几何的综合问题是各地中考的热点,下面举例介绍此类问题的解题思路.

考题再现

例 (2021·辽宁·大连)如图1,在矩形ABCD中,BC = 4 cm,CD = 3 cm,P,Q两动点同时从点B出发,点P沿BC—CD以1 cm/s的速度向终点D匀速运动,点Q沿BA—AC以2 cm/s的速度向终点C匀速运动.

设点P的运动时间为t(s),△BPQ 的面积为S(cm2).

(1)求AC的长;

(2)求S关于t的函数解析式,并直接写出自变量t的取值范围.

考点剖析

(1)知识点:函数关系式、勾股定理、矩形的性质.

(2)思想方法:数形结合、分类讨论.

学情分析

解题思路:(1)根据勾股定理直接计算AC的长;

(2)根据点P,Q的运动位置进行分类,分别画图表示相应的△BPQ的面积即可.

解:(1)∵四边形ABCD为矩形,∴∠B = 90°,

在Rt△ABC中,由勾股定理得:

AC = [AB2+BC2] = [32+42] = 5(cm),

∴AC的长为5 cm.

(2)①当0 < t ≤ 1.5时,如图2,

S = [12×BP×BQ] = [12×t×2t] = t2.

②當1.5 < t ≤ 4时,CQ = 8 - 2t,如图3,作QH⊥BC于H,

方法1:

∵sin∠BCA = [ABAC] = [QHCQ],∴[35] = [QH8-2t],

∴QH = [245] - [6t5],

∴S = [12] BP·QH = [12] [×] t [×] [245 - 6t5] = -[35] t2 + [125] t;

方法2:

∵∠QHP = ∠ABC = 90°,∴QH[?]AB,∴△QHC ∽ △ABC,

∴[ABAC] = [QHCQ], ∴[35] = [QH8-2t],

∴QH = [245] - [6t5],

∴S = [12·BP·QH] = [12×t×245-6t5] = -[35t2] + [125t].

③当4 < t ≤ 7时,如图4,

CP = t - 4,BQ = BC = 4,

∴S = [12·BC·CP] = [12×4×t-4] = 2t - 8,

综上所述,S = [t20

勤于积累

动点问题解题步骤如下:

(1)模拟运动状态,找出分界点,列出每种情况下自变量的取值范围;

(2)画出每种情况下的一般示意图,求出重要线段长,列出函数关系式;

(3)综合结论.

(作者单位:大连市第八十中学)

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