中考数据分析问题举例

王炳力

【摘要】 在中考试题中，和数据分析有关的计算问题出现较多，题型多样，特别是综合型问题更是受命题者的青睐.

【关键词】 平均数;中位数;众数;方差

1 已知一组数据平均数，求未知数据

例1 喜迎建党100周年，某校将举办小合唱比赛，七个参赛小组人数如下：5，5，6，7，x，7，8.已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是（  ）

（A） 5.（B） 55.（C） 6.（D） 7.

分析 先根据平均数的公式计算出x的值，再求这组数据的众数即可.

解 因为5，5，6，7，x，7，8的平均数是6，

所以（5+5+6+7+x+7+8）÷7=6，

解得x=4，

将这组数据从小到大排列为4、5、5、6、7、7、8，最中间的数是6，

则这组数据的中位数是6，

故选（C）.

注 此题考查了中位数，掌握中位数的概念是解题的关键，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数.

2 由已知平均数，求其他数据平均数

例2 已知一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为5，则数据x1+5，x2+5，x3+5，…，xn+5的平均数为.

解 因为x1，x2，x3，…，xn的平均数为5，

所以x1+x2+x3+…+xn=5n，

所以x1+5，x2+5，x3+5，…，xn+5的平均数为

12×[（x1+5）+（x2+5）+（x3+5）+…+（xn+5）]

=1n×（x1+x2+x3+…+xn+5n）

=5n+5nn=10.

注 本题考查平均数，解题关键在于理解其概念，其次注意计算精度.

3 已知数据的中位数，求未知数据

例3 某人5次射击命中的环数分别为5，10，7，x，10.若这组数据的中位数为8，则这组数据的方差为.

分析 根据题意，由中位数的定义可得x的值，计算出这组数据的平均数，再根据方差计算公式列式计算即可.

解 根据题意，数据5，10，7，x，10的中位数为8，则有x=8，

这组数据的平均数为

15（5+10+7+8+10）=8，

则这组数据的方差

S2=15[5-8）2+（10-8）2+（7-8）2+（8-8）2+（10-8）2]=36.

注 本题考查数据的方差计算，关键是由中位数的定义求出x的值.

4 已知数据的众数求未知

例4 一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5（x为正整数），唯一的众数是4，则数据x是（  ）

（A） 1.      （B） 2.

（C） 0或1.（D） 1或2.

分析 根据众数的定义得出正整数x的值即可.

解 因为一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5（x为正整数），唯一的眾数是4，

所以数据x是1或2.

故选（D）.

注 本题主要考查了众数的定义，根据众数是一组数据中出现次数最多的数得出x的值是解题的关键.

例5 图1是小颖前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是a元/千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则a=（  ）

（A） 9.（B） 8.

（C） 7.（D） 6.

分析 根据统计图中的数据和题意，可以得到a的值，本题得以解决.

解 由统计图可知，前三次的中位数是8，

因为第四次又买的苹果单价是a元/千克，这四个单价的中位数恰好也是众数，

所以a=8，

故选（B）.

注 本题考查条形统计图、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

5 已知一组数据的方差求未知数据

例6 已知一组数据x，y，8，9，10的平均数为9，方差为2，则xy的值为.

分析 根据平均数以及方差列出x，y的关系式，最后通过恒等变形求解即可.

解 由题意8+9+10+x+y5=9，

所以x+y=18，

又由题意

（x-9）2+（y-9）2+（8-9）2+（9-9）2+（10-9）25=2，

整理得x2+y2-18（x+y）=-154，

所以x2+y2-18×18=-154，

x2+y2=170，

所以xy=（x+y）2-（x2+y2）2=182-1702=77.

注 本题考查平均数和方差的综合应用，灵活运用平均数和方差的计算公式是解题关键.

6 综合运用统计量进行决策

例7 某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查，通过简单随机抽样，获得了100个家庭去年的月均用水量数据，将这组数据按从小到大的顺序排列，其中部分数据如下表：

序号12…2526…50

月均用水量/t1313…4545…64

序号51…7576…99100

用均用水量/t68…1113…25628

（1）求这组数据的中位数.已知这组数据的平均数为92t，你对它与中位数的差异有什么看法？

（2）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按15倍价格收费，若要使75%的家庭水费支出不受影响，你觉得这个标准应该定为多少？

分析 （1）利用所给数据，即可得这组数据的中位数，从平均数与中位数的差异可得大部分居民家庭去年的月均用水量小于平均数，有节约用水观念，少数家庭用水比较浪费;

（2）由于100×75%=75，所以为了鼓励节约用水，要使75%的家庭水费支出不受影响，即要使75户的家庭水费支出不受影响，故家庭月均用水量应该定为11t.

解 （1）由表格数据可知，位于最中间的两个数分别是64和68，

所以中位数为64+682=66（t），

而这组数据平均数为92t，它们之间差异较大，主要是因为它们各自的特点决定的，主要原因如下：

①因为平均数与每一个数据都有关，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动;主要缺点是易受极端值的影响，这里的极端值是指偏大或偏小数，当出现偏大数时，平均数将会被抬高，当出现偏小数时，平均数会降低.

②中位数将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据个数是奇数，则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数，它的求出不需或只需简单的计算，它不受极端值的影响;

这100个数据中，最大的数据是28，最小的是13，因此平均数受到极端值的影响，造成与中位数差异较大;

（2）因为第75户用数量为11t，第76户用数量为13t，因此标准应定为11≤a<13（其中 a为标准用水量，单位：t）.

注 本题考查中位数及利用统计表获取信息的能力;利用统计表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计表，才能作出正确的判断和解决问题.