初中数学二元一次方程解题方法

李杰

【摘要】本文通过具体例题的方式阐述二元一次方程的解题方法和策略，通过具体的详解提高学生的解题能力和素养.

【关键词】二元一次方程;数学解题

1 代入消元法求解二元一次方程组

例题 已知2x+y=4，①

x+2y=5，②求x和y的值.

解题分析 使用代入消元法来求解二元一次方程组，题目中所包含的x、y系数的性质是不相同的;x的系数是1和2，y的系数是1和2，由此可知它们的最小公倍数都为2，因而在解题时，消去x或者消去y，其解题难易程度是相同的.

解题方法 ①式乘以2得：4x+2y=8，

将其进行变换可得：2y=8-4x，③

然后将③代入②式中可得：3x=3，

解得：x=1;把x=1代入①式得y=2.

综上这个方程组的解是x=1，y=2.

2 加减消元法求解二元一次方程组

例题 已知4x+2y=-5，①

3x-3y=3，②

求x和y的值.

解题分析 根据等式两边相等的特性，将二元一次方程组中两个方程的其中一个未知数前的系数的绝对值变为相等的数值，然后再将两个方程相加减来消去该未知数，从而使得方程组中只含有一个未知数，进而求解.

解题方法 ①式乘以3得：12x+6y=-15，

②式乘以2得：6x-6y=6，

将这两式相加得：18x=-9，

所以x=-12，③

将③式代入①式得y=-32.

综上这个方程组的解是x=-12，y=-32.

3 二元一次方程组的应用

例题1 实验室有A、B两种浓度不同的乙醇溶液，A种乙醇溶液中乙醇与水比例为3∶7，B种乙醇溶液中乙醇与水的比例为4∶1，现在实验室为了做某项实验，需要一种乙醇与水比例为3∶2的乙醇溶液共50kg，那么请问，A、B两种乙醇溶液各应准备多少 kg才能够满足需求.

解题分析 通过审题可知该题目当中存在两个未知数，可直接利用二元一次方程组的相关知识来解答.在对题目进行分析后，我们应得知题中所隐藏的几个相等关系：

（1）所需A、B两种乙醇溶液的质量之和为50kg;

（2）混合前两种溶液中乙醇的量与混合后溶液中乙醇的量相等;

（3）混合前两种溶液水的量和混合后溶液含水的量相等.

解题方法 设A、B两种乙醇溶液分别取x kg， y kg，列二元一次方程组得：

x+y=50，310x+45y=35×50，

解得 x=20，y=30.

答：A种酒精溶液取20kg，B种酒精溶液取30kg.

例题2某家商店需要装修，现有两种不同的装修方案可供选择，第一种为：请A、B两个装修队同时装修，共需8天时间能够完成，所需支付的装修费用共计为3520元;第二种装修方案为：先由A装修队单独装修6天，然后再由B装修队单独装修12天，所需支付两个装修队的装修费用共计为3480元，那么：

（1）A、B两个装修队各工作一天，商店需各付他们多少装修工钱;

（2）已知A装修队单独完成装修需要12天，B装修队单独完成装修需要24天，单独请哪队进行装修，商店所需支付的费用最少.

解题分析 本题共有两种装修方案，每种方案中各隐含一个等式.

第1种方案 如果请A、B两个装修队同时装修，共需8天时间能够完成商店的装修工作，所需支付两支装修队费用共计为3520元;

第2种方案 如果先请A装修队单独装修6天，再请B装修队单独装修12天也可完成商店装修工作，所需支付两支装修队费用共计为3480元.

解题方法

（1）设A装修队单独装修一天商店需付x元，B装修队单独装修一天商店需付y元，列方程组：

8（x+y）=3520，①6x+12y=3480，②

解得x=300，y=140.

答：A装修队单独装修一天商店需支付300元，B装修队单独装修一天商店需支付140元.

（2）单独请A装修队进行装修，商店需支付300×12=3600元，单独请B装修队进行装修，商店需支付24×140=3360元.

答：请B装修队单独进行装修，商店所需支付的费用最少.

例题3 小白的爸爸为了准备小白上学所需要的费用，打算使用两种不同的存储方式在银行共计存储2000元，其中一种为年利率2.25%的教育储蓄，另一种则是年利率为2.25%定期存储，存满一年后小白的爸爸将钱全部取出，本金和利息共计为2042.75，请问两种储蓄各存了多少钱（利息所得税=利息金额×20%，教育储蓄不需要缴纳利息所得税）

解题分析 此题为典型的收入问题，这类问题有着一定的难度，题目中所包含的等量关系较为含蓄，在这种情况下我们就可以变换一种解题思路，采用图表法来对该类问题进行分析，题目中的相等关系量就会呈现出来.

设教育储蓄存了x元，一年定期存了y元，根据题意可得出如下表格：

教育储蓄

一年定期

现在

x

y

一年后

x+x×2.25%

y+y×2.25%×80%

解题方法 设教育储蓄为x元，一年期定存为y元，则列方程组为：

y=2000-x，

（1+0.0225）x+y[1+0.0225（1-0.2）]=2042.75，

解得：x=1500，

y=500.

答：教育储蓄为1500元，一年期定存为500元.

例题4 现有甲乙两个帐篷厂，正常生产计划为一周两个帐篷厂总共可以生产帐篷9千顶，现某地出现地震，为了抗震救灾，现共需帐篷14千顶，经过共同商议两厂决定在一周内生产出这批帐篷.为此，甲帐篷厂和乙帐篷厂在这一周内生产的效率分別达到了平常的1.6倍和1.5倍，并如期完成了赈灾帐篷的生产工作.那么在赶制赈灾帐篷的一周内，甲帐篷厂和乙帐篷厂各生产了多少千顶帐篷？

解题分析 经过审题我们可知题目中包含两个未知量，因而可以利用二元一次方程组的相关知识进行解答，根据计划前后生产效率的倍数关系，可由已知量和未知量列出两个等式，即是两个二元一次方程组成的方程组.

解题方法

设甲帐篷厂生产帐篷x千顶，乙帐篷厂生产帐篷y千顶，由题意得：x+y=9，1.6x+1.5y=14，

解得 x=5，y=4.

答：甲帐篷厂总计生产帐篷8千顶，乙帐篷厂总计生产帐篷6千顶.