解一类一元四次方程

洪联平

例1 解方程：

x4+7x3+14x2+7x+1=0.

解 观察方程特点，可以发现方程中各系数关于中间项对称. 显然x=0不是方程的根，等号两边同时除以x2，得

x2+1x2+7x+1x+14=0.

令x+1x=y，则x2+1x2=y2-2，

原方程化为

y2+7y+12=0，

（y+3）（y+4）=0，

所以y1=-3或y2=-4.

解得x1=-3+52，x2=-3-52，

x3=-2+3，x4=-2-3.

例2 解方程：

6x4-11x3-19x2+11x+6=0.

解 观察方程特点，可以发现方程中各系数绝对值关于中间项对称. 显然x=0不是方程的根，等号两边同时除以x2，得

6x2+6x2-11x-1x-19=0.

令x-1x=y，则x2+1x2=y2+2，

原方程化为

6y2-11y-7=0，

（3y-7）（2y+1）=0，

所以y1=73或y2=-12.

解得x1=7+856，x2=7-856，

x3=-1+174，x4=-1-174.

例3 解方程：

4x4+4x3-20x2+2x+1=0.

解 顯然x=0不是方程的根，等号两边同时除以x2，得

4x2+1x2+4x+2x-20=0，

令2x+1x=y，则4x2+1x2=y2-4，

原方程化为y2+2y-24=0，

所以y1=-6，y2=4.

解得x1=-3+72，x2=-3-72，

x3=2+22，x4=2-22.

例4 解方程：

x4+x3-8x2-3x+9=0.

解 显然x=0不是方程的根，等号两边同时除以x2，得

x2+9x2+x-3x-8=0，

令x-3x=y，x2+9x2=y2+6，

原方程化为y2+y-2=0，

所以y1=1，y2=-2.

解得x1=1+132，x2=1-132，

x3=-3，x4=1.

以上四例通过等号两边同时除以x2将一元四次方程变形，再用换元x2+k2x2=x±kx22k，

k2x2+1x2=kx±1x22k，将原方程化为两个一元二次方程，进而求出未知数的值.